高等数学教案12

1、泰山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 年 月 日课 题常数项级数的概念和性质课 时2教学目的理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.掌握几何级数收敛与发散的条件.重点难点重点 级数收敛与发散的概念.难点 用级数收敛的概念及基本性质判别一些级数的收敛性问题.教学方法讲解课 型新课教 学 过 程 与 内 容备 注一、常数项级数的概念设已给序列:，数学式子(或记为)称为无穷级数,简称级数,其中叫做级数的通项(或一般项).各项都是常数的级数叫做数项级数,如,等.定义 如果级数的部分和数列有极限,即,则称无穷级数收敛,这时极限叫做这级数的和,

2、记为;如果没有极限,则称无穷级数发散.此时称为无穷级数第项以后的余项.例1 无穷级数叫做等比级数（几何级数）其中，叫作级数的公比，试讨论其收敛性。（当时收敛,当时发散. ）例2 证明级数是发散的.二、收敛级数的基本性质性质1 如果级数收敛于和,则级数也收敛,且其和为.性质2 若已知两收敛级数,则.性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.性质4 收敛级数中的各项（按其原来的次序）任意合并（即加上括号）以后所成的新级数仍然收敛,而且其和不变.推论 一个级数如果添加括号后所得的新级数发散,那么原级数一定发散.注：如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛.例

3、如,收敛,但级数发散.性质5(级数收敛的必要条件) 若级数收敛,则.例3 判断下列级数的敛散性: , , .例4 利用柯西审敛原理判定级数的收敛性。备 注作 业 3、4教学后记泰山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 年 月 日课 题常数项级数的审敛法（一）课 时2教学目的掌握正项级数收敛性的比较判别法及其极限形式和比值审敛法.掌握级数的收敛与发散的条件.重点难点重点 正项级数的比较审敛法、比值审敛法.难点 级数的敛散性的判定.教学方法讲解课 型新课教 学 过 程 与 内 容备 注一、正项级数及其审敛法定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.定理2（比较审敛法）设

4、和都是正项级数,且. 若级数收敛,则级数也收敛; 若级数发散,则级数也发散.推论 设和都是正项级数,且. 若级数收敛,且存在自然数,使当时有成立,则级数也收敛； 若级数发散,且存在自然数,使当时有成立,则级数也发散.例1 讨论级数的收敛性,其中常数例2 证明级数是发散的. 定理3（比较审敛法的极限形式）设和都是正项级数，如果（1），且级数收敛，则级数收敛。（2）且级数发散，则级数发散。例3 判别级数的收敛性.定理4（比值审敛法）设是正项级数，且，则（1） 当时，级数收敛；（2） 当（包括）时，级数发散。例4 判别级数的收敛性.例5 判断的敛散性。注：当时，比值审敛法失效。备 注作 业教学后记泰

5、山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 年 月 日课 题常数项级数的审敛法（二）课 时2教学目的掌握正项级数收敛性的根值判别法和交错级数的莱布尼兹判别法.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系.重点难点重点 正项级数收敛性的根值判别法和交错级数的莱布尼兹判别法.难点 绝对收敛与条件收敛教学方法讲解课 型新课教 学 过 程 与 内 容备 注定理5（根值审敛法）设为正项级数，如果它的一般项的次根的极限等于：，则当时，级数收敛，（或）时级数发散，时级数可能收敛也可能发散。例5 判别级数的收敛性。定理6（极限审敛法）设为正项级数， （1）如果（或），则级数发散；

6、（2）如果p1,而则级数收敛。例7 判定级数的收敛性。二、交错级数及其审敛法一个级数的各项如果是正负相间的就叫做交错级数。若（也一样），则就是一个交错级数。定理7（莱布尼兹定理）对于交错级数（其中，），若满足（1）（2） 则级数收敛，其和，且余项的绝对值。例8 判断级数的敛散性。三、绝对收敛与条件收敛定理8 若收敛,则也收敛.必须指出，此定理的逆定理不成立。定义 若收敛，则称是绝对收敛的；如果收敛而发散，则称是条件收敛的。例12 判断的敛散性。备 注作 业 1、2、3、5教学后记泰山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 年 月 日课 题幂 级 数课 时2教学目的了解函数项级数的收

7、敛域及和函数的概念.理解幂级数收敛半径的概念,并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质,会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和.重点难点重点 幂级数的收敛域.难点 幂级数求和.教学方法讲解课 型新课教 学 过 程 与 内 容备 注一、函数项级数的概念定义1 设是定义在同一数集上的函数，称为定义在上的函数列，记作或，.定义2 设, 以代入函数列的数列. 如果数列收敛, 我们称函数列在点收敛, 点为函数列的收敛点. 如果数列发散, 称函数列在发散, 点为函数列的发散点.如果在数集上的每一点函数列都收敛, 则我们称函数列在上收敛

8、.记作,称为函数列在上极限函数, 或称为函数列在上收敛与.定义3(函数列在上收敛于的定义) 对每一个固定的,对,存在正整数,当时,有,我们称函数列在上收敛与，记作,或（）,.二、幂级数及其收敛性定理1(阿贝尔定理) 如果级数当（）时收敛,则适合不等式的一切使这幂级数绝对收敛，反之,如果级数当时发散，则适合不等式的一切使这幂级数发散.推论 如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数存在,使得(1) 当时,幂级数绝对收敛;(2) 当时,幂级数发散;(3) 当与时,幂级数可能收敛也可能发散.定理2 如果,其中、是幂级数的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径三、幂级数

