高等数学第五章无穷级数

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1无穷级数无穷级数第五章第五章习题课习题课四、函数的幂级数四、函数的幂级数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数为常数为常数nu)(xuunn为函数为函数 1nnu主要内容主要内容机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3)(0 xunn 求和求和)(xs展开展开(在收敛域内进行在收敛域内进行)(0 xunn 【基本问题基本问题】 判别敛散；判别敛散；求和函数求和函数(收敛域收敛域)；级数展开级数展开.为傅立叶级数为傅立叶级数.xnbxnaxunnnsinc

2、os)( 当当为傅氏系数为傅氏系数) 时时,时为数项级数时为数项级数;0 xx 当当nnnxaxu )(当当时为幂级数时为幂级数;nnba ,(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法利用部分和数列的极限判别数项级数的敛散性利用部分和数列的极限判别数项级数的敛散性. . 以及收敛级数的以及收敛级数的5 5条基本性质（条基本性质（p205同济同济p256）2. 正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvunnvu ), 2, 1( n且且则则(1)(1)若若 收敛，必有收敛，必有 收敛收

3、敛. . 1nnv 1nnu(2)(2)若若 发散，必有发散，必有 发散发散. . 1nnu 1nnv【注意其极限形式注意其极限形式 哦！哦！P215同济同济p258】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法3. 正项级数审敛法正项级数审敛法必要条件必要条件0lim nnu不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法 lim n1 nunu 根值审敛法根值审敛法 nnnulim1 收收 敛敛发发 散散1 不定不定 比较审敛法比较审敛法其它法判别其它法判别部分和有界部分和有界1 利用基本性质和正项级数利用基本性质和正项级数审敛法就

4、可以判定审敛法就可以判定负项级负项级数数的敛散的敛散哦！哦！机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束63. 任意项级数审敛法任意项级数审敛法为为收敛收敛级数级数 1nnuLeibnitz判别法判别法: 若若,01 nnuu且且,0lim nnu则交错级数则交错级数nnnu 11)1(收敛收敛 ,概念概念且且 ，余项，余项.1 nnur 1nnu若若收敛收敛 , 1nnu称称绝对收敛绝对收敛 1nnu若若发散发散 , 1nnu称称条件收敛条件收敛1us 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束7级数审敛法表格一览级数审敛法表格一览交错级数交错级数任意项级数任意

5、项级数1.2. .4. .绝对收敛绝对收敛p224p2244.Leibnitz.Leibnitz定理定理 p223p223同济同济2622623. .按基本性质按基本性质; ;,则则级级数数收收敛敛若若ssn;, 0,则则级级数数发发散散当当 nun正项级数正项级数4. .充要条件充要条件5. .比较法比较法p212p2126. .比值法比值法p216p2167. .根值法根值法p220p2205. .条件收敛条件收敛同济同济p263p263机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束8注：注：1.调和级数调和级数与与 p 级数级数是两个常用的比较级数。是两个常用的比较级数。若存

6、在,ZN对一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：注：2.几何级数几何级数（p205同济同济p250）也是常用的比较级数。也是常用的比较级数。11,1 ( 0)1,pnpppnp当时收敛级数常数当时发散例例1. 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9【解】【解】时时如如果果1| q12 nnaqaqaqasqqan 1)1(,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散时时如如果果1 q,1时时当当 q,1时时当

7、当 q nasn 级数级数发散发散 aaaa 级数变为级数变为002 nsaasn 12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束10不不存存在在nns lim 级数级数发散发散 综上综上 发散发散时时当当收敛于收敛于时时当当,11,10qqaqaqnn要求熟记该结论要求熟记该结论【解】【解】nnnu 1232,343n 已知级数为等比级数，已知级数为等比级数，,34 q公比公比, 1| q.原级数发散原级数发散机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束11例例4. 判别下列级数的敛散性: .)1(1)2( ;1ln)1(11 nnnnnn【解】【解】 (1)

