压杆稳定的概念及三种平衡状态

1、.391 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 P塑性材料 P脆性材料AP0.(a)(b)(a): 木杆的横截面为矩形（木杆的横截面为矩形（1 2cm), 高为高为3cm，当荷载重量为，当荷载重量为6kN 时杆还不致破坏。时杆还不致破坏。(b): 木木杆的横截面与杆的横截面与(a)相同，高为相同，高为 1.4m(细长压杆）细长压杆），当压力为当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。时杆被压弯，导致破坏。 .平衡的三种状态平衡的三种状态随遇平衡状态随遇平衡状态稳定平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置；干扰力撤消：平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置；干扰

2、力撤消：稳定平衡稳定平衡 凹面上，刚球回到原位置；凹面上，刚球回到原位置；随遇平衡随遇平衡 平面上，刚球在新位置上平衡；平面上，刚球在新位置上平衡；不稳定平衡不稳定平衡 凸面上，刚球不回到原位置，凸面上，刚球不回到原位置， 而是偏离到远处去。而是偏离到远处去。.平衡的三种状态：平衡的三种状态： 体系受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡体系受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡状态，当干扰消除后，它状态，当干扰消除后，它能够能够恢复到原有的平衡恢复到原有的平衡状态，则原有平衡状态称为状态，则原有平衡状态称为稳定平衡状态稳定平衡状态。 当干扰消除后，它当干扰消除后，它不能够不能够恢复到原有的平衡恢复到原

3、有的平衡状态，且状态，且趋向于远离原有的平衡状态趋向于远离原有的平衡状态，则原有平，则原有平衡状态称为衡状态称为不稳定平衡状态不稳定平衡状态。 当干扰消除后，它当干扰消除后，它不能够不能够恢复到原有的平衡恢复到原有的平衡状态，但状态，但能够在新的状态维持平衡能够在新的状态维持平衡，则原有平衡，则原有平衡状态称为状态称为随遇平衡状态随遇平衡状态。.F1FFFFcrFFcrFFcr稳定平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态干扰力干扰力.bs或.（1 1）由由微微分分方方程程写写出出对对应应的的特特征征方方程程（代代数数方方程程） ； （2 2）求求解解特特征征方方程程的的根根； （3 3

4、）按按特特征征根根的的情情况况（单单根根、重重根根、共共轭轭复复根根） 写写出出微微分分方方程程的的通通解解： 21 , rr有有两两个个不不相相等等实实根根xrxreCeCy2121 21 rrr 有有两两个个相相等等实实根根)(21xCCeyrx ir21, 有有一一对对共共轭轭复复根根的通解的通解方程方程 0 cyybya0 2 cbrar特征方程特征方程)sincos(21xCxCeyx 补充知识：补充知识： 求二阶常系数线性齐次方程通解求二阶常系数线性齐次方程通解. 临界压力临界压力 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。最小轴向压力。9.

5、2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程弯矩弯矩FwM 令令则则通解通解.9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力边界条件：边界条件：若若则则（与假设矛盾）（与假设矛盾）所以所以.w9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力得得当当 时，时，临界压力临界压力欧拉公式欧拉公式挠曲线方程挠曲线方程w.1、适用条件：、适用条件：理想压杆（轴线为直线，压力与轴线理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）重合，材料均匀）线弹性，小变形线弹性，小变形两端为铰支座两端为铰支座9.2 9.2

6、 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力-欧拉公式欧拉公式2 2、21lFcrEIFcr杆长，杆长，F Fcrcr小，易失稳小，易失稳刚度小，刚度小，F Fcrcr小，易失稳小，易失稳lxAwlk sin,3 3、在、在 F Fcrcr作用下，作用下，挠曲线为一条半波正弦曲线挠曲线为一条半波正弦曲线Awlx,2即即 A A 为跨度中点的挠度为跨度中点的挠度.例题例题解：截面惯性矩临界压力269kNN1026939.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力试按照压缩强度条件计算最大轴力？试按照压缩强度条件计算最大轴力？461.4KN.一、一端固支一端自由细长

