中考复习：二次函数与三角形判定

1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数与三角形判定1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)、B两点，与y轴交于C(0，3)，顶点为D.(1)求抛物线表达式；(2)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标 第1题图解：(1)抛物线yx2bxc过A(1，0)、C(0，3)，解得，抛物线表达式为yx22x3；(2)由(1)知抛物线对称轴为x1，则设N(1，n)，易知B(3，0)，则BN，NC，BC3，如解图，连接NC、NB，若BNC90°，则BC2BN2NC2，即184n2196nn2，n23n20，解得n，N

2、(1，)或N(1，)；若NBC90°，则NC2BN2BC2，即196nn24n218， 第1题解图n2，N(1，2)；若NCB90°，则BN2NC2BC2，即4n2196nn218，n4，N(1，4)综上，当N(1，)或N(1，)或N(1，2)或N(1，4)时，以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形2.已知抛物线yx22xm1过原点O，与x轴的另一个交点为A，顶点为D，我们称由抛物线的顶点和与x轴的两个交点组成的三角形为该抛物线的“顶点三角形”(1)求m的值；(2)判断该“顶点ADO”的形状，并说明理由；(3)将此抛物线平移后，经过点C(1，0)，且“顶点三角形”为等边三角

3、形，求平移后的抛物线表达式解：(1)抛物线yx22xm1经过坐标原点，把(0，0)代入表达式得m10，m1；(2)该“顶点ADO”为等腰直角三角形理由如下：如解图，m1，抛物线表达式为yx22x，变形为y(x1)21，点D坐标为(1，1)，OD.把y0代入表达式得，x10，x22，A点坐标为(2，0)，AD，OA2，ODAD，OA2OD2AD2，ADO90°，ADO为等腰直角三角形； 第2题解图 第2题解图(3)如解图，设所求抛物线表达式为yx2bxc，抛物线经过点C(1，0)，bc1，设点D为平移后抛物线顶点，D(，)，tanDCEtan60°，两式联立，解得b22，c2

4、1，(b2，c1舍去)平移后抛物线的表达式为yx2(22)x12.3. 如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB90°，ACBC，OA1，OC4，抛物线yx2bxc经过A，B两点(1)求抛物线的表达式；(2)点E是直角ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；(3)在(2)的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由第3题图 解：(1)OA1，OC4，ACBC，BC5，A(1，0)，B(4，5)，抛物线yx2bxc经过A

5、，B两点，解得，抛物线表达式为yx22x3；(2)设直线AB解析式为ykxb，直线经过点A，B两点，解得，直线AB的解析式为：yx1，设点E的坐标为(m，m1)，则点F(m，m22m3)，EFm1m22m3m23m4(m)2，当EF最大时，m，点E(，)，F(，)；(3)存在当FEP90°时，点P的纵坐标为，即x22x3，解得x1，x2，点P1(，)，P2(，)，当EFP90°时，点P的纵坐标为，即x22x3，解得x1，x2(舍去)，点P3(，)综上所述，P1(，)，P2(，)，P3(，)4.在平面直角坐标系中，抛物线yax22axb与x轴交于A、B两点，点B坐标为(3，0

6、)，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线对称轴及点A的坐标；(2)求抛物线的表达式；(3)点M、N是抛物线上的两点(点M在N的左侧)，连接MN.若MNx轴，则在x轴上是否存在一点Q，使得MNQ为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由解：(1)根据抛物线的表达式yax22axb，可知其对称轴为直线x1，根据点A、B关于对称轴对称，点B坐标为(3，0)，可得点A坐标为(1，0)；(2)将点A(1，0)、C(0，3)坐标代入抛物线表达式中有：，解得，抛物线的表达式为yx22x3；(3)存在如解图，QMN是直角三角形，直角顶点不确定，则分以下三种情况讨论：当点Q是直角顶点时，根据

7、等腰直角三角形的对称性可知点Q1(1，0)；当点M或N是直角顶点时，且点M、N在x轴上方时，设点Q2(x，0)(x1)，Q1Q21x，MN2Q1Q22(1x)，Q2MN为等腰直角三角形，y2(1x)，即x22x32(1x)，又x1，解得x12，x22(舍去)，点Q2(2，0)，由抛物线的对称性可知点Q3(，0)；若点N或点M是直角顶点，且点M、N在x轴下方时，设点Q4(x，0)(x1)，第4题解图Q1Q41x，而MN2Q1Q42(1x)，Q4MN为等腰直角三角形，y2(1x)，即(x22x3)2(1x)，又x1，解得x3，x4(舍去)，点Q4(，0)，由抛物线的对称性可知点Q5(2，0)，存在

8、点Q，分别为：Q1(1，0)、Q2(2，0)、Q3(，0)、Q4(，0)，Q5(2，0)5.如图，已知抛物线yax2bx4(a0)的对称轴为直线x3，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为B(8，0)(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由第5题图 【思维教练】(1)要求抛物线表达式由已知抛物线对称轴，利用求对称轴公式，结合点B坐标，利用待定系数法求解即可；(2)点A、点C为定点，要使ACQ为等腰三角形，需分三种情况，讨论：ACCQ，AQCQ，ACAQ，求符合条件的点即可解：(1)根据题意得，3，即b6a，抛物线的表达式为yax26ax4，将B(8，0)代入得，064a48a4，解得a，b，抛物线的表达式为yx2x4；(2)存在令x2x40，解得x12，x28，A(2，0)，当x0时，y4，C(0，4)，由勾股定理得，AC 2，如解图，过点C作CD对称轴于点D，抛物线对称轴为直线x3，则CD 3，D(3，4) 第5题解图当ACCQ时，DQ，点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4，此时，点Q1(3，4)，当点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为