8、12ln ns nnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln )1ln( n） n(所以级数所以级数 (1) 发散发散 ;技巧技巧利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和23ln 34ln nn1ln 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束12(2) )1(1431321211 nnsn 211111 n） n(1所以级数所以级数 (2) 收敛收敛, 其和为其和为 1 . 3121 4131 111nn技巧技巧 利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和【小结】【小结】在用定义判别级数的敛散性时，必须设法求出在用定义判别级数的敛散性时，必须设法求出sn的具体的具体有限表

9、达式，即须有限表达式，即须将将sn中的省略号中的省略号“”消去消去，才能求，才能求极限极限nns lim，否则不能直接求出，否则不能直接求出. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束13证明级数1) 1(1nnn发散 .证证: 因为2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而级数111nn21kk发散根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .例例5 5.机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1 1 nnn设级数设级数nnnnnu1 n1 )(0 n故级数收敛故级数收敛. .例例6.6.（根值审敛法）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14的敛散性

10、. nnn1lim例例7. 判别级数判别级数11sinnn的敛散性 .解解: nlim sin1nn11根据比较判别法的极限形式知.1sin1发散nn例例8. 判别级数1211lnnn解解:nlim221limnnn1根据比较判别法的极限形式知.11ln12收敛nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束15 limn例例9. 讨论级数讨论级数)0(11xxnnn的敛散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理4可知:,10时当 x级数收敛 ;,1时当 x级数发散 ;

11、.1发散级数nn,1时当 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 【练习】【练习】 P264(同济同济p254;p268)【根值法也可以哦！根值法也可以哦！】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束16例例10. 设正项级数设正项级数 1nnu和和 1nnv 12)(nnnvu也收敛也收敛 .提示提示 因因,0limlim nnnnvu存在存在 N 0,nnnnvvuu 22,又因又因)(222nnvu )()(2Nnvunn 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛都收敛, 证明级数证明级数当当n N 时时2)(nnvu 【

12、练习】【练习】 设正项级数设正项级数 1nnu和和 1nnv都收敛都收敛, 证明级数证明级数. ,11也也都都收收敛敛 nnnnnnuvu【另用比较法的极限形式处理也可以另用比较法的极限形式处理也可以!】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束17;1ln)1()3(1 nnnn例例11.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:;1)1()1(1 npnn;1sin)1()2(111 nnnn .! )1()1()4(11 nnnnn提示提示 (1) p 1 时时, 绝对收敛绝对收敛 ;0 p 1 时时, 条件收敛条件收敛 ;p0 时时, 发

13、散发散 .(2) 因各项取绝对值后所得因各项取绝对值后所得大大级数级数 原级数绝对收敛原级数绝对收敛 .故故 ,111收敛收敛 nn 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束18 11ln)1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun 因因单调递减单调递减, 且且所以原级数仅所以原级数仅条件收敛条件收敛 .由由Leibnitz判别法知级数判别法知级数收敛收敛 ;0lim nnu但但由于由于 1 )11ln(nn 与调和级数比较与调和级数比较,知知 1|nnu发散发散机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束19 11! )1()1()4(nnnnn因因 nn

14、uu12)1(! )2( nnn1)111(12 nnnn1! )1( nnn n11 e所以原级数绝对收敛所以原级数绝对收敛 .【练习】【练习】 P266(同济同济p254;p268)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束20二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数标准形式幂级数: 先求收敛半径先求收敛半径 R , 再讨论再讨论Rx 非标准形式幂级数非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式通过换元转化为标准形式 p234例例4直接用比值法或根值法直接用比值法或根值法p234例例5处的敛散性处的敛散性 .p231 同济同济p272例例1.求下列级数的收

