高等数学级数教学ppt

1、第十一章第十一章 级数级数第一节第一节 无穷级数的概念及性质无穷级数的概念及性质 nuuuu321 nkknnuuuuS121 2部分和：部分和：、,11uS ,212uuS ,3213uuuS ,21nnuuuS 则则称称和和是是一一给给定定的的数数列列，设设无无穷穷级级数数：、 1nu，记为记为 1 nnu即：即：对应一个部分和数列对应一个部分和数列，给定级数给定级数显然，显然， , 1nnnSu .项项称为级数的一般项或通称为级数的一般项或通而而nu, nnnuuuuu3211即即.为无穷级数为无穷级数.称称为为无无穷穷级级数数的的部部分分和和无无穷穷级级数数的的收收敛敛与与发发散散一一

2、、 ，存存在在极极限限的的部部分分和和数数列列若若级级数数SSunnn1 1收敛，收敛，则称级数则称级数 nnu，即即SSnn lim 记为记为称为该级数的和，称为该级数的和，且极限且极限 S.211Suuuunnn .1发散发散则称级数则称级数 nnunnSSr 21nnuu 1nkku级数收敛：级数收敛：、 3级数发散：级数发散：、 4余项：余项：、 5则则称称收收敛敛，设设级级数数 1 nnu不不存存在在，若若极极限限nnS lim.lim 1存在存在收敛收敛级数级数说明：说明：nnnnSu .lim1不不存存在在发发散散级级数数nnnnSu .1的余项的余项为级数为级数 nnu且且，产

3、生的误差为产生的误差为代替和代替和这时用这时用 nnrSS. 0)(limlim SSSSrnnnnnnSSr 21nnuu 1nkku余项：余项：、 5则则称称收收敛敛，设设级级数数 1 nnu.1的余项的余项为级数为级数 nnu.lim 1存在存在收敛收敛级数级数说明：说明：nnnnSu .lim1不不存存在在发发散散级级数数nnnnSu )1(1321211 nnSn解：解：1113121211 nn)111(limlim nSnnn，111 n. 1 . 1 S且且和和. )1(1321211)1(1 11若若收收敛敛求求其其和和的的敛敛散散性性，判判断断、例例 nnnnn收敛，收敛，

4、故故 1)1(1 nnn12 nnaqaqaqaS解解：.1 1)1( 时时当当， qqqan 1时，时，当当 q，qaSnn 1lim时，时，当当1 q， nnSlim 收收敛敛，故故级级数数 11 nnaq. 11发发散散故故级级数数 nnaq.1qa 且和为且和为.)0()( 21211的敛散性的敛散性几何级数几何级数讨论等比级数讨论等比级数、例例 aaqaqaqaaqnnn,1时时当当 q不不存存在在，nnS lim . 12 , 2, 0knaknSn，时时当当，1 qna时，时，当当1 q， nnSlim . 11发发散散故故级级数数 nnaq. 11发发散散故故级级数数 nnaq

5、. 11发发散散级级数数 nnaq时时，因因此此当当1 q收收敛敛；级级数数 11 nnaq时，时，当当1 q时，时，当当1 q， nnSlim 收收敛敛，故故级级数数 11 nnaq. 11发发散散故故级级数数 nnaq.1qa 且和为且和为,1时时当当 q不不存存在在，nnS lim . 12 , 2, 0knaknSn，时，时，当当1 q， nnSlim . 11发发散散故故级级数数 nnaq.)0()( 21211的的敛敛散散性性几几何何级级数数讨讨论论等等比比级级数数、例例 aaqaqaqaaqnnn级级数数的的基基本本性性质质二二、 ，、的的部部分分和和分分别别为为、设设级级数数证

6、证：nnnnnnSkuu 11 nnkukuku 21 则则)(limlimnnnnkS nnSk lim.kS . 1kSkunn且且和和为为收收敛敛，故故级级数数 , )( 2111 SvuSvunnnnnnn且且其其和和为为也也收收敛敛，则则级级数数，、收收敛敛且且和和为为、设设级级数数、，且且和和为为收收敛敛，则则级级数数，收收敛敛且且和和为为设设级级数数、kSkuSunnnn 111 ,nkS )(21nuuuk . 0 11的敛散性相同的敛散性相同与与级数级数时，时，当当说明：说明： nnnnkuuk.11 nnnnukku即即. )(111 nnnnnnnvuvu即即.11 nn