7、压杆的临界载荷一、一端固支一端自由细长压杆的临界载荷FABl偏离直线平衡位置后的状态偏离直线平衡位置后的状态ABlF.挠曲轴近似微分方程：挠曲轴近似微分方程： 建立梁段平衡方程建立梁段平衡方程: :FM(x)Fxv)()(vFxMEIxMxv)(dd22)(dd22vEIFxv令令:EIFk 22222ddkvkxv.满足方程的解为：满足方程的解为：FABlxv令令:EIFk 22222ddkvkxvklBklAcossin边界条件边界条件： 0, 0vxvlx,B0Ak0dd, 0 xvxkxBkxAvcossin.取取 n=1, 得：得：22)2( lEIFcr0cosklEIFknnkl

8、2)2 , 1(2) 12(222)2() 12(lEInF.二、一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷lFFFRx偏离直线平衡位置后的状态偏离直线平衡位置后的状态.列出临界状态的平衡方程列出临界状态的平衡方程: :FRF)(xMFRFvxl 挠曲轴近似微分方程：挠曲轴近似微分方程： 建立建立x坐标处梁段的平衡方程：坐标处梁段的平衡方程：)()(xlFFvxMREIxMxv)(dd22)(dd22xlEIFvEIFxvR.由位移边界条件由位移边界条件确定常系数确定常系数: :)(dd22xlEIFvEIFxvRFFRx)()(cossin22EIFkxlEIkFk

9、xBkxAvR0cossinklBklA0, 0vx0,vlx02EIkFAkR0, 0vx02EIkFBR.00cossin01022 klklEIklkEIkl02 EIkFBR02 EIkFAkR0cossin klBklA具有非零解具有非零解klkl tanEIkF2493. 4kl22)7 . 0(lEIFcr方程组的非零解条件：方程组的非零解条件：.三、其它支持方式下细长压杆的临界载荷三、其它支持方式下细长压杆的临界载荷类比法类比法: :根据力学性质将某些点类比为支座点根据力学性质将某些点类比为支座点lFQQ 一端固支一端自由：一端固支一端自由：llFF22)2( lEIFcr.Q

10、Q 一端固支、一端铰支一端固支、一端铰支lFcrl7 .0拐点拐点Fcr0.7lFcrFcr22)7 . 0(lEIFcr.QQ 两端固支：两端固支：2lFcrFcr22)5 . 0(lEIFcr拐点拐点拐点拐点2l4l4lFcr.四、欧拉公式的一般表达式：四、欧拉公式的一般表达式：m ml 相当长度：相当的两端铰支压杆的长度相当长度：相当的两端铰支压杆的长度m m长度因数长度因数: :支持方式对临界载荷的影响支持方式对临界载荷的影响QQ 杆端约束刚度越强，杆端约束刚度越强，m m 越小，临界载荷越大。越小，临界载荷越大。QQ 柱状铰的约束方式。柱状铰的约束方式。22)( lEIFcrm.9.

11、3 9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力其他支座条件下细长压杆的临界压力长度系数长度系数（无量纲）（无量纲）m相当长度（相当于两端铰支杆）相当长度（相当于两端铰支杆）lm欧拉公式的普遍形式：欧拉公式的普遍形式：2)(2lEIFcrm m两端铰支两端铰支22cr)(lEIF xlyOFxF.9.3 9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力其他支座条件下细长压杆的临界压力.xzFFx.zy22126624)15622(2)622121(22412121233 zI2 21 12 22 21 12 21 11 1)()(crlEIlEIFzzz m m .)(3 33 322226 612121

12、 12 21212242412121 1 yI2222222cr)5 . 0()(lEIlEIFyyym,mincrcrcr2 21 1FFF zy22126624.9.3 9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力其他支座条件下细长压杆的临界压力.9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式1 1、临界应力、临界应力22 Ecr.9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式欧拉公式只适用于大柔度压杆欧拉公式只适用于大柔度压杆 杆长杆长l约束条件约束条件m m截面形状尺寸截面形状尺寸i 集中反映了杆长、约束条件、截面集中反映了杆长、约束条件、截

