数字信号处理_证明题(32道)_1

1、题干证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFTx( n),证明：DFT :X(n): =NX(N k)答案N d kn 证：因为：X(k)二嘉 x(n)WNn=0NdNJ NJ所以:DFTX(n)=' X(n)WNkn -x(m)WN"nn =0n=0 m=0N JN J八 x(m)' Wm k)m=0n=0N由于：7 WN切N=彳m=N -kn=00m-N-k, 0 _m _ N-1所以：DFT : X(n): =NJN- k)k =0, 1,N- 1题干1 N如果X(k)=DFT : x( n),证明DFT的初值定理：x(0)=无X(k)N心答案证：由IDFT定

2、义式：1 NJ x(n)=迟 X(k)Wfnn= 0,1,，N1N k=01 N 4可知：x(0 Z X(k)N心题干证明：若x(n)为实序列，X(K)=DFTx( n)h贝U X(k)为共轭对称序列，X(K) =X*(N -k)。即答案证：由DFT的共轭对称性。将x(n)表示为x(n)=x r (n)+jx i (n)贝U: X(k)=DFT : x(n) : =Xep(k)+X op(k)其难：Xep(k)=DFT：xr(n),是 X(k)的共轭对称分量；X op(k)=DFT ：jx i (n),是X(k)的共轭反对称分量。所以：如果 x(n)为实序列，则 Xop(k)=DFT :jx

3、i (n) =0, 故 X(k)=DFT :x(n): =Xep(k)，即 X(K) =X*(N -k)。题干证明：若 x(n)实偶对称，即 x(n)=x(N n)，且 X(K)=DFTx(n)N 则 X(k)也实偶对称。答案证明：由DFT的共轭对称性可知，如果x(n)=x ep(n)+x op(n)则:X(k)=Re : X(k) : +j Im : X(k):贝U: Re : X(k) : =DFT xep(n) : , j Im : X(k) : =DFT xop(n):所以： 当x(n)=x(N n)时， 等价于上式中 x°p(n)=0, x(n) 中只有xep(n) 成分，

4、所以X(k)只有实部，即 X(k)为实函数。 又实序列的DFT必然为共轭 对称函数，*即 X(k)=X (N k)=X(N k)，所以 X(k)实偶对称。题干证明： 若 x(n)实奇对称，即 x( n)= x(N- n)，且 X(K) = DFTx( n)N 则 X( k)为纯虚函数并奇对称。答案证明：由DFT的共轭对称性可知，如果x(n)=x ep(n)+x op(n)则:X(k)=Re : X(k) : +j Im : X(k):贝U: Re : X(k) : =DFT xep(n) : , j Im : X(k) : =DFT xop(n):所以：当x( n)= x( N-n)时，等价于

5、x(n)只有x°p( n)成分(即xep(n)=0 ),* 故X(k)只有纯虚部，且由于 x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X (Nk)= X( N- k),为纯虚奇函数。题干证明频域循环移位性质：设X( k)=DFT : x( n) ,Y( k)=DFT : y( n),如果InY(k)=X( k+i) NRk),则 y(n) = idft Y(k)=叫 x(n)答案证：* N_Jy(n)=IDFTY(k)>-S Y(k)Wn1 NAN kX(k+l)NW/nN kANJ= wNn$ x(k + i)NW,k®N z令 mi=k+l,则1 Ny(n)=

6、wNnh!： X(m)NWNnN m=t n 1 寸、夕/ 、.一mn . . ,ln 彳、 =Wj 瓦 X (m)WN =WNX(n) N mT题干证明离散帕塞瓦尔定理。若X(k)=DFT :x( n),贝UN 丄N J_丁21 丁2无 |x(n)| - Z |X(k)|n 仝N k _0_答案证：1NV1NJ存 |X(k)X(k)X*(k)N心N心1N UNd= X(k)|5： x(n)W | Nk=0ln=0丿N 41 N 4=送 x*(n)石送 X(k)W/nn=0N k=0N -1N -4=Z. x (n)x(n)=送 |x(n) |2n Yn X题干若X(K)=DFTx(n) n,

