二次函数与幂函数

1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数与幂函数1幂函数(1)幂函数的定义形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质yxyx2yx3yyx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R 0，) (，0)(0，)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)时，增x(，0时，减增增x(0，)时，减x(，0)时，减2.二次函数(1)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域R值域单调性在上单调递减，在上单调递增在上单调递增，在上单调递减奇偶性b0时为偶函数，b0时为非奇非偶函数图象特点对称轴：x；顶点：

2、(2)二次函数表达式的三种形式一般式：yax2bxc(a0)顶点式：ya(xh)2k(其中a0，顶点坐标为(h，k)两根式：ya(xx1)(xx2)(其中a0，x1、x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)函数f(x)x2与函数f(x)2x2都是幂函数(×)(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)(×)(3)幂函数的图象不经过第四象限()(4)当0时，幂函数yx是定义域上的减函数(×)(5)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.(×)(6)二次函数yax2bxc，

3、xR，不可能是偶函数(×)(7)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小()(8)当n0时，幂函数yxn是定义域上的增函数(×)(9)若函数f(x)(k21)x22x3在(，2)上单调递增，则k±.(×)(10)已知f(x)x24x5，x0,3)，则f(x)maxf(0)5，f(x)minf(3)2.(×)考点一二次函数解析式命题点1.一般式：yax2bxc(a0) 2.顶点式：ya(xm)2n(a0)3.零点式：ya(xx1)(xx2)(a0) 例1(1)已知二次函数f(x)有两个零点0和2，且它有最小值1

4、，则f(x)_.解析：由于f(x)有两个零点0和2，所以可设f(x)ax(x2)(a0)，这时f(x)ax(x2)a(x1)2a，由于f(x)有最小值1，所以必有解得a1.因此f(x)的解析式是f(x)x(x2)x22x.答案：x22x(2)已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解：法一：(利用一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.法二：(利用顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，拋物线的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)a8.f(2)1，a81

5、，解得a4，f(x)484x24x7.法三：(利用零点式)由已知f(x)10两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍)所求函数的解析式为f(x)4x24x7.方法引航根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：1二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式是_解析：设ya(x2)21，当x0时，4a11，a，y(x2)21.答案：y(x2)212若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.解析：f

6、(x)bx2(ab2a)x2a2是偶函数，ab2a0(a0)，b2，当x0时，2a24，a22，f(x)2x24.答案：2x24考点二二次函数图象和性质命题点1.二次函数的最值2.二次函数的单调性3.二次方程及函数、不等式恒成立问题例2已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；解：(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象

7、开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.方法引航(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解；(3)对于二次函数的综合应用，要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1若本例已知条件不变，求f(x)的最小值解：f(x)(xa)23a2，关于xa对称，x4,6当a4，即a4时，f(x)在4,6上为增函数，f(x)min

8、f(4)168a3198a当4a6，即6a4时，只有当xa时，f(x)min3a2，当a6时，即a6时，f(x)在4,6上为减函数，f(x)minf(6)3612a33912a.综上，当a4时，f(x)min198a.当6a4时，f(x)min3a2.当a6时，f(x)min3912a.2若本例已知条件不变，f(x)0在4,6上有两个不相等实根，求a的取值范围解：要使f(x)0，在4,6上有两个不等实根，需即解得，a或a.3若本例中f(x)0在x(0,6上恒成立，求a的取值范围解：x22ax30，在x(0,6上恒成立，即2a在x(0,6上恒成立，只需求u，x(0,6的最大值x2，当且仅当x时，

9、取等号umax2，2a2，a.考点三幂函数图象与性质命题点1.幂函数图象2.幂函数性质例3(1)幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()解析：幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，f(x).答案：C(2)已知函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且x(0，)时，f(x)是增函数，则m的值为()A1B2 C1或2 D3解析：函数f(x)(m2m1)·xm2m3是幂函数，m2m11，解得m1或m2.又函数f(x)在(0，)上为增函数，m2m30，m2.答案：B(3)已知f(x)，若0ab1，则下列各式正确的是()Af(a)f(b)ff Bfff(b)f(

10、a)Cf(a)f(b)ff Dff(a)ff(b)解析：0ab1，0ab，又f(x)为增函数， f(a)f(b)ff.答案：C方法引航(1)若幂函数yx(R)是偶函数，则必为偶数.当是分数时，一般将其先化为根式，再判断.(2)若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0，若在(0，)上单调递减，则0.,(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.1若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()AdcbaBabcdCdcab Dabdc解析：选B.幂函数a2，b，c，d1的图象，正好和题目所给的形式相符合

11、，在第一象限内，x1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以abcd.故选B.2若，则实数a的取值范围是_解析：不等式等价于a132a0或32aa10或a1032a. 解得a1或a.答案：(，1)规范答题“三个二次”间的转化二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决典例(本题满分12分)已知f(x)ax22x(0x1)(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)1恒成立，求a的范围；(3)若f(x)0的两根都在

