医用高等数学第五章

1、.abxyo? A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.)(xfy .abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）.观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放.观察下列演示过程，注意

2、当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲

3、边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程

4、，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积

5、和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个个分分点点，内内插插入入若若干干在在区区间间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx ,1 iiixfA )( 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx .iniixfA

6、 )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为.设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i （iix ），作乘积作乘积iixf )( ),

7、 2 , 1( ibxxxan10定义定义 niiixfS1并作和.怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，只要当只要当0 时，时，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和.注意：注意：（1） 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf

8、)( badttf)( baduuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分存存在在时时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. ., 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba .

9、几何意义：几何意义：积取负号积取负号轴下方的面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数和数和之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( .例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解将将1 , 0n等分，分点为等分，分点为nixi ，(ni, 2 , 1 )小小区区间间,1iixx 的的长长度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx .nnini121 niin12316

10、)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 .对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当当ba 时时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小.证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxx

11、f)( badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1. babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质2 2. badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)

12、()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则假假设设bca 性质性质3 3.dxba 1dxba ab .则则0)( dxxfba. . )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性质性质4 4性质性质5 5如果在区间如果在区间,ba上上0)( xf，.例例 1 1 比比较较积积分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0

13、)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx .性质性质5 5的推论：的推论：证证),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）.dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 证证, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.说明：说明： 可积性

14、是显然的可积性是显然的.|)(xf|在在区区间间,ba上上的的性质性质5 5的推论：的推论：（2）.设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6.例例 2 2 估估计计积积分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin314

15、10030dxdxxdx .3sin31403 dxx.如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式.在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在区区间间,ba上上至至少

16、少存存在在一一个个点点 ，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。.例例 4 4 设设)(xf可可导导，且且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f .

17、6 .定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限.3 3定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）4 4典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小.思考题思考题将和式极限：将和式极限： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定积分表示成定积分.思考题解答思考题解答

18、原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i .变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv 设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间间间间隔隔,21TT上上t的的一一个个连连续续函函数数，且且0)( tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程.另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs ).()()(122

19、1TsTsdttvTT ).()(tvts 其其中中. 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续，并并且且设设x为为,ba上上的的一一点点， xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，.abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导

20、导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x. dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x. 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为补充补充 )()()

21、()(xaxafxbxbf 证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF.例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：这是分析：这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果

22、果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已已知知)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，CxxF )()(,bax 证证.令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( 一

23、个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例例2 2 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例3 3 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原原式

24、式. 6 xyo12.例例5 5 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面积面积xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 .3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系间的关系.思考题思考题 设设)(xf在在,ba上上连连续续，则则dttfxa )(与与duufbx )(

25、是是x的的函函数数还还是是t与与u的的函函数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗？如如存存在在等等于于什什么么？.思考题解答思考题解答dttfxa )(与与duufbx )(都都是是x的的函函数数)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx .二、分部积分法二、分部积分法三、小结三、小结.定理定理 假假设设（1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（2 2）函函数数)(tx 在在, 上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；（3 3）当）当t在区间在区间, 上变化时，上变化时，)(tx 的值的值在在,ba上变化，且上变化，且a )( 、b )( ， 则则 有有dtttfd

26、xxfba )()()(. .应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）求求出出)()(ttf 的的一一个个原原函函数数)(t 后后，不不必必象象计计算算不不定定积积分分那那样样再再要要把把)(t 变变换换成成原原变变量量x的的函函数数，而而只只要要把把新新变变量量t的的上上、下下限限分分别别代代入入)(t 然然后后相相减减就就行行了了.（2）用用)(tx 把把变变量量x换换成成新新变变量量t时时，积积分分限限也也相相应应的的改改变变.例例1 1 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066

27、t .61 ,sin xdxdt .例例2 2 计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 .证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中令中令tx ,. 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf为偶函数，则为偶函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()

28、(;)(20 adttf)(xf为奇函数，则为奇函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 .奇函数奇函数例例4 4 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积.证证（1）设）设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t. 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）设）设tx