7、证明X(K)是隐含周期的，其周期为N。答案证明：对任意整数m , k, m,N 1N _1N AX(k+mN)=2； x(n)wNk_|mN)n =迟 x(n)W,n = X(k)nn兰题干证明wNk的周期性，即WNk =Wk*N其中:k,m为整数，N为自然数答案证明：k -4mNj 辆;k 4mN )Wn二=ej評_j綁N=ex e_jN7-j 2 nm=e& e_j三琢=e贰(cos 2兀 m j sin 2兀 m)_j五=ek=Wn题干若：DFTx(n)=X(k)证明：DFTx"(n)=X(Nk)k=0N1答案证明：N/X*(N k)=瓦 x(n)WN(N±n

8、*n=0N 4=L x*(n曲N*nn =0N 4=送 x*( n)W/N w,nn =0N 4x*(n)WNknn =0= DFTx*( n)其中：WfN =e閘N =e%=cos(2n兀)+ j sin(2 低)=1题干若：x(n) =x(n )+jXi ( n ) 证明 DFTx(n)=Xep(k)答案证明：DFTxr( n) =DFTRex( n)= DFT&x(n)+x*( n)#X(k) + X*(N k)*p(k)题干若：x(n)=心(n)+xUn )证明 DFTxep(n)=X r(K)答案证明：DFTXep( n) = DFT1x(n) +x*(N n)= 2X(k)

9、 + X*(k)= ReX(k)=XR(k)题干若:x(n) =Xr (n )十 jXi (n ) 证明 DFTjx , (n)=Xop(k)答案题干若：x(n) =Xep(n)+Xop(n ) 证明：DFTXop(n) = jXi(K)答案证明：DFTXop( n) = DFT&x(n) x*(N n)= 1X(k)X*(k)= jlmX(k) = jXi(k)= X°p(k)证明：DFTjx(n) =DFT2x(n)x (n)= ；X(k) X*(N k)= X°p(k)= ；X(k) X*(N k)题干证明：Wr-WN"答案证明：=e却，e皿= ej

10、；Rcos兀-jsin兀= -wN题干证明：WrT=(-1)k答案证明：w/k=COS化 k) jsin严 k) =(1)k题干证明：答案证明：M/Nf* r散）*Wn =e NejN）ej2e 耶=e= e x enW,题干证明：Wn=w,答案证明：_e訓）_e訓伽 j 2 ym=e N" x（cos2jsin2兀）j 2 _m=e N （cos2二-j sin 2二） 二 eWw题干证明wNJ =wL答案证明：wKJ=eT=e"F=WN：题干证明DFT的线性性质即：若y(n)=axi(n) +bx?(n)则：丫(k)=DFTv(n)l =aX“(k)+bX2(k)其中：

11、a、b 为常数答案证明：令：y(n)=ax“(n)+bx2(n)则： 丫(e® =FTy( n)=FTaxd n) +bx2( n)od=瓦a%(n)址屜(n)eJwnn =cd=Z_ ax“(n)ewn +£ bx2(n)ewnnnoci= a£° xdn)ewn +b£° x?(n)ewn= aXi(ej 号 +bX2(ej<°)题干证明 FT 的线性性质。即设Xj(ej° )=FT :x1(n): ,X2(ej° )=FT:x2(n):,那么 FTax1(n) +bx2(n) =aX<e

12、鬥 +bX2(e勺 式中,a, b是常数答案证明：令：y(n)=axi(n)+bx?(n)则： 丫(e号二 FTy(n)=FTaxi( n) +bx2( n)oO=Z a%(n) + bx2 (n)e_|wnn z=cO=送 ax-! (n)eTwn + 送 bx2(n)eTwnnn=£30= a£° xi(n)ewn +b x?(n)e$n= aX1(e +bX2(e)题干将序列x( n)分成实部xr( n)与虚部Xj (n) , x( n)=xr( n)+jx j (n),证明：FTXr( n)=xej答案证明：Xe(e尬戶 FT X(门)=送 Xr(n)ej

