高等数学 上册 习题答案 胡志兴 苏永美 孟艳 1

1、习题 1-1(A)1填空题(1)函数的定义域为;(2)函数的定义域为;(3)函数的定义域为;(4)函数的定义域为x<-3;(5)函数的周期为.2设，求及解： 则3设求解：4将函数用分段形式表示，并做出函数图形解：5判断下列函数的奇偶性(1);解：，则为偶函数(2);解：，则为奇函数(3);解：，则为偶函数6设,且当x=1时, ,求解：当x=1时，则：7求下列函数的反函数(1);解：则反函数为： (2);解：则反函数为： (3);解：时，则反函数为： ()时，则反函数为： 时，则反函数为： 则其反函数为：8证明：函数在内有界的充分必要条件是在内既有上界，又有下界证明：首先来看必要性 设在内

2、有界，且n m m，则有上界m；n ，则有下界n； 再来看充分性 设上界和下界分别是m和n，取 n m ，则，有界。9某厂生产某产品1200t，每吨定价100元，销售量在900t以内时，按原价出售；超过900t时，超过的部分打8折出售，试将销售总收入与总销售量的函数关系用数学表达式表示解：依题意，设总销售量为x吨，销售总收入为y元10在半径为r的球内嵌入一圆柱，试将圆柱的体积表示为其高h的函数，并确定此函数的定义域解：设圆柱底面半径为R由几何关系得： 即圆柱体积为： ()(B)12填空题(1)对一切实数x，有，则是周期为1的周期函数；(2)函数的定义域为；(3)已知，则的定义域为13计算题(1

3、)已知，且，求，并写出它的定义域；解：，则定义域为：，即(2)设，令，求；解：则：(3)设，并讨论的奇偶性和有界性；解：以此类推：，为奇函数当x=0时，当时，则有界(4)设试将表示成分段函数；解：(5)求的反函数解： 则反函数：14证明题(1)若周期函数的周期为T且，则得的周期为；证明：由已知： 则： 得证(2)若函数满足 则为奇函数.证明： (1)则， (2)(1)+ (2)得：由，则 即为奇函数习题1-2(A)1观察下列一般项为的数列的变化趋势，判断它们是否有极限？若存在极限，则写出它们的极限(1) ；有极限，极限为1；(2) ；有极限，极限为1；(3) ；有极限，极限为0；(4) ；有极

4、限，极限为1；(5) ；无极限；(6) ；无极限2利用数列极限的定义证明(1) ；证明：(2) ；证明：(3) ；证明：(4) ；证明：3证明：若，则，并举例说明：数列有极限，但数列未必有极限证明：由及数列极限定义，对，存在正整数N，当n>N时，有，则：故举例：数列的极限为1， 而数列 无极限5设，证明：证明：由极限定义可知， 取则当n>N时，则7求极限解：由于 由夹逼准则可得8设，证明：数列的极限存在，并求其极限证明：显然10求下列极限(1) ；解：(2) ；解：(3) ；解：(4) ；解：(5) ；解：(6) ；解：12设数列收敛，证明：中必有最大项或最小项证明：由数列收敛，则

5、此数列有界，即则中必有最大项或最小项13设，且a>b，证明：存在某正整数N，使得当n>N时，有证明：由，存在某正整数N，使得当n>N时，对，有取为无穷小，则16设证明：数列收敛，并求其极限证明：显然17设，证明：数列发散证明：数列有两个子数列：=0， ，而，数列发散数列发散习题1.3（P47）1. 答案：D解：例：在处没有定义但是有极限。2. 设（1） 作出函数的图形（2） 根据函数图形写出;（3） 极限存在么？解：（1）略（2） （3）因为，所以极限不存在3. 解：当时，函数的极限不存在。（不论它多么大），使得当时，有，故它的极限不存在。4. 解：5. 解：（1）当时，无穷