29、,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft. 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf. 设函数设函数)(xu、)(xv在区间在区间 ba,上具有连续上具有连续导数，则有导数，则有 bababavduuvudv. .定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式

30、推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv.例例6 6 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 则则.例例7 7 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln2

31、18 x.42ln8 .例例8 8 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 .几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式1.定积分的换元法定积分的换元法dxxfba )(dtttf )()(2.定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 . bababavduuvudv（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）.思考题思考题1指指出出求

32、求 2221xxdx的的解解法法中中的的错错误误，并并写写出出正正确确的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 .思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正确解法是正确解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 .思考题思考题2设设)(xf 在在 1 , 0上上连连续续，且且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求

33、求 10)2(dxxfx.思考题解答思考题解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 .第四节第四节 定积分的近似计算定积分的近似计算( (自学自学) )一、矩形法一、矩形法二、梯形法二、梯形法三、抛物线法三、抛物线法.这这时时称称广广义义积积分分 收收敛敛；若若极极限限不不存存在在，称称广广义义积积分分 发发散散. . dxxfa dxxfa babdx)x(flim dxxfa 一、无穷限的广义积分.类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间,(b上连续，取上连续，取

34、bt ，如果极限，如果极限 bttdx)x(flim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间,(b上的广义积上的广义积分，记作分，记作 bdxxf)(. . bdxxf)(.dx)x(flimbtt 这这时时称称 收收敛敛；若若极极限限不不存存在在，称称 发发散散. . dxxfb dxxfb . 设设)(xf在在),( 上连续上连续, ,若若 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收敛， 则称上述两广义积分之和为都收敛， 则称上述两广义积分之和为)(xf在在),( 上 的 广 义 积 分 ， 记 作上 的 广 义 积 分 ， 记 作 dxxf)(，即，即 dxx

35、f)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0ttdx)x(flim.dx)x(flimtt 0.两极限均存在称两极限均存在称 收敛，两极限至少收敛，两极限至少有一个不存在称有一个不存在称 发散发散. dxxf dxxf 上述各广义积分统称为无穷限的广义积分，上述各广义积分统称为无穷限的广义积分， 简称无穷积分简称无穷积分. . . .FFtFlimtFlimdxxftt说明说明 （1）设 ，则 xfxF dxxfa ；aFFaFtFlimt ；FbFtFlimbFt dxxfb.解解 . 100 xxedxe例例1 计算广义积分计算广义积分 . dxex0 这个广义积分值的几这个广义积分值的几t

36、时，图中阴影部时，图中阴影部其面积却有极限值其面积却有极限值1 1 .分向左无限延伸，但分向左无限延伸，但何意义是何意义是, ,当当yxo1txey .解解 00 xdxsinxdxsindxxsin.xcosxcos00极限不存在极限不存在 dxxsin是发散的是发散的 例例2 计算广义积分计算广义积分 . dxxsin若认为积分区间关于原点对称，被积函数为若认为积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数，按定积分公式计算就错了奇函数，按定积分公式计算就错了. ,dxxflimdxxfBABA这里这里A A与与B B是相互独立的是相互独立的. . （2 2）当）当 为奇函数时为奇函数时, , 不

37、能按积不能按积分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为 xf dxxf. .dxxflimdxxfbtatba 即即二、无界函数的广义积分 定义定义 设设 在在 上连续，在点上连续，在点 的右邻的右邻 域内无界域内无界 ,取取 ，若，若 存在，则称此极存在，则称此极 限为限为 在在 上的广义积分，记作上的广义积分，记作 b ,aat dxxflimbtat xf b ,a dxxfba xfa这时称广义积分这时称广义积分 收敛收敛；若极限不存在，；若极限不存在，称广义积分称广义积分 发散发散. dxxfba dxxfba . 类似地，设类似地，设 在在