7、nnukku即即，、的的部部分分和和分分别别为为、设设级级数数证证：nnnnnnSvu 11 . 111kSkuSunnnn且且和和为为收收敛敛，则则级级数数，收收敛敛于于设设级级数数、 )(1的的部部分分和和为为则则级级数数 nnnvu)()()(2211nnnvuvuvu )()(2121nnvvvuuu ，nnS )(limlimnnnnnS . S.)(1 Svunnn收收敛敛且且和和为为故故级级数数的的基基本本性性质质二二、 , )( 2111 SvuSvunnnnnnn且且其其和和为为也也收收敛敛，则则级级数数，、收收敛敛且且和和为为、设设级级数数、. )(111 nnnnnnnv

8、uvu即即. )(111 nnnnnnnvuvu即即. 111kSkuSunnnn且且和和为为收收敛敛，则则级级数数，收收敛敛于于设设级级数数、 . 逐项相减逐项相减收敛级数可逐项相加与收敛级数可逐项相加与说明：说明：成成的的级级数数一一定定发发散散吗吗？两两个个发发散散级级数数通通项项和和构构问问题题： . 不一定发散不一定发散答案：答案：都都发发散散，、等等比比级级数数例例如如、 111)1( )1( nnnn. )1()1(11收收敛敛但但级级数数 nnn散散吗吗？项项和和构构成成的的级级数数一一定定发发收收敛敛级级数数与与发发散散级级数数通通问问题题： . 一一定定发发散散答答案案：级

9、级数数的的基基本本性性质质二二、 , )( 2111 SvuSvunnnnnnn且且其其和和为为也也收收敛敛，则则级级数数，、收收敛敛且且和和为为、设设级级数数、. )(111 nnnnnnnvuvu即即. 3其其和和一一般般是是改改变变的的但但在在收收敛敛时时，的的敛敛散散性性，不不改改变变级级数数项项，增增加加或或改改变变级级数数的的有有限限去去掉掉、)2( )1( 21121 nkkknkkkuuukuuuuu项项得得到到级级数数去去掉掉前前面面设设级级数数证证：nkkknuuu 21 则则，记记Ssnknnn lim lim . kSS 则则， knkSS . 同同时时收收敛敛或或同同

10、时时发发散散与与数数列列时时，故故当当nnkSn ，、的的部部分分和和分分别别为为、设设级级数数nnS )2( )1(. 其和一般会改变其和一般会改变故收敛时，故收敛时，级级数数的的基基本本性性质质二二、 . 不改变级数的敛散性不改变级数的敛散性即去掉级数的有限项，即去掉级数的有限项，.成立成立同理可证其他两种情况同理可证其他两种情况. 3其其和和一一般般是是改改变变的的但但在在收收敛敛时时，的的敛敛散散性性，不不改改变变级级数数项项，增增加加或或改改变变级级数数的的有有限限去去掉掉、)1( 211 nnnuuuu证证：设设级级数数nnnnS2limlim 故故,63S ,2nnS .S .

11、, 4且且其其和和不不变变级级数数仍仍收收敛敛收收敛敛级级数数加加括括弧弧后后所所得得、)2( )()()( 654321 uuuuuu进进行行如如下下加加括括弧弧：, 21S 则则,42S ，、的的部部分分和和分分别别为为、设设级级数数nnS )2( )1(，且且其其和和为为收收敛敛，级级数数S )2(.即其和不变即其和不变. 级级数数未未必必收收敛敛收收敛敛级级数数去去括括弧弧后后所所得得说说明明：级级数数的的基基本本性性质质二二、 . , 4且且其其和和不不变变级级数数仍仍收收敛敛收收敛敛级级数数加加括括弧弧后后所所得得、级级数数的的基基本本性性质质二二、 )11()11()11( 1n

12、例例如如、 11)1(1111 nn但但 收敛收敛 发散发散. 则原级数发散则原级数发散级数发散，级数发散，设级数加括弧后所得的设级数加括弧后所得的推论：推论：. 级级数数未未必必收收敛敛收收敛敛级级数数去去括括弧弧后后所所得得说说明明：设原级数收敛，设原级数收敛，证：证： 加括弧得到一级数，加括弧得到一级数，则按照已知条件的方式则按照已知条件的方式得该级数收敛，得该级数收敛，由性质由性质4.与已知矛盾与已知矛盾.故原级数发散故原级数发散级级数数收收敛敛的的必必要要条条件件三三、 . 0lim 1 nnnnuu则则收收敛敛，设设级级数数，的的部部分分和和为为证证：设设级级数数nnnSu 1，因

