浅谈微积分在中学数学中的应用

1、浅谈微积分在中学数学解题中的应用数学与计算科学系数学与应用数学专业学号：09690137姓名：尹佩指导老师：蔡江涛摘要：微积分是数学中的重要内容，其思想方法和基本理论有着广泛的应用，可以当作工具去解决中学数学中的一些问题.本文通过阐述微积分在中学数学中的重要地位和作用的基础上，研究微积分在中学数学解题中的应用关键词：微分积分中学数学新课改0.引言微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.普通高中数学课程标准(以下简称课标)对微积分教学内容进行了改革.课标和过去的高中数学教学大纲相比，一大特点是将一元函数微积分的部分

2、内容拿到高中教材中，让中学生初步了解微积分的思想，为高等数学的学习打下基础.微积分是数学的一个基础学科，它分为微分和积分.微积分的创立，极大的推动了数学自身的发展.它是我国现在普遍使用的高中数学教材中增加的部分，蕴含多种数学思想，如极限思想、函数的思想、数形结合思想、化归思想微积分中的哲学思想、辩证的思想等，它们在中学数学中都有着广泛的应用和价值.微积分在中学数学中的地位和作用具体体现在以下几个方面：(1)学习微积分的知识可以进一步提高学生的运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力.(2)学习微积分能更好地培养学生分析问题和解决问题的能力，有利于学生学好基础知识和掌握基本内容，有利于数学知识的综合

3、运用，有利于学生学好基础知识和掌握基本内容，有利于数学知识的综合运用.(3)将微积分的理论应用于初等数学，不仅可以使其内在的本质联系得以体现,而且可以进而指导初等数学的教学工作.利用微积分来解决中学数学中的一些问题能取得意想不到的效果1 .微分在中学数学解题中的应用课标中对微积分的教学内容明确提出：”导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.要求学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时通过理解导数概念，体会导数的思想及其内涵；了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础”.微分在中学数学解题中的应用主要由导数实现

4、.1.1 微分法在求函数极值和最值问题中的应用中学数学教材的二次函数，三角函数和不等式等内容都涉及到求函数极值与最值问题.在求比较复杂的函数的极值和最值问题中一般采用微分的知识来解决，根据对自变量求导研究导函数性质从而判断函数.导数的定义：当自变量的增量Ax=x-x0,Ax0时函数增量Ay=f(x)-f(x0)与自变量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)。例1:求函数"”工瓜，的工打°团极值，最值解：因为(工”比工+1,令山工+1=0,得也又因为由表中可知，痉为函数用)的极小值点,当。二时，/0,所以在区间上最大值为目，最小值为e

5、.由例题可得利用微分求比较复杂的函数的最值及极值方面会显得更简单.其中利用导数求极值可分为三步：1 :求导数了；1.1 方程/二口的根;3:检验/在方程/三°的根的左右两边的符号，确定极值.1.2 微分法在不等式证明中的应用在中学数学中不等式的证明是一个重点同时也是一个难点，对于简单的不等式我们可以通过作差和作商等方法来解决，但对于比较难的不等式证明我们一般采用微分中的求导来处理问题。微分在中学数学不等式证明中的应用，主要是利用函数单调性来证明不等式.将不等式中的项进行一系列计算变形，通过构造函数，研究函数的单调性来证明不等式.例2:当尤时，证明不等式皿工。成立.证明：设/二粗兀一工

6、，则/二-1.。利.1。)=皿工一工在工e(0z)内单调递减，而丁(0)=0,.故当XEQH时，沏支。成立.一般地，证明/四”(曲为，可以构造函数巴力,如果工”0,则"在S上是减函数，同时若93"0,由减函数的定义可知它匕时，有户。,即证明了丁反.函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识.用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷.1.3 微分学在研究函数图像中的应用函数图像在中学数学解题中起到了重要的作用.函数图像的直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特性

7、的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数的图形.学微分学之前，用描点法作图是十分必要的，不过它有缺陷：带有一定的盲目性、点取得不够多也许就会得到一个错误的图像等.而运用微分学作出的函数图像，就能克服描点法作图的缺点，可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断.一般来说，讨论函数图像的步骤是：(1)确定函数，二"工)的定义域；(2)观察函数是否具有某些特征(奇偶性等)；(3)求出函数，二幻的单调区间，极值，列表；(4)观察函数旷二八外是否有渐进线，如果有，求出渐进线；(5)求出函数?二,的凸凹区间和拐点，列表；(6)确定一些特殊点，如制与坐标轴的

8、交点等.例3:描绘函数二十的图像.解：定义域为口风-，值域为(°.是偶函数，图形关于轴对称./二"(-2力，令)=0,解得驻点工三0,12广文2/7，令V=0,解得工一"T.X(8,-)一立(-岑0唔也(¥",+8)y+0一+0a*/下凸r拐点-J*J2/上凸梃大值1上凸拐点季力下凸当S,函数值尸无限接近于0,即A是渐近线.综上，画函数草图如下:中学常采用微分学知识作函数图像,这里作为函数的一个极为重要的特征之一凹凸性，利用函数凹凸性与导数的关系作图会更准确更简单1.4采用微分中值定理证明方程根的存在性b上连续;b )内可导,拉格朗日中值定理设