38、上连续，在点上连续，在点 的的左邻域内无界，取左邻域内无界，取 ，若，若 存存在，则称此极限为在，则称此极限为 在在 上的广义积分，上的广义积分，记作记作 ，即，即 xf b ,abbt dxxflimtabt xf b ,a dxxfba . dxxflimdxxftabtba 这时称广义积分这时称广义积分 收敛；若极限不存在，收敛；若极限不存在，称广义积分称广义积分 发散发散. dxxfba dxxfba . 设设 在在 上除点上除点 外连续，在点外连续，在点 的的邻域内无界，若广义积分邻域内无界，若广义积分 和广义积分和广义积分 都收敛，则称上述两广义积分之和为都收敛，则称上述两广义积分

39、之和为 在在 上的广义积分，记为上的广义积分，记为 ， xf b ,acc dxxfca dxxfbc xf b ,a dxxfba .dxxflimdxxflimbtcttact dxxfdxxfdxxfbccaba 即即.这时称广义积分这时称广义积分 收敛，若上述两极限收敛，若上述两极限至少有一个不存在，则称广义积分至少有一个不存在，则称广义积分 发发散散. dxxfba dxxfba 说明说明 （1 1）在定义中在定义中 在点在点 的邻域内都无的邻域内都无界，这些点均为界，这些点均为 的无界间断点，也称为的无界间断点，也称为 的瑕点，故无界函数的广义积分也称为瑕积分的瑕点，故无界函数的广

40、义积分也称为瑕积分. . xfc ,b ,a xf xf xfxF（2）设）设，则则当当 为为 的瑕点时，的瑕点时， ax xf ；aFbFtFlimbFdxxfatba.当当 为为 的瑕点时，的瑕点时， bx xf ,aFbFaFtFlimdxxfbtba,当当 为为 的瑕点时的瑕点时 cx xf,bca dxxfdxxfdxxfbccaba cFcFaFbF.例例4 4 计算广义积分 . axadx022.arctanatarctanlimxadxata20022解解 ， 是瑕点， 221xalimaxax .这个广义积分的几何意义是当这个广义积分的几何意义是当 时，时，图中阴影部分趋近于

41、图中阴影部分趋近于 的面积值的面积值. . atax yxotaa1221xay.例例5 5 计算广义积分计算广义积分 . dxx20211解解 因为因为 ，所以，所以 是瑕点是瑕点， 2111xlimx1xdxxdxxdxx212102202111111而而 ， 111111102tlimdxxt所以所以 发散发散. dxx20211. 注注：若按定积分计算（不考虑若按定积分计算（不考虑 是瑕点是瑕点),),就会导致以下的错误就会导致以下的错误. . 1x.xdxx2111120202(3)(3)若积分区间是有限的，必须先考察是定积分若积分区间是有限的，必须先考察是定积分还是瑕积分，如是瑕积

42、分而按定积分计算就会出还是瑕积分，如是瑕积分而按定积分计算就会出现错误，即使是按定积分求得的结果与按瑕积分现错误，即使是按定积分求得的结果与按瑕积分求得的结果相同，前者的概念也是错误的求得的结果相同，前者的概念也是错误的. . .例例6 6 考察广义积分考察广义积分 的敛散性的敛散性. . 010pdxxp解解 是瑕点，积分区间是无穷区间，是瑕点，积分区间是无穷区间， 0 xa,dxxdxxdxxapapp011100.先考察先考察 的敛散性的敛散性. . 010pdxxap当当 时，时， 1p0atlnlimalndxxta001当当 时，时， 1p0apptaptalimpdxx11001

43、1111011p,p,pap. 当当 时收敛，当时收敛，当 时发散；时发散； dxxap0110 p1p再考察再考察 的敛散性的敛散性. . 01pdxxap当当 时，时， 1p0a,alntlnlimdxxta1当当 时，时， 1p0apptapatlimpdxx11111.10111p,p,papdxxap11p10 p 当当 时收敛，当时收敛，当 时发散时发散. . 则广义积分则广义积分 发散发散. . dxxp01(4)(4)若积分区间是无穷区间，被积函数是无界函若积分区间是无穷区间，被积函数是无界函数的广义积分，应把广义积分分拆成几项，使数的广义积分，应把广义积分分拆成几项，使每项是

