初高中数学衔接之数学思想方法

1、初高中数学衔接-数学思想方法目录一、方程与函数思想1.1方程思想1.2函数思想二、数形结合思想2.1数形结合思想三、分类讨论思想1.1方程思想方程知识是初中数学的核心容。理解、掌握方程思想并应用与解题当中十 分重要。所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把 量与未知量之间的数量关系转化为方程(组)模型，从而使问题得到解决 的思维方法。对方程思想的考查主要有两个方面：一是列方程(组)解应用题； 二是列方程(组)解决代数或几何问题。(1) 高中表达函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知 识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函

2、数关 系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决 有关求值、解(证)不等式、解方程以与讨论参数的取值围等问题；方程思想即 将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决举例：例1函数f (x)=log m _ f( ) logm一3 logmm( 1) 3x 3(1) 假设f(x)的定义域为a，B】，(B>a> 0)，判断f(x)在定义域上的 增减性，并加以说明；(2) 当 Ov m< 1 时，使 f(x)的值域为logm m B - 1):, logm m a - 1): 的定义域区间为a , B B > a > 0)是否存在？请

3、说明理由解(1)0 x<-3 或 x>3x 3T f(x)定义域为a , B ,二 a > 3设"X1>X2，有 26(X1 X2)0为 3 X23(为 3)(X23)当0< m< 1时，f (x)为减函数，当m> 1时，f (x)为增函数(2) 假设 f(x)在a , B 上的值域为logmmf B - 1),log 矶 a - 1)0< m< 1, f (x)为减函数3f ( ) logm3 logmm( 1)3(2m 1)(2 m 1)3(m 1)0 又3( m 1)0即a , B为方程mX+(2m- 1) x - 3( m

4、- 1)=0的大于3的两个根16m2 16m 12m 12mmf00，0< m< 4故当0< m<时，满足题意条件的m存在4例2.对于函数f(X)，假设存在Xo R,使f(Xo)=Xo成立，那么称X。为f(x)的不动点 函数 f (x)=ax/. x=ax +(b+1)x+(b - 1)，即ax2+bx+( b - 1)=0恒有两相异实根 =b2 - 4ab+4a> 0( b R)恒成立于是' =(4a)2 - 16a<0 解得 0<a< 1故当b R, f(x)恒有两个相异的不动点时，0<a< 1(3) 由题意A、B两点应在

5、直线y=x上，设A(X1,xd, B(X2, X2)1又 A、B关于y=kx+ 1 对称2a21 k=- 1 设AB的中点为Mx' ,y')T X1, X2是方程ax2+bx+(b - 1)=0的两个根+(b+1)x+(b- 1)( az0)(1) 假设 a=1, b= - 2时，求f (x)的不动点；(2) 假设对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值围；(3) 在(2)的条件下，假设y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f (X) 的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 1 对称，求b的最小值2a 1解 (1) 当 a=1, b= - 2 时，f (x)

6、=x2 - x - 3，2由题意可知 X=x - x - 3，得 X1= - 1, X2=3故当a=1,b=- 2时，f (x)的两个不动点为-1,32(2) v f(x)=ax+(b+1)x+(b- 1)( a 0)恒有两个不动点， x，=yx-ix22又点M在直线y2a，1* bx 2 上有 - 2a2 12a12a丄ab2a12a2 1 a>0,. 2a+- >2 2当且仅当2a=丄即a=2 (0,1)时取等号,aa2故b>- 1 ，得b的最小值-22424初中表达所谓方程思想，是指在求解数学问题时，从题中的量和未知量之间的 数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言

7、将相等关系转化为方程或 方程组，再通过解方程组使问题获得解决。方程思想是中学数学中非常 重要的数学建模思想之一，在初中数学中的应用十分广泛。方程型综合题，主 要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变 形、解方程组、解不等式组、函数等知识其根本形式有：求代数式的 值、求参数的值或取值围、与方程有关的代数式的证明。举例例3、如图，抛物线y= x2+ px+ q与x轴交于A、E两点，与y轴交于C点，假设/ ACB= 90°,且 tan / CAO- tan / ABO=2 1求 Q 的值，2求此抛物线的例4、如图，D E分别是三角形ABC的AC AB解析式。3设