6、小（2），当时，无穷大（3），当时，无穷大（4），当时，极限为0，无穷小（5），当时，极限为0，无穷小6. 设解：因为存在，则，则，7. 解：（1）（2）8. 证：因为，则，使得当时，有，则则9. 解：（1），使得当时，有,故（2），使得当时，有,故（3），使得当时，有故（4），使得当时，有，故（5），使得当时，有，故（6），使得当时，有，故10. 解：，使得当时，有，故11. 解：（1）A，故（2）C，故（3）A考虑a=0的情况，BCD错误。习题1.4（P54）1. 解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）因为有界，则，故（12）因为，则2. 解（1） 令，

7、则（2） 令，则（3） 令，则（4） 令，则3. 解： 4. 解：则，故，5. 解：时，有极限，没有极限。当，没有极限， 不一定有极限（，）。6. 解：时，都没有极限。不一定有极限（例如：），不一定有极限（当时，时没有极限；当时，）。7. 解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）因为，8. 解；则且=，则，习题1-5(A)1. (1) D (2) B 2. (1) e-1/2 (2) e (3)3/4 (4) e2 (5)(-1)m-n (6) ex+13. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4. 解： 5. (1) 错，无穷小是极限为零的变量，无穷大是其值无限增

8、大的变量(2) 错(3) 正确(4) 正确(5) 错，反例见例3.8(6) 错，反例：(7) 错，6. 解： ，故它们是等价无穷小7. 解：，故是的高阶无穷小8. 解：，故与是同阶无穷小 ，故与是等价无穷小9. (1) 0，m<n (2) 1，m=n，m>n(3) (4) (5) (6) (B)10. (1) D (2) B (3) D11. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 12. 证明： 原极限不存在13. 解： 原式=114. 解：15. 证明：(1) 设t=arctanx，则(2) 16. 证明：(1) 因为，故有(2) 由有 所以，故有(3) 因为，所以 因

9、为，所以，所以所以，故有习题1-6(A)1. (1) B (2) C (3) A (4) D2. (1) -1, 1 (2) kp3. (1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 4. (1) x=1是可去间断点，x=2是无穷间断点(2) x, |x|>1f(x)= -x, |x|<1 0, x=1x=1是跳跃间断点(3) , x=1是跳跃间断点 ， f(x)在x=2处连续(4) , x=0是无穷间断点 ，x=-1是跳跃间断点(5) , x=0是跳跃间断点(6) 0, |x|>1 f(x)= , x=1 1, |x|<1 x=1是跳跃间断点5. 解：由

10、得： a=2， b=-16. 证明：设f(x)=ex-2-x, 因为 f(0)×f(2)=-2×(e2-4)<0 由零点定理知，至少存在一点Î(0,2)使f()=0 即，方程ex-2= x在(0,2)内至少有一个实根7. 证明：设f(x)=x-2-sinx，因为 f(0)×f(3)=-2×(1-sin3)<0 由零点定理知，至少存在一点Î(0,3)使f()=0 即，方程x=2+sinx至少有一个小于3的正根8. 证明：设F(x)=f(x)-f(a+x), 则有 F(0)=f(0)-f(a)=f(2a)-f(a)， F(a)

11、=f(a)-f(2a)所以，F(0)×F(a)=- f(a)-f(2a)2£0若F(0)×F(a)=0，则F(0)=F(a)=0；若F(0)×F(a)<0，则由零点定理知，至少存在一点Î(0,a)使F()=0；综上，至少存在一点Î0,a使F()=0，即至少存在一点Î0,a使f()=f(a+)9. 解：设F(x)=(p+q)f(x)-pf(c)-qf(d)，则有 F(c)=qf(c)-qf(d), F(d)=pf(d)-pf(c) 所以，F(c)×F(d)=-pqf(c)-f(d)2£0 若F(c)&

12、#215;F(d)=0，则F(c)=F(d)=0； 若F(c)×F(d) £0，则由零点定理知，至少存在一点Î(c,d)使F()=0； 又因为a<b<c<d,所以对任何正数p,q，至少存在一点Îc,dÌ(a,b),使得F()=0，即pf(c)+qf(d)=(p+q)f().(B)10. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 11. (1) x=1是可去间断点 x=是可去间断点 不存在 x=是无穷间断点 (2) x=0是无穷间断点 x=1是可去间断点 x=2是无穷间断点12. 解：由，知：a=0，b&#

