第2章 §3 参数方程化成普通方程

1、.§3参数方程化成普通方程1.理解参数方程化成普通方程的意义.2.掌握参数方程化成普通方程的根本方法.重点3.可以利用参数方程化成普通方程解决有关问题.难点根底·初探教材整理参数方程化为普通方程参数方程和普通方程是曲线方程的两种不同形式，普通方程用代数式直接表示点的坐标之间的关系；参数方程是借助于参数间接地反映点的坐标之间的关系.两者之间可以互化，将参数方程化成普通方程的常用方法有：1代数法消去参数代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把

2、参数方程中的两个方程进展代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程.2利用三角恒等式消去参数假如参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程.填空：1将参数方程t为参数化为普通方程是_.2将参数方程为参数化为普通方程是_.3将参数方程t为参数化为普通方程是_.【解析】1把tx代入得y2x即普通方程为y2x.2由sin2 cos2 1得x2y21.3由得ty1，代入得x2y12.【答案】1y2x2x2y213x2y12质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解

3、惑： 小组合作型把曲线的普通方程化为参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程.11，xcos 1.为参数2x2yx10，xt1.t为参数【精彩点拨】根据题目要求代入可求解.【自主解答】1将xcos 1代入1得y2sin .为参数.这就是所求的参数方程.2将xt1代入x2yx10得yx2x1t12t11t23t1，t为参数.这就是所求的参数方程.普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价.参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.如本例2，假设令xtan 为参数，那么参数方程为为参数.再练一题1.求xy1满足以下条件的参数方程.1xt

4、t0；2xtan .【解】1将xt代入xy1得t·y1.t0，y，t为参数，t0.2将xtan 代入xy1得y，为参数，kZ.探究共研型将参数方程化为普通方程的方法探究1下面将参数方程t为参数，化成普通方程的过程是否正确？为什么？解：由x1，得x1，代入y12，得y2x3.这是一条过点0,3，且斜率为2的直线.【提示】解析过程不正确，因为没有考虑x是有范围的，即x11.探究2将参数方程化成普通方程应注意什么？怎么来做？【提示】将参数方程化成普通方程，应注意，消参过程中要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的；消参前必须是根据参数的取值范围确定ft和g

5、t的值域，从而得到x，y的取值范围.探究3把参数方程化为普通方程时，常用哪些方法？【提示】消去参数的方法一般有三种：1利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；2利用三角恒等式消去参数；3根据参数方程本身的构造特征，选用一些灵敏的方法从整体上消去参数.将以下参数方程化成普通方程，并说明方程表示的曲线.1t为参数；2a，b为大于零的常数，t为参数.【精彩点拨】1可用代入法；2可用代数运算法.【自主解答】1由t，代入y4t中，得4x3y40，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线.2x，t0时，xa，t0时，x，a.由x，两边平方可得x2，由y两边平方可得y2，并化简，得1，这就是所求

6、的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线.将不含三角函数的参数方程化成普通方程时，假设两个方程中其中一个可以解出参数t，那么用代入法消参，否那么用代数运算法消参.再练一题2.把以下参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线.1t0，t为参数；2t是参数且ab0.【解】1由解得ty1，代入中，得x4y12y1，即y12xy1.方程表示的曲线是顶点为0,1，对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分.2由可得22得1ab0，xa，这就是所求的普通方程，方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆去掉左顶点.将以下参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线.1t为参数，0t；2为参数.【

7、精彩点拨】1利用sin2tcos2t1消参；2cos 212sin2消参.【自主解答】10t，1cos t1，0sin t1.3x5，2y2，x12y2216cos2t16sin2t16.x12y22163x5，2y2，它表示的曲线是以1，2为圆心，半径为4的上半圆.2由y1cos 2，可得y2sin2，把sin2x2代入y2sin2，可得y2x2，即2xy40.又2x2sin23，所求的方程是2xy402x3，它表示的是一条线段.对于含有三角函数的参数方程化成普通方程问题，常联想三角恒等式，利用三角变换消去参数，而得到其普通方程，但应注意x，y的取值范围.再练一题3.某条曲线C的参数方程为其

8、中t是参数，aR，点M5,4在该曲线上.1求常数a；2求曲线C的普通方程.【解】1由题意，可知故所以a1.2由及1可得，曲线C的方程为由第一个方程，得t，代入第二个方程，得y2，即x124y为所求.构建·体系1.曲线为参数的一条对称轴的方程为A.y0B.xy0C.xy0D.2xy0【解析】曲线为参数的普通方程为x12y224，圆心C的坐标为1,2，过圆心的直线都是圆的对称轴，应选D.【答案】D2.与普通方程x2y10等价的参数方程为A.t为参数B.t为参数C.t为参数D.t为参数【解析】A化为普通方程为x2y10，x1,1，y0,1.B化为普通方程为x2y10，x1,1，y0,1.C化为普通方程为x2y10，x0，y，1.D化为普通方程为x2y10，xR，y，1.【答案】D3.假设曲线为参数，那么点x，y的轨迹是_. 【导学号：12990028】【解析】x1cos 2112sin222y，x2y20.又x1cos 20,2，ysin20,1.点x，y的轨迹是以2,0和0,1为端点的线段.【答案】以2,0和0,1为端点的线段4.参数方程为参数化成普通方程为_.【解析】为参数，为参数.22得x2y121，此即为所求普通方程.【答案】x2y1215.指出以下参数方程表示什么