函数奇偶性、对称性与周期性有关结论

1、函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论与运用它们解决抽象型函数的有关习题。一、几个重要的结论一)函数y f (x)图象本身的对称性(自身对称)2、f(x)f (2ax)yf (x)的图象关于直线 xa对称。3、f( x)f (2ax)yf (x)的图象关于直线xa对称。4、f (ax) f(bx)yf (x)的图象关于直线x(a x) (b x)a b 对称。2 25、f(ax) f (ax)2by f(x)的图象关于点(a,b)对称。6、f(x)f (2ax)2by f(x)的图象关于点(a, b)对称。7、f( x)f (2ax)2

2、by f (x)的图象关于点(a,b)对称。8、f(ax) f(bx)2cyf(x)的图象关于点(a b c)对称。 2，二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、函数y f(a x)与y f(a x)图象关于直线x 0对称。2、函数y f (x)与y f(2a x)图象关于直线x a对称3、函数y f( x)与y f (2a x)图象关于直线x a对称4、函数y f (a x)与y f (b x)图象关于直线(a x) (b x) 0对称即直线x对称25、函数y f (x)与y6、函数y f (x)与y7、函数y f (x)与yf (x)图象关于X轴对称

3、。f ( x)图象关于Y轴对称。f ( x)图象关于原点对称1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、(三)函数的周期性f(xT)f(x)yf (x)的周期为Tf(xa)f (b xb)(a b)y f (x)的周期为f(xa)f(x)yf (x)的周期为T2af(xa)1f(x)yf(x)的周期为T2af(xa)1f(x)yf (x)的周期为T2aT b af(xa)1 f(x)1 f(x)f (x)的周期为T3af(xa)f(x) 1f (x)的周期为T3af(xa)1 f (X)1 f(x)f (x)的周期为T4af(x2a)f (x a)f(x) y f(x)的

4、周期为T6af (x)有两条对称轴x a 和 x b( a b) yf(x)周期 T 2(ba)f(x)周期 T 2(b a)f (x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0) y f (x)周期 T4(b a)奇函数y f (x)满足f (ax) f (ax)y f (x)周期 T 4a。偶函数y f (x)满足f (ax) f (ax)y f (x)周期 T 2a。、例题讲授 例题1(1) yf(x)是定义在实数集 R上奇函数，x 0时，f(x) 2x 1,求y f(x)的 解析式。(2) y f (x)满足 f(1 x) f(1 x)，x

5、1 时，f (x)2x 1，求 y f (x)的解析式。(3) 奇函数 y f(x)满足 f(1 x) f (1 x)，2 x 0 时，f(x) 2x 1，求f (log 218)(4) y f(x)满足 f(1 x) f (1 x) 0，x 1 时，f(x)2x 1，求 y f (x)的 解析式。例题2(1) f (x) ax bsinx 2， f (2)1 求 f( 2)(2) 偶函数yf(x)定义域为R,且恒满足f(x 2)f(2 x)，假设方程f(x) 0在0,4上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间8,10中的根.2x(3) f(x) ，求 f( 5) f( 4)f (5)f(6

6、)的值例题3(1)设函数y f(x)的定义域为R,假设y f(x)的图象关于x 1对称，那么函数满足Af (x) f (1 x)B、f (x)f (2 x) 0C f (x 1)f(1 x)D f(1 x) f (1 x)(2) 函数yf(x 1)与函数yf(1 x)的图象关于关于 对称(3) 函数yf(x 1)和函数yf(1 x)的图象关于关于 对称(4) 设函数y f(x)的定义域为R,且满足f(x 1)f(1 x)，那么y f(x 1)的图(5)设函数 y f (x)的定义域为 R,那么以下命题中，假设y f (x)是偶函数，那么y f(x 2)图象关于y轴对称；假设y f(x 2)是偶

7、函数，那么y f(x)图象关于直线 x 2对称；假设f(x 2) f(2 x)，那么函数y f(x)图象关于直线 x 2对称； y f(x 2)与y f(2 x)图象关于直线x 2对称，其中正确命题序号为 。例题512、 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意Xi,X2 0,-，都2有 f(x i+X2)=f(x 1) f(x 2)，且 f(1)=a0。11(1) 求f(丄)与f(丄)24(2) 证明f(x)是周期函数1 (3) 记 an=f(2n+ ),求证：an=a2n2n三、自我检测1、如果函数f(x) = X2+ bx + c对任意实数t都有f(2 + t)

8、= f(2 t),那么A.f(2) V f(1) V f(4)B.f(1) V f(2) V f(4)C.f(2) V f(4) V f(1) D.f(4) V f(2) V f(1)3、 如果奇函数f(x)在区间3 , 7上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间7, 3 上是A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为-5D.减函数且最大值为-54、 F(x) = 1 + Jf(x) , (x丰0)是偶函数，且f(x)不恒等于0,那么f(x)2x 1A.是奇函数B是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数5、设 f(x)是(一8,8 )上的奇函数，f(x + 2) = f(x)，当 0W x 1, f(x) = x,那么 f(7.5)=()A.0.5B. 0.5C.1.5D. 1.56、 设f(x)是定义在(8,+8)上的函数，对一切 x R均有f(x)+f(x+