13、185;1 由存在，知：b=e 所以，a=0，b=e13. 解： x+b x£0 h(x)= 2x+1 0<x<1 x+a+1 x³1 由 h(0-)=h(0+) 得：a=b=1 h(1-)=h(1+)所以，当a=b=1时，f(x)+g(x)在(-¥,+¥)上连续14. 解：化简得： x, |x|>1f(x)= ax2+bx, |x|<1 (a+b+1) x=1 (a-b-1) x=-1由 f(1-)=f(1+)=f(1) 得：a=0，b=1 f(-1-)=f(-1+)=f(-1)15. 证明：设f(x)=x3-3x2-9x+1,

14、则f(0)×f(1)=1´(-10)<0所以，存在xÎ(0,1)使f(x)=0,即原方程在(0,1)上存在实根唯一性：16. 证明：设F(x)=f(x)-x,则由题意有： F(a)=f(a)-a>0;F(b)=f(b)-b<0 所以，存在CÎ(a,b)使F(x)=0即f(x)=x.17. 证明：令，则有：且在上连续，使得：即：令，则有：且在上连续，使得：即：，证毕.18. 证明：若f(x1)=f(x2),则结论显然成立 若f(x1)>f(x2),则有f(x1)>>f(x2),由介值定理知：至少存在一点xÎx1

15、,x2,使得f(x)= 若f(x1)<f(x2),则有f(x1)<<f(x2),由介值定理知：至少存在一点xÎx1,x2,使得f(x)= 总上可知，原结论成立19. 证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)得：f(0)=0取x0Î(-¥,+¥),因为： 所以，f(x)为(-¥,+¥)上的连续函数.20. 证明：由于对"x1,x2Î0,1,有 |x13-x32|=|x1-x2|×|x12+x1x2+x22|£3|x1-x2| 于是对"e>0,取d=，对"

16、x1,x2Î0,1，当|x1-x2|<d时，就有：|x13-x32|<e. 故f(x)=x3在区间0,1上一致连续21. 习题 21 （A）1. 单项选择题。（1） C解：（2） A解：所以在x=1处不连续。（3） C解：函数在x=0处可导，则函数在x=0处连续。当b=0时，保证在x=0处连续；又；，为保证在x=0处可导，a=b。2. 填空题。（1）析：（2）析：（3）析：（4）析：（5）析：（6）析：（7）4析：3. 用导数定义证明下列等式成立。（1）证明：（2）证明：（3）证明：4. 求下列函数的导数。（1）解：（2）解： （3）解： （4）解： （5）解：5. 计算

17、题。（1） 解：，可知，在处的切线及法线斜率分别为 切线方程为即；法线方程为即（2） 解：可知，在处的切线及法线斜率分别为 切线方程为 即；法线方程为 即。（3） 解：若平行于直线则 设点为（）即，要求的点为（1，1）或（-1，-1）（4） 解：由可知，（5） 解：由可知，又（6） 解： （7）解：6. 解：（1）在处连续；又即不存在，y在x=0处不可导。（2）由y表达式可知，函数在x=0处连续，又函数在x=0处可导。（3）在x=0处连续；又；在x=0处不可导。（4），在x=0处连续；又在x=0处不可导。7. 证明题。（1） 证明：令t=-x，则（2） 证明：导函数存在，为奇函数时即为偶函数；

18、为偶函数时即为奇函数；证毕。 （3）证明：即要证当时，设为定义域中的任意一元素，由的任意性知，结论成立。习题 21 （B）8.解：在处的线密度即为质量对长度的函数的导函数在处的值，9.证明：在x=0处可导原式=证毕。10.解：由7（3）中证明知，又等价于即为所求的切线斜率法线斜率11.解：可去间断点为奇函数，；又在x=0处可导即函数在x=0处存在极限，显然在x=0处无定义，x=0为的可去间断点。12.解：13.解：令，得原式=14.解：15.解：连续性，要连续，则b+a+2=0 可导性，要可导，则 a=b 由两式得 a=b=-116.解：，又有界 ， M为常数17.解：由可以看出令t=x-1，