44、单纯的无穷积分或瑕积分，再按各自的每项是单纯的无穷积分或瑕积分，再按各自的积分方法计算积分方法计算. . .传染病分析传染病分析在传染病流行期间人们被传染患病的速度可以近似地在传染病流行期间人们被传染患病的速度可以近似地表示为表示为 rt这里这里 的单位是人的单位是人/ /天，天， 为传染病开始流行的天数。为传染病开始流行的天数。 （1 1）什么时候人们患病速度最快？）什么时候人们患病速度最快？（2 2）共有多少人患病？）共有多少人患病？tter5 . 01000.05001000)1000(5 . 05 . 05 . 0ttttteeter解解（1 1）设在）设在 t 时刻人们患病速度最快，

45、由题意得时刻人们患病速度最快，由题意得解得解得2t解得解得)21 (4000ex（2 2）设当）设当 共有共有 x 人患病人患病，由题意得，由题意得dttext205 . 010002t.三、小结三、小结无穷限的广义积分无穷限的广义积分无界函数的广义积分无界函数的广义积分.一、一、 定积分应用的微元法定积分应用的微元法二、用定积分求平面图形的面积二、用定积分求平面图形的面积三、用定积分求旋转体的体积三、用定积分求旋转体的体积四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长.变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功 badxxFW)(已知质点的运动速度，求质点的运动路程已知质点的运动速度，求质点的运动路程 ba

46、dttvs)( badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 dA面积元素面积元素ab xyo)(xfy xdxx 用用A 表表示示小小区区间间,xxx 上上曲曲边边梯梯形形的的面面积积，则则dxxfdAA)( ，.用定积分来计算的量用定积分来计算的量A具有以下特点：具有以下特点：1量量A与函数与函数 f(x)及及x的变化区间的变化区间 a, b有关。有关。 若若 f(x)常数，则常数，则 A= f(x)(ba)。1量量A对区间具有可加性。即：把对区间具有可加性。即：把a，b分成若干分成若干 部分区间，部分区间， 则则 A相应地被分成了许多部分量之和。相应地被分成了许多部分量之和。1在区间在

47、区间 a, b的任一个子区间的任一个子区间x, x+x 上，上， 部分量部分量Af (x)x。.设设A A是可用定积分表达的量，则计算量是可用定积分表达的量，则计算量A A的步骤为：的步骤为：定积分的微元法定积分的微元法 选择函数选择函数 f(x)，并确定自变量，并确定自变量 x 的变化区间的变化区间a, b; 在在a, b内考虑典型小区间内考虑典型小区间x, x+dx，求出相应于这，求出相应于这个小区间的部分量个小区间的部分量A的近似值的近似值 f(x)dx。称。称f(x)dx为量为量A的微元，记为的微元，记为dA= f(x)dx。 计算计算 A= badxxf)(应用方向：应用方向： 平面

48、图形的面积、体积及平面曲线的弧长；平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长；功、水压力、功、水压力、 引力和平均值等引力和平均值等.O y x x x d x a b ) ( x f y 用微元法将平面图形的面积表示成定积分用微元法将平面图形的面积表示成定积分.x O y x x d x a ) ( x f y ) ( x g y b .O y x y c d ( )xy ( )xy dyy . O y x x x d x 1 (1,1) ,d)(d2xxxA10103232. 313132d)(xxxxxA.例例 2 2 求求xy22及及4 xy所所围围成成图图形形面面积积. . 解解 作作图图

49、（如如下下图图） 求出交点坐标为求出交点坐标为)4 , 8(),2, 2(BA. . 观察图得知，宜取观察图得知，宜取 y为积分变量，为积分变量， y 变化范围为变化范围为 2 2，44（考虑一下，若（考虑一下，若取取 x为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处） ，为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处） ，于是得于是得 ,d21)4(d2yyyA.1861421d21)4(4242322yyyyyyAO y B A 4 -2 y x y+dy .解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 . 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三、旋转体的体积三、旋转体的体积.一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成