13、面形状尺寸对形状尺寸对 的影响。的影响。 cr 2 2、欧拉公式适用范围、欧拉公式适用范围1 pcrE 22当当pE 2即即pE 21令令P 比例极限比例极限.3 3、中小柔度杆临界应力计算、中小柔度杆临界应力计算 bacrbas 2 (小柔度杆小柔度杆)(中柔度杆中柔度杆)scr 9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式a、b 材料常数材料常数pcrs 当当12 即即经验公式经验公式（直线公式）（直线公式）scr bas 2令令P 比例极限比例极限s 屈服极限屈服极限pE 21令令.ilm m 压杆柔度压杆柔度AIi 四种取值情况，四种取值情况，临界柔度临界柔度

14、PE 21P 比例极限比例极限bas 2s 屈服极限屈服极限2 (小柔度杆小柔度杆)21 (中柔度杆中柔度杆)临界应力临界应力1 (大柔度杆大柔度杆)欧拉公式欧拉公式22 Ecr bacr直线公式直线公式强度问题强度问题scr 9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式. s22crE 粗粗短短杆杆细长杆细长杆中中长长杆杆C p p crO采用直线经验公式采用直线经验公式的临界应力总图的临界应力总图A cr= s sB cr=a b D三、临界应力总图三、临界应力总图 压杆按柔度分类：压杆按柔度分类： 中长杆中长杆(中柔度杆中柔度杆) 细长杆细长杆(大柔度杆大柔度杆

15、)p sp粗短杆粗短杆(小柔度杆小柔度杆)s 直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。.mlmilmAFcrcr9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式.FF stcrnFstn 稳定安全系数稳定安全系数stcrnFFn工作安全系数工作安全系数9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核压杆稳定性条件压杆稳定性条件stcrnFFnstcrn n或或crF 压杆临界压力压杆临界压力F 压杆实际压力压杆实际压力.解：解：CDCD梁梁0CM150030sin2000NFFkN6 .26NF得ABAB杆杆il

16、m1mm732. 130cos5 . 1l9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核 已知拖架已知拖架D D处承受载荷处承受载荷F=10kNF=10kN。ABAB杆外径杆外径D=50mmD=50mm，内径内径d=40mmd=40mm，材料为，材料为Q235Q235钢钢，E=200GPaE=200GPa， =100 =100，nnstst=3=3。校核。校核ABAB杆的稳定性杆的稳定性。1 例题例题.kN6 .26NFABAB杆杆ilmmm164644222244dDdDdDAIi131081610732. 11 得ABAB为大柔度杆为大柔度杆kN11822lEIFcrmNcrFFn 342.

17、 46 .26118stnABAB杆满足稳定性要求杆满足稳定性要求1mm732. 130cos5 . 1l9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核. 千斤顶如图所示，丝杠长度千斤顶如图所示，丝杠长度l=37.5cml=37.5cm，内径内径d=4cmd=4cm，材料为，材料为4545钢。最大起重量钢。最大起重量F=80kNF=80kN，规定的稳定安全系数，规定的稳定安全系数n nstst=4=4。试校。试校核丝杠的稳定性。核丝杠的稳定性。例题例题9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核（1 1）计算柔度）计算柔度cm144464424dddAIi 7515 .372ilm m 查得查得

18、4545钢的钢的 2 2=60=60， 1 1=100=100， 2 2 1 1 故可用欧拉公式计算。故可用欧拉公式计算。11 7001211105.77ylim其柔度为其柔度为9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核7mF12cm20cmyz7mFy20cm12cmz.9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核（2 2）计算）计算xozxoz平面内的临界力平面内的临界力 及临界应力。及临界应力。如图（如图（b b）, ,截面的惯性矩为截面的惯性矩为43ycm2880121220Icm46. 320122880AIizz相应的惯性半径为两端固定时长度系数两端固定时长度系数5 . 0m11010146.37005 .01 m m zil柔度为柔度为7mF12cm20cmyz. 应用经验公式计算其临界应力应用经验公式计算其临界应力, ,查表查表得得 kN8 .2322 . 012. 0107 . 96AFcrcr 9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核194. 0,3 .29bMPaaMPa7 . 9101194. 03 .29 bacr则则临界压力为临界压力为木柱的临界压力木柱的临界压力临界应力临界应力kNFcr161MPacr73. 6