19、则x1等效于t 018.解：令则又令19.证明：充分性可导，则存在当时存在即在x=0处可导必要性又所以，要存在，则综上，得证习题 22 （A）1. 单项选择题。（1） B析：，（2） B析：，（3） B析：2. 将适当的函数填入下列括号内。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）微分的几何意义：对应曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。（10）高阶3. 计算题。解： （1），在x=2处时，；时，；时，（2），在处时，；时，（3） 4. 计算下列各题。解： （1）； ； 则， （2）令； ； （3）令； ； 则（4）球的体积由已知即测球半径时，所允许产生的相对误差是0.33%习题 2-

20、31、 填空题。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）-2；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）；（23）；（24）；（25）；（26）；（27）；（28）；（29）；（30）。2、求函数的导数与微分（1）；（2）；（3）；（4）（裂项分开后分别求导）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（乘法求导）；（10）（除法求导公式）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）；（23）；（24） ；（

21、25）；（26）；（27）；（28）；（29）；（30） ；（31）；（32）；（33）（先分母有理化，再利用除法公式求导）；（34） ；（35）；（36）；（37）先对求导： 则；（38）。3、利用一阶微分形式不变性求函数导数。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）原式变形为 两边对求导，有 则；（9） 所以 ；（10） 所以 ；（11）；（12）；（13）；（14）所以 ；（15）。4、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9） 。5、（1）先求，代入等式左边，变形整理等于右边。 将代入即证。（2） 同理，代入即证。（）6、，则 。7、

22、所以 。8、令，则，即，所以 。9、利用换元可得，所以。10、。11、令，有，所以由解得，所以。12、因为，所以在处不可导，因此。13、在处连续，但是，所以在处不可导，在处不连续，所以。14、解：，若在处连续，则存在，即存在，所以。15、解：由已知在处连续并且在处左导数等于右导数，即。16、解：在处无导数，在处不连续，所以。17、解：由已知在处连续并且在处左导数等于右导数，即。18、解：其中表示的同阶或高阶无穷小。 19、习题 2-41、 填空题。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）， ；（7） ；（8）1；（9）；（10）；（11）。2、导数和微分。（1），；（2）；（3）；（4）

23、；（5） ；（6）， ；（7）；（8），所以；3、（1），所以得 ；（2），所以；（3）同（1），有；（4）；（5）；（6）将两个式子分开，和，分别求导有和，所以原式 ；（7）；（8）；（9）；（10）；4、（1）；（2）；（3）。5、证明题。（1）证明：在处，所以， 得切线方程： 当时，当时， 所以为定值。（2）用（1）的方法写出切线方程，求截距并表示三角形面积，即可。6、， 所以 。7、。8、解：，；又，因为，所以 。9、解：， ，所以切线方程：。10、解：， ，所以切线方程：，法线方程：即。11、解：设时刻容器内水面高度为，水的体积为，水面半径为，现已知，要求时的。上式两端对求导，得代入

24、解得。12、解：设时刻仰角为，气球上升的高度为，则，两边对求导，有。习题2-5（A）1（1）解： 设 则 （A）（2）解：当x>0时： 当x<0时： 所以答案选（C）2（1） （2） （3） 对方程两端求导，得 再次求导 得将代入得 （4）， 对方程两端求导，将y（0）=-1代入得再次求导得：将代入得 3（1）解：对方程两边求导得 即 注意到y即y的一阶导数都是x的函数所以对两端再次求导得：（2）解：对方程两边求导得 所以 对上式求导得 ）（3）对方程两端求导得：注意到f是x，y的函数 所以（4）观察方程两边，可对其取对数简化计算 再对方程两边求导得 ：再次求导得：（5）解：有参数

25、方程所确定函数的倒数公式得 所以（6） （7） （8） （9）由于应用莱布尼茨公式，得4（1）因为 所以（2） （3） 5（1）解：因为 所以（2） 依此类推 （3） （4） （5） 6（1） （2）左式=右式=左式（3） （4） 将之代入方程得： （5） 将上两式代入方程得习题2-5（B）7解：要使f（x）在x=0处有二阶导数则需满足以下条件8解： 所以9解： ，显然 ，极限不存在依导数定义可知f（x）在x=0处存在2阶导数，在x=0处不连续。10解： 依此类推 11解：利用莱布尼茨公式可得：总复习题二1.（1）A （2）B (3) C (4) C (5) D2.(1) 连续可导 （2）不连