15、敛域求下列级数的收敛域:1(1);2nnnxn21(2).2nnnnx（同济（同济P274例例4例例5）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束21【解解】11lim2nnnaa当当2x 因此级数因此级数 2, 2 ).时时,1(1)2nnnxn2,R22x即时原级数收敛时原级数收敛 .收敛域为收敛域为原级数为原级数为11nn11( 1)nnn为调和级数，故发散。为调和级数，故发散。当当时，时，原级数为原级数为 收敛。收敛。2x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2221(2)2nnnnx)()(lim1xuxunnn 【解解】 因因)1(2121 nn

16、xn22x nnxn22,122 x当当时，时，即即22 x,2时时当当 x故收敛域为故收敛域为. )2,2( 级数收敛级数收敛;一般项一般项nun 不趋于不趋于0, nlim级数发散级数发散; , 1212 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散, ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束23【解】【解】 3523222xxx级数为级数为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数收敛级数收敛, , 1212 x当当,2时时即即 x不能直接应用定理不能直接应用定理2, 故直接由比值审敛法求收敛半径故直接由

17、比值审敛法求收敛半径., 1212 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散, ,.2 R机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束24,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为级数发散级数发散, ,级数发散级数发散, ,原级数的收敛域为原级数的收敛域为).2, 2( 【注意】【注意】当幂级数缺少偶次项（或奇次项）时，当幂级数缺少偶次项（或奇次项）时， 不能应用定理不能应用定理2 求求R，此时应利用达朗，此时应利用达朗 贝尔贝尔比值法比值法来确定来确定R. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束25例例3.12) 1(n

18、nnnx求幂级数的收敛域.解解: 令 ,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当 t = 2 时, 级数为,11nn此级数发散;当 t = 2 时, 级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束26例例4.求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域: :【解】【解】)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn

19、级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束27nnna lim nn lim, , Rnnnaa1lim 11lim nn, 0 , 0 R;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.0处处收收敛敛级级数数只只在在 x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束28nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收敛收敛即即 x,)1 , 0(收收敛敛 x.)

20、21(2)1()4(1nnnnxn ,0时时当当 x,11 nn级数为级数为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.练习练习 p266. p266. 同济同济p277p277！机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束29 求部分和式极限求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和求和 （p246 同同济济p281公式。公式。) 熟记熟记 公式哦公式哦! 映射变换法映射变换法 逐项求导或求积分逐项求导或求积分nnnxa 0)(*xS对和式积分或求导对和式积分或求导)(xS难难 初等变换法初等变换法: 分解、

21、套用公式分解、套用公式（在收敛区间内）（在收敛区间内）nnnxa 0运算性质运算性质:P235-236同济同济p275-276机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束30例例1. 1nnxn求幂级数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发,)1,1(时故当x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束31例例2. 求级数求级数01nnnx的和函数. )(xS解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 时级数且1x

22、01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx收敛 , 有时则当,0 x0111nnnxxxnnxxx00d1机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 10( x1x及x0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束32) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函数的连续性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及机动 目录 上页 下页 返回 结束 x0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束33 例例3. 1(2).(1)nnxn n;212)1(

23、)1(21 nnnxn【解解】 (1) )(21121 nnnx原式原式)120(2 x 12)2(1nnxx 222211xxx 22xx222)2(2xx 显然显然 x = 0 时上式也正确时上式也正确,. )2,2( x故和函数为故和函数为而在而在2 xx0,)2(2)(222xxxS 求下列幂级数的和函数：求下列幂级数的和函数：级数发散级数发散,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束34(2)nnxnn 1111原原式式 xnntt011d xnnttx01d1ttxd110 tttxxd110 0 x)1ln(x )1(ln11xx )1(ln)11(1xx )10( x ttnnxd110 ttxnnxd110 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束35 1)1(nnnnx, )1(ln)11(1xx 显然显然 x = 0 时时, 和为和为 0 ; 根据和函数的连续性根据和函数的连续性 , 有有 )(xS110, )1(ln)11(1 xxxx及及0 0 x，1 1 x，10 xx = 1 时时, 级数也收敛级数也收敛 . 即得即得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束36 例