8、平行于x轴的直线交抛物线于M、N 两点。假设以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆 的半径。边上的点，BD CE相交于点O,假设三角形OCD勺面积是2,三角形OBE的面积是3，三角形 OBC的面积是4 ,求四边形 ADOE的面积解：连接AO并延长交BC于 F。设SA AO为x, SA AO为y。因为 ABFfA ACF同高，所以 SAABF:SA ACF底之比二BF:CF=2BF:2CF 同理 SA OBF:SOCF底之比=BF:CF0 由和得 SABF:SACF= OBF:SOCF( S ABF-SXOBF :( SACF-S OCF =SX AOB:SAOC 所以 SXAOB:至 AOC=

9、XOBF:S OCF同理，SXBOA:SBOC=XOAD:SXOCD 即(3+x) :4=y:2同理，SXCOA:SCOB二XOAE:至OBE 即(y+2) :4=x:3解这个方程组即可。解得x=4.2 , y=3.6。所以所求四边形面积=x+y=8o例5、正方形的边长为a,以各边为直径在正方形画半圆，那么所围成的图形 阴影局部的面积是 (设每一个叶片的面积为x, “高脚杯面积为y)例6、在直角坐标系中，抛物线y=x2+mx- m2(m> 0)与x轴交于A、B两点。 假设点A、B到原点的距离分别为OA OB且满足丄 丄 那么m的值为OB OA 3思路点拨：设A (Xi,0 ) ,B(X2

10、,0),把OA OB用xi，X2的式子表示，建立m 的方程。1.2函数思想函数的思想方法就是用联系和变化的观点看待或揭示数学对象之间的数量 关系。能充分利用函数的概念、图象和性质去观察分析并建立相应的函数模型 解决问题。方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以 用函数思想讨论方程问题。在确定函数解析式中的待定系数、函数图像与坐标 的交点等问题时，常将问题转化为解方程和解方程组。(1)高中表达举例：例1、实数k为何值时，方程kx2+2|x|+k=0有实数解？解：运用函数的思想解题，变形得由方程可得k=二1 x2x|方程有解时k的了值围就是函数f (x)=2的值域，显然一Kf(x

11、) < 01 x故一1 < k< 0即为所求。Xn)的算术平均值为10，假设去掉9;假设去掉其中最小的一个，余下例2、有一组数据：XX2，X(X1 X2 其中最大的一个，余下数据的算术平均值为 数据的算术平均值为11(1)求出第一个数X1关于n的表达式与第n个数Xn关于n的表达式;(2)假设 X1, X2 ,Xn都是正整数，试求第n个数Xn的最大值，并举出满足题目要求且Xn取到最大值的一组数据X1 X2解(1)依条件得：X1 X2X2 X3Xi n 9，又由(1) (3)得：X1 11(2)由于X,是正整数，故X111当n =10时,幻1， X1019X26, X37, X4

12、8,X59, x611xn 10n(1)Xn 19(n1) (2)由(1)(2)得：Xn11(n 1)(3)nn 1，1n 10，故Xnn 919，x2x3x980J此时，X712 , X813 , X914例3、二次函数f(x)=ax2+bx (a, b为常数，且a0)满足条件：f (x- 1)=f (3 x)且方程 f (x)=2x 有等根(1) 求f (x)的解析式；(2) 是否存在实数 m n (叶n),使f(x)的定义域和值域分别为m n和 4m4n，如果存在，求出mn的值；如果不存在，说明理由解：(1) T方程 ax2+bx 2x=0有等根，二 =(b 2)2=0, 得 b=2。由

13、f(x 1)=f(3 x)知此函数图像的对称轴方程为 x=卫=1，得a= 1，2a2故 f(x)= x +2x1(2) : f(x)= (x 1)-4而抛物线y= x2+2x的对称轴为x=1，A当nW1时，f(x)在m,n上为增函数。4假设满足题设条件的m,n存在，那么f(m) 4mf (n) 4nm22m 4mm0或m2 口1即 2又mvnc丄n2n 4nn0或 n24m=-2,n=0，这时，定义域为2，0，值域为8, 0由以上知满足条件的m,n存在,m= 2,n=0(2)初中表达函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题， 转化为函数来解决问题。函数型主要是几何与函数

14、相结合型、坐标与几何方程 与函数相结合型综合问题主要是以函数为主线，建立函数的图象与性质、方 程的有关理论的综合解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互 转化例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上 即点的坐标满足函数的解析式等函数是初中数学的重点，也是难点，更是中 考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结 合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力.例4.某农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台. 现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20 台派往B地区.两地区与