26、续 （3）连续不可导 （4）a0,间断; a>0,连续;0a1,不可导;a>1可导。3.（1）解： （2）解： （3）解：两边取对数再求导得： 即得 （4）解： (5) 解：先对原式进行变形： 再对两边求导数即可得： 最后将y代入即可 （6）解：当x>0时 f（x）= 当x<0时 f（x）= f（0）=04.（1）解：（2）解：由原式可得： 两边取对数求导得： 再次求导可得： 将y和y代入即可5.（1）解： 由已知的n次导数可得： （2）先对原式求一次导得： 则可得：继而可得：7.（1）解：由题可得： （2）解： （3）解： 8.（1）题目有错（2）证明：因为 令x=y

27、=0 则 即函数f（x）不但可导，且导数值恒为1。 （3）解：因为 9.（1）解：由题意可知：f（1）=2f（0）=2 （3）解：要使F（x）在点x=0处连续，则有 b=f(0),而要函数在x=0处可导，则只需有 a= （4）解法一：令S=x+ 可知有 S=Sm 而 S= 则Sm=则解法二：思路，对Sm等式两旁同乘以x，然后分别减去原等式的两边进行变化即可。（5）解：由于而所求的导数是x=0点，所以只需求莱布尼茨公式的前两项即可：习题3-1（A）1证明：显然f（x）在2,3上连续、可导，且f(2)=f(3) ,显然在2,3连续。 则有介值定理可知，在2,3区间上必存在一点使得 所以罗尔定理对f

28、（x）在区间2,3上成立2证明：显然函数在0,上连续、可导， ， 又，而-1<<0所以由介值定理可知必存在一点，使得所以拉格朗日中值定理对f（x）在区间0,上成立3证明：令，显然其在0,1上连续、可导。 由罗尔定理知，在0,1上必存在一点使得，即 所以在0,1上柯西中值定理对f（x）和g（x）成立4证明：令则即f（x）恒等于一常数，又f（0）=0，所以5证明：令 则 即,又6解：因为，由罗尔定理可知，在0,1,1,2,2,3,3,4区间分别存在四个点，使得7证明：（1）设，显然函数在整个定义域内连续、可导，则由拉格朗日中值定理可知：，即（2）设，显然函数在整个定义域内连续、可导，则

29、由拉格朗日中值定理可知：在a,b区间上有，即（3）设，则在b,a上函数连续、可导，由拉格朗日中值定理可知：存在一点，使得又因为，所以，即8证明：设，二者在0，上均连续、可导，并且对任意都有，由柯西中值定理知，存在使 ，即9证明：设则由拉格朗日中值定理知，使得 10证明：设，函数在a,b上连续，在（a,b）内可导 则 由罗尔定理可知，在（a,b）内至少存在一点使得： ，即11证明：设，其在0,1上连续，在（0,1）内可导 又，由罗尔定理可得 =012证明：设，利用反证法，设若方程有至少4个根，则，又f（x）在定义域内至少4阶连续、可导，则由罗尔定理可知，至少存在点，使得再次利用罗尔定理，则存在点

30、，使得=0由罗尔定理可知，在（）内至少存在一点使得而，即不可能找到一点使得f（x）的三阶导数为零，所以假设不成立，即方程至多有3个根13证明：令，其在0,上连续，在（0,）内可导又,所以由罗尔定理可知至少存在一点，使得即14证明：令，此函数在0,1上连续，在（0，1）内可导，又因为 ，由介值定理可知，在1/2,1之间存在c使得F（c）=0=F(0)，由罗尔定理可知，在0,c内至少存在一点使得15提示：令，对f（x）和g（x）用柯西中值定理即可得证16提示：令，f（x）、g（x）在a,b上用柯西中值定理可证习题3-1（B）17证明：因为f（x）在0,3上连续，所以f（x）在0,2上连续，且在0,