9、的运算(一) 幂级数的代数运算(1) 加、减法 (2) 乘法 (3) 除法(二) 幂级数的和函数的性质性质1 幂级数的和函数在其收敛域上连续.性质2 幂级数的和函数在其收敛域上可积，并有逐项积分公式,逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数的和函数在其收敛区间内可导,且逐项求导公式,逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例1 求下幂级数 收敛半径和收敛域.例2 求幂级数的收敛域.例3 求的收敛域及和函数,并求的和.例4 求幂级数的和函数.备 注作 业 1、2教学后记泰山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 年 月 日课 题函数展开成幂级数课 时

10、2教学目的了解函数展开为泰勒级数的充分、必要条件.掌握、和的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数重点难点重点 幂级数的展开式.难点 求幂级数的展开式.教学方法讲解课 型新课教 学 过 程 与 内 容备 注一、泰勒级数定理 设函数在点的某一邻域内具有各阶导数,则在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是的泰勒公式中的余项当时的极限为零,即.时的泰勒级数称为函数的麦克劳林级数.二、函数展开成幂级数(一)直接展开法函数展开成的幂级数的步骤:(1) 求的各阶导数;(2) 求;(3) 写出幂级数,并求出收敛半径;(4) 考察当在区间内时余项是否趋于零,如果趋于零,则在内的幂级数展开式为

11、.例1 将函数展开成的幂级数.利用同样的方法,我们可以得到. (二)间接展开法例2 将函数展开成的幂级数.例3 把函数展开成x的幂级数.例4 将函数展开成的幂级数.例5 将函数展开成（x-1）的幂级数.例6 将函数展开成x的幂级数，其中m为任意实数.备 注作 业 4、6教学后记泰山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 年 月 日课 题函数的幂级数展开式的应用课 时2教学目的掌握利用幂级数展开式作近似计算、解微分方程的方法，了解欧拉公式的概念.重点难点重点 利用幂级数的展开式进行近似计算.难点 欧拉公式的应用.教学方法讲解课 型新课教 学 过 程 与 内 容备 注一、近似计算有了函

12、数的幂级数展开式，就可用它来进行近似计算.例1 计算的近似值，要求误差不超过0.0001.例2 计算的近似值，要求误差不超过0.0001.例3 利用求sin90近似值,并估计误差.例4 计算定积分 的近似值,要求误差不超过0.0001(取).例5 计算积分近似值,要求误差不超过0.0001.解 由于,因此所给的积分不是反常积分.如果定义被积函数在x=0处的值为1,则它在积分区间0,1上连续.展开被积函数,有.在区间0,1上逐项积分,得0.9461二、微分方程的幂级数解法.可根据幂级数的展开式,利用待定系数法求出微分方程的特解.例6 求方程满足的特解.定理 如果方程中的系数P(x)与Q(x)可在

13、内展开为x的幂级数,那么在内上述方程必有形如的解例7 求解微分方程满足初始条件的特解.三、欧拉公式也可改写成根据定义,利用幂级数的乘法,可以验证:备 注作 业 2、3教学后记泰山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 年 月 日课 题傅里叶级数课 时2教学目的理解三角函数系、正弦级数与余弦级数的概念,掌握狄利克雷充分条件.了解奇延拓与偶延拓.重点难点重点 狄利克雷充分条件.难点 奇延拓与偶延拓教学方法讲解课 型新课教 学 过 程 与 内 容备 注一、函数展开成傅里叶级数傅里叶系数 将这些系数代入(8.4)式的右端，所得的三角级数 称为函数的傅里叶级数.定理1（收敛定理，狄利克雷充分

14、条件） 设是周期为的周期函数. 如果满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点. 则的傅里叶级数收敛，并且(1) 当x是的连续点时, 级数收敛于；(2) 当x是的间断点时, 收敛于.注：只要函数在区间上至多只有有限个的第一类间断点，并且不作无限次振动，则函数的傅里叶级数在函数的连续点处收敛于到该点的函数值，在函数的间断点处收敛于该点处的函数的左极限与右极限的算术平均值. 由此可见，函数展开成傅里叶级数的条件要比函数展开成幂级数的条件低得多。三、周期延拓在区间或外补充的定义，使它拓广成一个周期为的周期函数，这种拓广函数定义域的方法称为周期延拓.四、正弦级数与余弦级数奇

15、函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数，偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数.五、奇延拓与偶延拓奇延拓 令则是定义在上的奇函数，将在上展开成傅里叶级数，所得级数必是正弦级数. 再限制在上，就得到的正弦级数展开式.偶延拓类似。例1 将以为周期的函数 展开成傅里叶级数.注：如果将本例中的函数理解为矩形波的波形函数，则的展开式表明：矩形波是由一系列不同频率的正弦波的叠加而成的. 例2 设是周期为的周期函数，它在上的表达式为试将函数展开成傅立叶级数.例3 设是周期为为周期函数，它在的表达式为试写出的傅立叶级数展开式在区间上的和函数的表达式.备 注作 业 1、2、6教学后记泰山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 年 月 日课 题无穷级数的习题讲解课 时2教学目的熟练掌握正项级数的审敛法，幂级数及函数的幂级数展开式.重点难点重点 正项级数的审敛法，幂级