勾股定理五种证明方法

1、勾股定理五种证明方法证法1ababab做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b,斜边长为c, 再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等.即2 2 1 2 1a b 4 ab c 4 ab22222 ，整理得ab c .证法2邹元治证明以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，那么每个直角三角形的面积等于2-ab.把这四个直角三角形拼成如下列图形状，使A、E、B三点在一一条直线上，B、F、C三点在一条直线上， Rt HAE也 Rt EBF,/ AHE = / BEFvZ AE

2、H + / AHE = 90o ,/ AEH + Z BEF = 90o .Z HEF = 180o 90o = 90o .四边形EFGH是一个边长为c的 正方形.它的面积等于c2.v Rt GDH也Rt HAE, Z HGD = Z EHAvZ HGD + Z GHD = 90o , Z EHA + Z GHD = 90o . 又vZ GHE = 90o , Z DHA = 90o + 90o = 180o .G D三点在一条直线上. ABCD!一个边长为a + b的正方形，它的面积等于14 abc22,2 a bc2证法3梅文鼎证明做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，

3、斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D E、F在一条直线上.过C作AC 的延长线交DF于点P. D E、F 在一条直线上,且 Rt GEF 也Rt EBD, / EGF = / BEDFEccBvZ EGF + / GEF = 90°,/ BED + Z GEF = 90°,Z BEG =180) 90o = 90 o . 又 v AB = BE = EG = GA = c , ABEG!一个边长为c的正方形. Z ABC + Z CBE = 90o .v Rt ABC 也 Rt EBD, Z ABC = Z EBD Z EBD + Z CBE = 90o .即

4、 Z CBD= 9Gb .又 vZ BDE = 90o , Z BCP = 90o ,BC = BD = a . BDPO个边长为a的正方形. 同理，HPFG!个边长为b的正方形. 设多边形GHCB的面积为S,那么2 2 1 2 1 a b S 2 -ab, c S 2 - ab 2 22 2 2 a b c证法4 1876年美国总统 Garfield 证明以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，那么每个直角三 ab角形的面积等于2 .把这两个直角三角形拼成如下列图形状， 使A、E、B三点在 一条直线上.v Rt EAD 也 Rt CBE, Z ADE = Z BECvZ AED + ZADE = 90o , Z AED + Z BEC = 90o . Z DEC = 180o 90o = 90o . DEC! 一个等腰直角三角形，1 2c它的面积等于2.又vZ DAE = 90o , Z EBC = 90o , AD/ BC ABCD! 一个直角梯形，它的面积等于1 2 1 a b 2 ab2 . 2 2 a b c .证法5辛卜松证明设直角二角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正那么正方形ABCD勺方形ABCD把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个局部,2 2 2面积为a b a b 2ab ；把正方形ABC