15、该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表:每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800 元1600 元B地区1600 元1200 元(1) 设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这 50台联合收割机一 天获得的租金为y(元)，求y与x间的函数关系式，并写出x的取值围；(2) 假设使农机租赁公司这 50台联合收割机一天获得的租金总额不低于 79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；(3) 如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机 租赁公司提出一条合理建议.解：(1)假设派往A地区的乙型收割机为x台，那么派往A地区的甲型收割机 为(30 x)台；派往

16、B地区的乙型收割机为(30- x)台，派往B地区的甲型收 割机为(x 10)台. y = 1600x + 1800(30 x) + 1200(30 x) + 1600(x 10) =200X+ 74000. x的取值围是：10< x< 30(x是正整数).(2) 由题意得 200x+ 74000?79600，解不等式得x >28.由于10<x< 30,二x取28，29，30这三个值，.有3种不同分配方案. 当x = 28时，即派往A地区甲型收割机2台，乙型收割机28 台；派往B地区甲型收割机18台，乙型收割机2台. 当x = 29时，即派往A地区甲型收割机1台，乙

17、型收割机29 台；派往B地区甲型收割机19台，乙型收割机1台. 当x= 30时，即30台乙型收割机全部派往 A地区；20台甲型收割机全 部派往B地区.(3) 由于一次函数y = 200x + 74000的值y是随着x的增大而增大的， 所以，当x二30时，y取得最大值.如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最咼，只需 x = 30,此时，y= 6000+ 74000= 80000.建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往 A地区；20台甲型收割要 全部派往B地区，可使公司获得的租金最高.2.1数形结合思想数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，每个几何图形中都要蕴涵着 一定的数量关

18、系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。 数形结合思想就是把代数、几何知识相互转化，相互利用的一种解题思想。运用数形结合思想解题的三种类型与思维方法： “由形化数：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含 的数量关系，反映几何图形在的属性。 “由数化形：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反 映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。 “数形转换：就是根据“数与“形既对立，又统一的特征，观察图 形的形状，分析数与式的结构，弓I起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直 观并提示隐含的数量关系。X 2 < 0，例1、点Px，y在不等式 y 1 w0，

19、表示的平面区域上运动，那么z= x y的取值围x+2y 2 > 0是例2、二次函数y=f心的图象以原点为顶点且过点 1,1,反比例函数y=f2x的图象与 直线y=x的两个交点间距离为 8,fx= f 1x+ f 2x.1求函数fx的表达式；2证明：当a>3时，关于x的方程fx= fa有三个不同的实 数解. 2 2解：1由,设 f 1x=ax ,由 f 11=1,得 a=1, f 1x= x .k设f 2x=k>0,它的图象与直线y=x的交点分别为xA k , 、k B k , , k 88由 AB =8,得 k=8,. f2x=.故 fx=x 2+ xx2 8 2 82 证法

20、一 fx=fa, 得 x+ =a+,x a8228即=x +a +.xa8在同一坐标系作出f2(X)=和X228f 3(x)= x +a + a的大致图象，其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3(X)2 8与的图象是以(0, a 2+8)为顶点，开口向下的抛物线.a因此，f 2(x)与f 3(X)的图象在第三象限有一个交点，即f(x)=f(a) 有一个负数解.又 f2(2)=4, f 3(2)= 4+a2+8a2 8当 a>3 时，.f 3(2) f 2(2)= a + 8>0，a当a>3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2，f(2)

21、 在f2(x)图象的上方. f 2(x)与f 3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解因此，方程f(x)=f(a)有三个实数解 14分2 8 2 8证法二由 f(x)=f(a)， 得 x + =a + ，x a8即(x a)(x+a )=0，得方程的一个解 xi=a.ax822方程 x+a=0 化为 ax +ax 8=0，ax由 a>3, =a4+32a>0,得a2 x-a432aa2Ja432ax 2=, x 3=,2a2a/ X2<0, x 3>0, XlM x 2,且 X2 x 3.a a 32 a 2 >44右 xi= x 3,

22、即 a=,那么 3a = . a 32a , a =4a,2a得a=0或a= V4 ,这与a>3矛盾， x1工x3.故原方程f(x)=f(a)有三个实数解。例 3、设 A=x|x|=kx+1, 假设 AQR+=© ,A AR -,数 k 的取值围.解法1:方程|x|=kx+1的解是函数y=|x|和y=kx+1交点的横坐标，结合图形知(如图2),当直线y=kx+1在角a围时，方程有负根，且没有正根，故k> 1.x解法2:由题意须x有解，kx 1中中kxk=-1无解.1时无解，k1时,xk=1时无解,k半0时,假设x1k 111 k0 得 k 1;0即k1,那么有解,所以,k