9、函数f(x)满足如下条件:(1)f(x)在闭区间(2)f(x)在开区间(则在(a , b )内至少存在一点使得f '(己)f(a)-f(b)b-a运用拉格朗日中值定理证明方程根的存在唯一性例4:设f(x)在0,1上可导，且0Vf(x)<1,又对于(0,1)内的所有点x有f'(x)w-1,证明方程f(x)+x-1=0在(0,1)内有唯一实根.分析：证明方程根的存在性就有可能用到介值定理.在用介值定理证明问题时，选取合适的辅助函数可U到事半功倍的效果.而在证明唯一性的时候较常用的方法就是反证法，所以本题证明思路就是先证存在性，再证唯一性.证明先证存在性.令F(x)=f(x)+

10、x-1，则F(x)在0,1上可导.因为0<f(x)<1.所以F(0)=f(0)-1<0,F(1)=f(1)>0.(V0<f(x)<1)由介值定理知F(x)在(0,1)内至少有一个零点，即方程f(x)+x-1=0在(0,1)内至少有一个实根.再证唯一性(反证法).设方程f(x)+x-1=0在(0,1)内有两个实根乂1,和乂2不妨设0<x1<x2V1有f(x1)=1-x1,f(x2)=1-x2,对f(x)在x1,x2：上应用拉格朗日中值定理，有己(x1，x2),使/f(x2)-f(x1)(1-x2)-(1-x1).f(E)=-1x2-X1x2-X1即

11、在(0,1)内至少存在一点己，有f'(己)=-1,这与题设f'(x)w-1矛盾，所以假设不成立，即方程f(x)+x-1=0在(0,1)内有唯一实根.唯一性得证.拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理，是解决函数在某一点的导数的重要工具.把这个定理与中学数学的知识联系起来，这样不仅可以使我们加深对现代数学的理解，而且能使我们更好的把握中学数学的本质，从而能使高中生更好的理解这部分的知识，为学生学好数学打下良好的基础.1.5微分法在函数单调性问题上的应用函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识.用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，

12、而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷.例5:(2009年广东卷文)函数,")=5一可/的单调递增区间是多少？分析：对函数3求导，求不等式尸>°和尸(2V。的解，则/>。的解为单调增区间.解："虫.丁(方=+。印卜*y=(L2对令了0,得先,所以$9的单调增区间为0，十）.1.6微分法在曲线的切线问题上的应用导数的几何意义：如果函数了（幻的导数存在，则函数/）在无二/处的导数即为该函数在点（%，/（/）切线的斜率，利用这个我们可以求出曲线的切线方程.例6:（2009福建卷理）若曲线存在,（刈二"/4员,垂直于下轴的切线，则实数仪取值范围是

13、多少？解析：本小题考查导数的几何意义、切线的求法.,、31由题意可知工，又因为存在垂直于尸轴的切线，所以2口炉+0=>£；=-（兀>0）=>口e（-oaT口）r2T这些题目都考查导数的几何意义，在填空题中也是一种典型题型，不容忽视.2.积分在中学数学解题中的应用定积分是新课标中新加的内容，课标对定积分的定位如下：“（1）通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础；（2）通过实例，直观了解微积分基本定理的含义；（3）了解微积分的文化价值.可见，高中课程学

14、习定积分，重在粗浅地领略其主要思想和基本方法，从一些实例中初步认识定积分的工具作用.2.1 积分法在证明中学几何公式的应用在中学数学中，我们经常用的一些定理、公理都不加以证明，只用其结论.这些在高等数学中，利用微积分等知识就可以进行推理，例如：祖恒定理的证明.我们可以用这些方法解决用其他数学方法难于处理的许多问题.祖恒定理的证明：高中立体几何中的祖恒定理只是作为公理进行应用，事实上，它无法用中学知识证明，而在高等数学中，用积分的理论可很容易地给出它的理论证明例7:证明：在夹两个立体的两平面的任一平面上，任取一点为原点O,过O且垂直于这个平面的直线取为x轴，并把射向另一个平面的方向记为x轴的正向

15、，把两平行平面的距离记为h,设夹在这两个平面之间的平行于这两个平面的平面，截坐标轴于x,且截两立体所得的截面面积分别为p(x)和q(x),显然p(x)与q(x)都是0,h上的连续函数，设它们的体积分别用V1,V2表示，则：dxhV2 = 4 q(x) dx-P(x)=q(x)x0,hh ,、0 p(x) dx =h0 q(x) dxViV2即这两个几体的体积相等.另外，锥、台、球等的面积、体积公式都可以由积分得到.总之，高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系，其中微积分都扮演着重要的角色，它不但能解决初等数学中的诸多问题，而且成为高等数学发展的基础.用微积分的知识解决初等数学难以解决的问题.微积