31、2上必有最大值M和最小值m，于是 故 由介值定理知，至少存在一点，使 因为f（c）=1=f（3），且f（x）在c,3上连续，在（c,3）内可导，所以由罗尔定理可知，必存在 18证明：，因为f（x）在a,b上连续，(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,则 由罗尔定理知在（a，b）内必存在一点c使得，由于所以，即内单调减在（a，x）（x<c）上利用拉格朗日中值定理知，即在（c，b）上利用拉格朗日中值定理同理可得即在a,b上，19证明：因为y=f（x）在x=0的某邻域内具有n阶导数由柯西中值定理得：反复运用柯西中值定理，得：使得：即使得：20证明：设，由题知F（x）在a,b上连续，(a,

32、b)内可导 则，又 即，即 即21证明：令，对F（x）应用拉格朗日中值定理，则存在使得 成立 再对在a,b上利用拉格朗日中值定理，则存在，使 成立 由上两式有22证明：（1）令，则g（x）在0,1上连续，且 所以存在，使得即f()=1-(2)根据拉格朗日中值定理，存在，使得 ， ，从而习题 32(A)1用洛必达法则求下列极限.(1) （2）= (3) (4) (5) (6) (7) = =(8) (9) (10) =(11) (12) (13) (14)由于 所以(15)由于 所以（16） （17） （18）由于 所以2.验证下列极限存在，但不能由洛必达法则得出. (1) 此极限不存在，洛必达

33、法则不适用. 原极限= （2）此极限不存在，洛必达法则不适用. 原极限=3.设函数具有一阶连续导数，且，试求：. 解：因具有一阶连续导数，从而连续，时，. 则.4.设连续，试用洛必达法则证明 证：当.且分子、分母（视为h的函数）都有导数，又注意到分母的导数，故对 （B） 5.用洛必达法则求下列极限. (1) (2) (4) (6) (8) ,所以6解：若使在连续，则满足，又 故当时，在连续.7.解：由于 所以，即函数在点处连续. 习题 33(A) 1 解： 2 解：令 同理可得：，故 .3 .解：故 .4. 解： 故 .5. 解： 故 .6. 解：故 并得到;故 .7. 解. ，因为 ， ，所

34、以 ，所以.8解：由已知， ，所以 .9. 估计下列近似公式的绝对误差. 解：（1），所以 ，故 ， .(2)因为，.所以，10. 解： ， 11. 利用三阶泰勒公式求下列各数的近似值并估计误差. 解：（1） ， . (2) , , ,其中 （3） ， .12.利用泰勒公式求下列极限. (1) 所以 ， . (2)因为. 所以 （3）所以 ()=(4) .13. 解：由题意可得：，即得证.14. 有误，无法证明.15. 证明： ，即2，（）， .(B)16. 解： = .18. 解： .20. 解： ， .21. 证明： ， . 第四节 函数的单调性与极值判定1. （1）A（2）D（3）B（4

35、）A（5）A（6)B（7）B2. （1）解 的定义域为， .令，得.当时，故在上单调增加；当或时，故在上单调减少.（2） 解 的定义域为, .故在上单调增加，在上单调减少.(3) 解 由于，易知在上单调增加，在上单调减少.(4) 解 当时，令得 当时，令得由极值的第一充分条件知：在内单调增加，在内单调减少.（5） 解 故在上单调增加，在上单调减少.(6) 解 故在上单调增加，在上单调减少.(7) 解 故在上单调增加，在上单调减少.(8) 解 利用对数求导法，得.故在上单调减少，在上单调增加.3. （1）解 令=0，得.，故该函数在处取得极大值5，在处该函数取得极小值4.（2） 解 令得.处导数

36、不存在.列表讨论易知：极大值为，极小值为.（3） 解 根据极值的第一充分条件知：处该函数取得极小值，处该函数取得极大值2.（4） 解 =，令得。易知极小值为，极大值为.（5） 解 ，令得，易知极小值为.（6） 解 ，令得，极大值为4. (1)证 令，在上连续，且.时，显然.故在上单调减少，时，即.（2） 证 令，在上连续，且.时，显然.时，连续.又由于时，故在上单调增加，即.进而有在内单调增加，时，即.（3） 证 令，在上连续，且.时，故在内单调增加，从而，即.（4） 证 令，在连续，且.时，故在内单调增加，且恒成立，进而表明在内单调增加，即当时，于是得证.（5） 证 令，在内连续，且。时，即