23、 > 1.另：两个数的差的绝对值的几何意义:x 10，得x例1解不等式：解法一：由x 1假设x 1，不等式可变为b表示在数轴上，数 a和数b之间的距离.1;由x (x 1) (x 3) 4 ,3 0，得 x 3 ；即 2x 4 >4，解得 xv 0,又 x v 1 ,xv 0; 假设1 x 2，不等式可变为x 1 x 34 ,即 1 > 4,不存在满足条件的 x; 假设x 3，不等式可变为x 1 x 34 ,即 2x 4 > 4,解得 x>4.又 x>3, x> 4.综上所述，原不等式的解为xv0,或x>4.解法二：如图1. 1 - 1, x 1

24、表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距 离|PA，即|PA = |x- 1| ;|x 3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB，即|PB =丨 X 3| .所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义|x3|即为PCAb D|PA +1 pb >4.I111_I一由 I AB = 2,可知x0134x点p在点q坐标为0的左侧、或点 p在点D坐标为4的右侧.|x 11xv 0,或 x> 4.图 1 . 1 1二次函数 的性质可以分别通过图 2. 2 3和图2. 2 4直观地表示出来因此，在今后解决 二次函数问题时，可以借助于函数图像、禾U用数形结合的思想方法来

25、解决问题.图 2.2-4例1求二次函数y= 3x2 6x+ 1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当 x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)2 2解： y = 3x 6x + 1 = 3(x+ 1) + 4,函数图象的开口向下；对称轴是直线x= 1；顶点坐标为(1, 4);当x= 1时，函数y取最大值y= 4;当xv 1时，y随着x的增大而增大；当 x> 1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A( 1, 4)，与x轴交于点B(3 3,0)和C(生3 3,0)，与y轴的交点为D(0 , 1), 33过这五点画出图象(如图 2 5所示).说明：从这个例题

26、可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点， 减少了选点的盲目性， 使画 图更简便、图象更精确.(2)初中表达例1、抛物线过点(4, 6)( - 2, 6)，在x轴上截得的线段长为 2 3，求函数解 析式。例2、抛物线yax2bxc与直线y kx 4相交于A (1,m),B(4,8),与x轴交于原点O与C,( 1)求直线与抛物线解析式；(2 )在x轴上方是否存在点 D,使1得S OCD 2S OCB，如果存在，请求出所有满足条件的点D,假设不存在，请说明理由。2分类讨论思想分类讨论思想就是要针对数学对象的共性与差异性，将其区分为不同种类，从而克服学生思维的片面性，有效地考查

27、学生思维的全面性与严谨性。要做到 成功分类，要注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类的 对象；二是找出科学合理的分类标准，满足不重不漏的原那么。分类讨论的思想 是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性，严谨性和灵活性以与提 高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而并不是问题中一 出现含参数问题就一定得分类讨论，如果能结合利用数形结合的思想，函数的 思想等解题思想方法可防止或简化分类讨论，从而到达迅速、准确的解题效果。(1)高中表达参数广泛地存在于中学数学的各类问题中，也是近几年来高考重点考查的 热点问题之一。以命题的条件和结论的结构为标准，含参数的问题可分为

28、两种 类型，。一种类型的问题是根据参数在允许值围的不同取值(或取值围)，去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论；科学的分类满足两个条件： 条件保证分类不遗漏；条件保证分类不重复。在此根底上根据问题的条件 和性质，应尽可能减少分类。a (a 0)绝对值的定义是：|a|0 (a 0)a (a 0)所以在解含有绝对值的不等式|log首x|+|log 1 (3 x)| > 1时，就必须根据确定log ?x，log 1 (3 x)正负的x值1和2将定义域(0，3)分成三个区间进行讨论，3即 Ovxv 1,1<xv2, 2<xv 3三种情形分类讨论。例1、解关于x的不等式：a(x

29、 1)1(a 1).x 2sin x | cox | tanx |cotx|例2、求函数的值域| si nx| cox | ta nx| cotx例3,设首项为1,公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为S,又设TnSnSn 1n= 1, 2,，求 Tn解：当 q= 1 时，S= n, Tn= n ,lim Tn 1n 1n当 qM 1 时，Sn1Tn 丄善1 q1 q1 q于是当 Ov qv 1 时，lim qn 0, lim Tn 11 1当 q> 1 时，lim0, lim Tn -n qnq综上所述，lim Tnn1 (0 q 1)1 (q 1)q(2)初中表达分类讨论涉与全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因, 明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做到既不重复又不遗漏， 分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案，防止考虑