16、分的理论是研究高等数学与中学数学关系时不可或缺的部分，它对中学数学有重要的指导作用.2.2 用积分法证组合中的恒等式用导数或积分在解决初等数学难以证明(或无法证明)的命题(或定理),特别是一些多变量恒等式和超越不等式时有较大优势.需要强调的是，在初等数学中，设“元”的方法是一种基本方法，而在利用导数与积分解决初等数学问题时，构造“辅助函数”的方法也是一种最常见的方法.其中用积分来证明恒等式能够让问题变得更直观更简单.积知识证明恒等式的实质是将等式问题转化成函数问题，进而求导证明包等关系，依据：/"w=g'w=>yw=g+c例8:证明$出3付出立匕+附:%盘=匕必”G0证

17、明：设,工+。口m3,g三cos32=-3cos3xsinxcos2x-3sin3acosxcos2a=-3cos2sin4g（3=-6cos22xgin2K故.：，；J/又走=0时，/（0）=虱。）=1.从而C=0，因此人工）二目（工）.原题得证.综上所述，熟练掌握积分的性质、定理及公式，巧妙的利用积分，对于解决一股的组合中恒等式的问题，开辟了一条新的途径，不仅给常规解题方法注入了新鲜的血液，使其更有活力，也更有利于学生思维的发展，所以更要重视积分在中学数学中的应用.2.3 积分在中学数学中的一些简单运算1 .定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：b性质11dxbaa性质2

18、性质3bfi(x)af2(x)dxbbf1(x)dxf2(x)dx(定积分的线性性质)性质4bf(x)dxacf (x)dxabf (x)dx (其中 a ccb)(定积分的可加性质)bkf(x)dxkf(x)dx(其中k是不为0的常数)(定积分的线性性aC性质45(D 0(2x 4)dx;3i(2x1、，Fdx ； x性质1y=12 .微积分基本定理一般的，如果f(x)是闭区间a,b上的连续函数，并且F(x)f(x),那baa么f(x)dxF(b)F(a).可以把f(x)dx2f(x)dx0F(b)F(a)记作aa0bb_bF(x)|a,即af(x)dxF(x)|aF(b)F(a).a3 .

19、定积分的求法(1)微积分基本定理(2)几何意义法：例如11、,1x2dxa(3)利用奇偶函数的性质求：若f(x)是卜a,a上的奇函数，则f(x)dx0;aaa若f(x)是-a,a上的偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.a0例9:计算下列定积分5解：(1)0(2x4)dx121o(2) 因为(lnx),所以一dxlnx|1ln2ln1ln2.x1x3(3)因为(x2)2x,(1)-2，所以(2xxx12313122x|i1(91)(-1).x331、，33 1 .：)dx 2xdx-dx22x 11 x积分在中学数学中越来越重要，纵观近几年新课改地区高考都牵涉到积分的内容。主要在定积分的求法，

20、定积分的简单应用尤其是利用定积分求面积上作又早.2.4积分在求平面区域的面积的应用1.1 .1连续曲线尸二/（力，尺轴二直线x二口，工二3所围成的曲边梯形的面积，'”.11X=-=一解：如图，则此区域的面积例10:（2008海南、宁夏卷理）由直线2,x=/,曲线工及那轴所围图形的面积是多少？2.42 如果平面区域是区间1凡村上的两条连续曲线卜二1）与A=或力（相交）及直线刀二B所围成的，它的面积为二一WW例11：计算由两条抛物线y2x和yx2所围成的图形的面积？分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到解:x 0及x 1,所以两曲线的交点为(0,

21、 0)、(1, 1),面积OI._1.11122sx1S=Gdxxdx,所以S=(7x-x)dxx一=70003303在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1 .作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分.有了微积分这样的工具，学生们能更好的理解几何中的一些公式，能更容易的解答出求函数极值，证明不等式，证明恒等式等方面的问题.参考文献：1杜忠芬，浅谈微积分在初等数学中的应用J,铜仁学院学报，2007,(S1).2杨旭婷，.微分中值定理的教学实践与探索J,甘肃高师学报，2011,(05).3包建廷，微积分在不等式中的应用J,承德民族师专学报，2003,(02).

22、4聂晶品，微积分方法在初等数学教学中的应用J,高等函授学报，2009,(05).5邹淑桢，论微积分在中等数学中的应用J,怀化学院学报，2006,(05).6华东师范大学.数学分析M(第二版)北京，高等教育出版社，2005.7丁向前，微积分思想在中学数学中的渗透J,数学教学研究，2008,(08).8夏立标，微分中值定理推广与应用的讨论J,高等函授学报(自然科学版)，2011,(06).9陈蔚，舒江，浅谈微积分在中学数学中的应用J,科教文汇(中旬刊)，2007,(03).10吴琼扬，浅谈微积分方法在组合恒等式证明中的应用J,新课程(教育学术),2011,(04).11应用微积分M(第一版)，大连理工大学出版社，2010.12微积分概念发展史,美卡尔B.波耶(CarlB.Boyer)M,复旦大学出版社，2