13、<nn=Qxe(e戶三 Xr(n )e=Xe(e)n=oO实序列的Fourier变换具有共轭对称性题干将序列x( n)分成实部xr( n)与虚部Xj (n) , x( n)=xr( n)+jx j (n),证明：FTjXi( n)=xo(e唸)答案证明：Xo(ej)=j xjnn z=dOX：(eS)=j£ 片(nje虽=-Xo(ej<°)n =c0虚数Fourier变换具有共轭反对称性题干将序列x(n)分解为共轭对称序列和共轭反对称序列 即：x(n)=xjn)+xo(n)证明：FTxe( n)=XR(e临)答案证明：1FTxe (n) =；X(ejC°

14、;)+X*(ejG) =ReX(e 心)=XR(ejCC)2序列x( n)的共轭对称部分xe( n)对应着X(ej °)的实部XR(ej °)题干将序列x(n)分解为共轭对称序列和共轭反对称序列 即：x(n)=人(门)+人(n)证明：FT>o( n)=jXi(e熾)答案证明：FT) = 1x(e(ej<a)=j Im X (ej° )=jXi (e恋)序列x( n)的共轭反对称部分 xo( n)对应着X(ej ° )的虚部(包括j)。题干证明时域卷积定理，即设y( n)=x( n)* h(n)则：Y(ej 3)=X(ej ° )H

15、(ej ° )答案证明：y(n)=QOZ x(m)h(nm)mcCiY(e血)cOQO= FTy(n)=送送 x(m)h(n m)ej“nJO moo令 k=n-m则：Y(e血)=送 Z h(k)x(m)e "e"=jaOm=cCiQOQO=Z h(k)e捋送 x(m)ejmm=a= H(ej°)X(e血)题干设 x(n)是因果序列,X(z)=ZT :x( n) L 则 x(0) =lim X(z)答案证明：oOX(z)=送 x(n)z* =x(0) +x(1)z +x(2)z" + n=0因此：lim X =x(0)题干设 w( n)=x(

16、n)*y( n)X(z)=ZT : x(n) :Rx <|z|<R x+Y(z)=ZT : y(n) :R <|z|<R y+1证明；W(z)=ZT : w(n) =X(z)Y(z)Rw_ <|z|<R w+Rw+=min Rx+, Ry+R w-=max : Rx- , R y-答案证明：W(z) =ZTx(n) y(n)oOoo=迟_迟 x(m)y(n m)zmcciQOoO=Z x(m)送 y(n m)z=送 x(m)z Z y(n m)z4nJM)n=cCi= X(z) Y(z)W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。题干设 m(n)=a

17、x(n)+by(n)a, bX(z)=ZT :x(n) : R<-<|z|<R x+Y(z)=ZT :y(n) : Ry-<|z|<R y+则:M(z)=ZT : m(n) =aX(z)+bY(z)Rm-<|z|<R m+Rm+=min : 0+, R y+: ;Rm-=max :Rx-, R y-:答案证明：ZTm(n) =ZTax( n) +by( n)o=瓦ax(n) +by(n)Znqooa=Z ax(n)Z十送 by(n)Znn =£30oooa=a 瓦 x(n)Z+b 瓦 y(n)Z= aX(Z) +bY(Z)Rm-<|z|<R m+Rm+=mi n Rx+, Ry+】 ；Rm-=max Rx-, Ry-:题干证明：FT的周期性。即证明 FT的周期是2兀。答案证明：X(ej3)=：£ x(门曲涉x(n屮 $(e®M为整数nnz;f5Cl题干证明线性卷积服从交换律。即证明下面等式成立：x(n广h( n)=h( n)*x( n)答案证明：因为o