数理方程试卷A

1、.(10分)填空题1. 初始位移为:(x),初始速度为' (x)的无界弦的自由振动可表述为定解问题2 (Uo为常数)Utt 二 a Uxx，八 X : , t 0 汇=讪，Utz=w（x）.U（x, y） = x3 4y2 x26cos y -1.（10分）判断方程UxxyUt 二 a Uxx（ux厂 0, Ux= U0Uyy = 0的类型，并化成标准形式.解：因为&二-y2 ：0(y=0),所以除x轴外方程处处是椭圆型的。2分它的特征方程是釦2十0Idx丿即 dyy=-iy特征线为In y - ix = G , In y ix 二 c2作变换：求偏导数Ux =Ut|Uxx =

2、 U, v1 UyUyUyy(U _U )将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式U U 二 U10分.(10分)求解初值问题Utt = 4Uxx，- 二 X 二，t 01 2lUt = x , Utt/ cosx解：a =2,:(x)=x2, ' (x) -cosx利用达朗贝尔公式u(x,t)at)+ 122a 'xt5分得1221 x 2tu(x,t) =2【(x 2t) (x 2t) - xJtcos d4t21sin( x 2t) - sin(x - 2t)422=x24t21cosxsin 2t210分2四. (15分)用分离变量法解定解问题严2Utt 二 a Uxx

3、,0 x I, t 0Mix干 0, Ux0lut£ = x,Ut“ = 0-解先求满足方程和边界条件的解设解为u(x,t) =X(x)T(t)2分代入方程得X(x)TYt)=a2X"(x)T(t)除以 a2X(x)T(t)有X (x)二 T (t)=X(x) - a2T(t) _得到两个常微分方程X (x) X(x) =03分T(t)a2T(t) =04分由边界条件得 X (O)T(t) = 0, X (I )T(t)二 0由 T(t) =0，得 X (0) =0, X(l) =0分于是固有值问题为；X "(x) + 人(x) = 0,K(0)=°，x

4、(i)=0解之得一系列固有值n兀 2一 n =（亍）2, n = 0,1,2,相应的固有函数为n兀X n（X）二 COS x8分再解方程T (t) (口2T(t) = 0 ,通解为ln.an?.aTn(t) 9 COS i t DnSin t10分利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解“nuanannu(x,t) 八 (Cn cos t Dnsln t)cos xn4III12分由初始条件Ut It 0，得Dn =0 ,13分由 u t 士 = xM得x = £ C n c o s xn 411其中C0llxdx =-l ”0 2C1ln二，Cnxcos dx2 ( 1

5、) 1, n - 1, 2,l '0l(n：)14分将Cn,Dn代入U(x,t)得定解问题解1 21(-1) -1 n an 二22 cos t cos x2 -：2 nd n2ll15分五. (15分)解非齐次方程的混合问题x, 0 x 二,0,Ut 二 UxxUXP=°，W w = o.解先确定固有函数Xn(x).令u(x,t) = X(x)T(t)代入相应的齐次方程和齐次边界条件得x0乞x乞二固有值问题X“(x) +扎X(x) =0、x(o)=o, xs) = 0固有函数为 Xn(x)二sinnx,n =1,2,5分设解为0u(x,t)二 ' Tn (t)sin

6、 nx (1)n占7分其中Tn(t)是待定函数.显然U(X,t)满足边界条件为确定函数Tn(t),先将方程中的非齐次项展为固有函数级数QOx 八 fn(t)s i mx(2)n d8分其中2 尹(-1)n*2fn(t)x sinnxdx =兀0n9分再将(1),(2)代入方程得(_1)n 12Z Tn"(t) + n2Tn (t) _ s i nnx = 0nn 一比较系数，有(_1)n 十2Tn(t) n 2Tn(t), n =1,2；n.10 分由初始条件得oOTn (0) sin nx = 0n =1所以Tn(0) =011分解初值问题02a 二tTn (t)n2Tn(t) =

7、 (")2nTn (0) = 0,得(_1) 2 (1 -n2t )得 Tn(t)3 (1-e )八n14分将Tn(t)代入级数(1)，得定解问题的解.旳(一1)n卅2u(x,t) = 23 (1 - e七)sin nxn仝 n15分六. (15分)用积分变换法解无界杆热传导问题2ut 二 a u* 八 x :, tu/ ® (x).本题所用公式:F _1e 二x2”_ e荷02a 二t02a 二t解对x作傅氏变换，记02a 二tu( ,i)= F u(x,t)()二(x)2分对方程和初始条件关于x取傅氏变换，有fd2、2 =a 丸 u dtt旷7分解常微分方程的初值问题，

8、得仏,t）=仏）e"10分再对（，t）进行傅氏逆变换得u(x,t)二F13分15分二(x)x22e 4a t12a “ 二td七. （15分）用静电源像法求解上半平面 0的狄利克雷问题UxxUyy = 0, y 0U|y=0 二 f (X).解 先求格林函数，由电学知在上半平面 y0的点M0（x0,y0）处置单位 负电荷，在M。关于x轴的对称点Mi（X0,-y。）处置单位正电荷，贝尼与M。产 生的电势在x轴上互相抵消，因此上半平面y0的格林函数为G(M,M。)(ln二-匚讣 n(x-x。)2 (y-y°)2L| n(x-x。)2 (y y°)2b4 二7分下面求:

9、G-:yy =012(y-y。)2(y+ y。)4兀(xx°)2 +(y y°)2 (xx°)2 + (y + y°)2 一y = 0_ y°1 ' 2 2 二(x-xJ y°10分所以u(x0,y°)-bo-f(x)1(x -X0)2dx y015分八. （10分）证明调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，则必是 唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件f.证明：假设有两个调和函数Ui（x,y,z）和U2（x,y,z），它们在有界区域 门的边界丨上完全相同，贝U它们的差u = m -u2在门中也满足方程-u = 0，

10、且u|，0。由极值原理的推论知，函数u在区域门上最大值和最小值均为零，即 u三0。因此6三u2 ，即狄利克雷内问题的解是唯一 的。5分其次，设在区域门的边界丨上给定了函数f和f“，而且在】上处处成立f - f兰名，这里农是一个给定的正数。设u,屮分别是方程占u=0在区域0上 以f和f为边界条件的狄利克雷内问题的解，那么调和函数（u - u ） hl二f - f o由极值原理的推论可得，在'-1上各点有max（u 口讯）=mpx（ f f 讯）兰乞， 呷甲口 屮）=mjn （f f *）启 y .因此，在0上各点有u u"兰 mfx f f * 兰名,即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件10分2. 为使定解问题uz = 0中的