12、0,1内，求a的范围规范解答(1)当a0时，f(x)2x在0,1上递减，f(x)minf(1)2.当a>0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向上，且对称轴为x.2分.当0<1，即a1时，f(x)ax22x的图象的对称轴在0,1内，f(x)在上递减，在上递增f(x)minf.4分.当>1，即0<a<1时，f(x)ax22x的图象的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.6分当a<0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x<0，在y轴的左侧，f(x)ax22x在0,1上递减f(x)minf(1)a2.综上所

13、述，f(x)min8分(2)只需f(x)min1，即可由(1)知，当a<1时，a21，a1(舍去)；当a1时，1恒成立，a1.10分(3)由题意知f(x)0时，x0，x(a0)，00,1，0<1，a2.12分规范建议(1)分清本题讨论的层次第一层：函数类型a0和a0.第二层：开口方向a>0和a<0.第三层：对称轴x与区间0,1的位置关系，左、内、右(2)讨论后要有总结答案高考真题体验1(2016·高考全国丙卷)已知，则()Abac Babc Cbca Dcab解析：选A.， 而函数在(0，)上单调递增，所以，即bac，故选A.2(2015·高考山东卷

14、)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc Bacb Cbac Dbca解析：选C.由指数函数y0.6x在(0，)上单调递减，可知0.61.50.60.6，由幂函数yx0.6在(0，)上单调递增，可知0.60.61.50.6，所以bac，故选C.3(2013·高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay Byex Cyx21 Dylg|x|解析：选C.A中y是奇函数，A不正确；B中yex是非奇非偶函数，B不正确；C中yx21是偶函数且在(0，)上是单调递减的，C正确；D中ylg|x|在(0，)上是增函数，D不正

15、确故选C.4(2014·高考课标卷 )设函数则使得f(x)2成立的x的取值范围是_解析：f(x)2或或x1或1x8x8，故填(，8答案：(，85(2015·高考天津卷)已知a0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2a·log2(2b)取得最大值解析：由已知条件得b，令f(a)log2a·log2(2b)，则f(a)log2a·log2log2a(log216log2a)log2a(4log2a)(log2a)24log2a(log2a2)24，当log2a2，即a4时，f(a)取得最大值答案：4课时规范训练A组基础演练1.已知二次函数的图象

16、如图所示，那么此函数的解析式可能是()Ayx22x1 Byx22x1Cyx22x1 Dyx22x1解析：选C.设二次函数的解析式为f(x)ax2bxc(a0)，由题图象得：a0，b0，c0.选C.2若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)3f(2)，则的值为()A. B. C. D.解析：选A.设f(x)xa, 又f(4)3f(2)，4a3×2a，解得alog23，3一次函数yaxb与二次函数yax2bxc在同一坐标系中的图象大致是()解析：选C.若a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的开口向上，故可排除A；若a0，一次函数yaxb为减函数，二次函数yax2bxc开

17、口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a0，b0，从而0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，因此选C.4如果函数f(x)x2bxc对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，那么()Af(2)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2) Df(0)f(2)f(2)解析：选D.由f(1x)f(x)知f(x)的图象关于x对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f(0)f(2)f(2)5若f(x)x2ax1有负值，则实数a的取值范围是()Aa2 B2a2Ca2或a2 D1a3解析：选C.f(x)x2ax1有负值，a240，则a2或a2.6若方程x211x30a

18、0的两根均大于5，则实数a的取值范围是_解析：令f(x)x211x30a.结合图象有，0a.答案：0a7若二次函数f(x)ax24xc的值域为0，)，则a，c满足的条件是_解析：由已知得答案：a0，ac48已知f(x)4x2mx5在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_解析：因为函数f(x)4x2mx5的单调递增区间为，所以2，即m16.答案：(，169已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值解：函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.(1)当a0时，f(x)maxf(0)1a，1a2，a1.(2)当0a1时，f(x)maxa2a1，a2a12，

19、a2a10，a(舍)(3)当a1时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1或a2.10已知函数f(x)ax2bx1(a，b为实数，a0，xR)(1)若函数f(x)的图象过点(2,1)，且方程f(x)0有且只有一个根，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x1,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围解：(1)因为f(2)1，即4a2b11，所以b2a.因为方程f(x)0有且只有一个根，所以b24a0.所以4a24a0，所以a1，所以b2.所以f(x)(x1)2.(2)g(x)f(x)kxx22x1kxx2(k2)x11.由g(x)的图象知：要满足题意，则2或1，即k6或k0，所求实数k的取值范围为(，06，)B组能力突破1若幂函数的图象不过原点，则m的取值是()A1m2 Bm1或m2 Cm2 Dm1解析：选B.由幂函数性质可知m23m31，m2或m1.又幂函数图象不过原点，m2m20，即1