37、在内单调增加，即.（6） 证 令，在内连续，且.时，即在内单调增加，即.5. （1）解 函数在上连续，必能取得最大值和最小值.，有一个驻点.因为，比较后知在上的最大值为，最小值为.（2） 解 由于令解得.又因为，所以是唯一的驻点.是极大值点即是最大值点.又因为对任意的有，故即为最小值点.（3）解 当时，； 当或时，； 由得，比较知的最大值为，最小值为.（4） 解 ，令得.由，知函数的最大值为，最小值为.6. 解 令，.由得，根据定理4.1，有在内单调减少，在内单调增加，所以仅在内有一实根.7. 解 令，。由得，在上单调增加，在上单调减少，的根的数目取决于的取值范围.当时，此时有两个实根.当时，

38、此时有唯一实根.当时，此时无实根.8. 证 ，令得.当时当时，且，故而只有一个实根.9. 解 ，,故，即在内为增函数.，所以方程有且仅有一个实根.10. 解 .令，当时，.又因为，.比较知的最大值为，最小值为.11. 解 ，当为偶数时，恒成立，故此时无极值；当奇数时，令得，由极值的第一充分条件知：在内为增函数，在内为减函数，该函数在处取得极大值.12. 解 设内接矩形与椭圆在第一象限的交点为，内接矩形的面积记为，则 显然当时，即为椭圆的内接矩形中面积的最大值.13. 解 设切点坐标为，所求的三角形面积为，则切线的直线方程为 切线与坐标轴的交点为，于是该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为显然当，

39、即切点坐标为时，14. 解 设圆锥形漏斗的高为，体积为，由题意知，令得.由于，故当时，取得极大值同时也是最大值.15. 解 设漏斗的高为，体积为，由题意得，令得，截取的扇形弧长为，此时留下的扇形的中心角为.16. 解 记物体受到桌面的支持力为，由力的正交分解原理有 解得 令，得，即力与水平线的夹角为时，力最小.17. 解 运用对数求导法得令得，时该函数不可导.该函数在上为单调递增函数，在上为单调减少函数.18. 解 显然在内为增函数；在内为减函数，故该函数取得极大值，取得极小值.19.证 ，在处连续.当时,故在上为增函数，从而，即可表明在上也为增函数，.所以当时，.20.证 对任意的有，.由极

40、限的夹逼性知，从而在处连续. 当时，可导，又因为 显然为该函数的极值点，也为唯一的极值点.21. 证 令得.当时，故在内为递减函数；当时，故在上为递增函数.为该函数唯一的极值点同时也是最小值点.所以时有，即.22. 证 ，.，由函数表达式易知：当时，即在上为减函数；由，当时，即在内为增函数，进而在内为增函数。综上，为该函数的极小值也为最小值，于是时，得证.23. 证 ，.令得。是函数在上的唯一极大值点即是最大值点，此时。所以当时，24. 证 记, 令，有.当时，即在内单调增加，又因为，所以。进而，在区间内单调增加.习题3-51. 单项选择题（1） , x时， 单调下降，曲线是凹的故选（C）（2） , , 令 则 x0, 1 ,1故选（C）（3） 当时， ， 则 (x) 当x时， ，则 (x)所以在时是凸的，在是凹的（其中是趋于0的无穷小）。由拐点定义可知，选（D）（4） x时， ; x时，, 故xa 是f(x)的极大值故选（B）2. 求下列函数图形的凹凸区间及拐点（1）解：函数的定义域为 令，得x=1 x10曲线y凹拐点凸 由表可知：曲线在内是凹的，在内是凸的，拐点为（1，2）（2） 解：函数的定义域为 令 ，得 ax(,)00曲线y凹拐点凸拐点凹 由表可知：曲线在，内是凹的，在(,)内是凸的,拐点为