13、因为为1 nnnSSu)(limlim1 nnnnnSSu所所以以SS . 0 .132211 31的敛散性的敛散性判断级数判断级数、例例 nnnnn,limSSnn 且且1limlim nnnnSS1limlim nnunnn解：解：1 ，0 .1 1发发散散级级数数 nnn级级数数收收敛敛的的必必要要条条件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu则则收收敛敛，设设级级数数必必要要条条件件：、. 0lim 21发散发散则级数则级数，设设推论：推论：、 nnnnuau. 断断级级数数发发散散的的方方法法上上述述推推论论给给出出了了一一个个判判说说明明：，显显然然01limlim nunnn,

14、1312111 1 nnn调调和和级级数数例例如如，.11发发散散但但级级数数 nn，且且其其和和为为收收敛敛，假假设设事事实实上上，Snn 1 1 .为部分和为部分和其中其中nS，则则SSnn lim，SSnn 2lim. 0)(lim2 SSSSnnn级级数数收收敛敛的的必必要要条条件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu则则收收敛敛，设设级级数数必必要要条条件件：、.0lim 1收收敛敛级级数数由由说说明明： nnnnuu，显显然然01limlim nunnn,1312111 1 nnn调调和和级级数数例例如如，.11发发散散但但级级数数 nn，SSnn 2lim. 0)(lim2

15、SSSSnnn级级数数收收敛敛的的必必要要条条件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu则则收收敛敛，设设级级数数必必要要条条件件：、.0lim 1收收敛敛级级数数由由说说明明： nnnnuunnnSSnn2121112 又又nnn212121 ，021)(lim2 nnnSS.)1( 矛盾矛盾与与.21 )1(.11发发散散故故级级数数 nn第十一章第十一章 级数级数第二节第二节 正正项级数的审敛法项级数的审敛法有有界界部部分分和和数数列列收收敛敛正正项项级级数数1nnnSu 收收敛敛，设设”“证证 1 :nnu.有有界界nS,单调增加单调增加nS收收敛敛，nS.1收收敛敛故故正正项项级级

16、数数 nnu. 0 11为正项级数为正项级数则称级数则称级数，设设正项级数：正项级数：、 nnnuu收敛，收敛，则数列则数列nS有界，有界，”设”设“nS，0 nu，nnSS 1. !1 11的的敛敛散散性性判判断断级级数数、例例 nnnn 211!1 解解：2211 要条件要条件正项级数收敛的充分必正项级数收敛的充分必、 2!1! 21! 11nSn ，121 n. 0 11为正项级数为正项级数则称级数则称级数，设设正项级数：正项级数：、 nnnuu. !1 11的的敛敛散散性性判判断断级级数数、例例 nnnn 211!1 解解：2211 要要条条件件正正项项级级数数收收敛敛的的充充分分必必

17、、 2!1! 21! 11nSn ，121 n!1! 21! 11 nSn 有有界界，得得由由0nnSS 121211 n1212 n. 2 211211 n.!1 1收收敛敛因因此此级级数数 nn上上述述解解题题主主要要是是利利用用：，1)21(!1 nn 11.) 21(nn收收敛敛而而，、的的部部分分和和分分别别为为、设设证证：nnnnnnSvu 11 .1收收敛敛故故 nnu，且且均均为为正正项项级级数数，和和设设nnnnnnvuvu 11也也收收敛敛；则则收收敛敛，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也发散也发散则则发散，发散，若若 nnnnvu收敛，收敛，若若 1 )1(n

18、nv，MSn . 11nnkknkknvuS 则则，则则Mn 发散，发散，若若 1)2(nnu.1发散发散故故 nnv无界，无界， n 无界，无界，则则nS比比较较判判别别法法、 3，且且均均为为正正项项级级数数，和和设设nnnnnnvuvu 11也也收收敛敛；则则收收敛敛，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也发散也发散则则发散，发散，若若 nnnnvu比比较较判判别别法法、 3.) ()1(”可可改改为为“Nnvuvunnnn . (3)11未必收敛未必收敛收敛时，收敛时，当当 nnnnvu. )4(11未未必必发发散散发发散散时时，当当 nnnnuv几点说明：几点说明：.)0 (

19、)2(”可可改改为为“ ccvuvunnnn时时，解解：当当1 p，因为因为nnp11 .11发散发散级数级数故故 npnp时时，当当1 poyx)1(1 pxyp1234，有有时时，当当ppxnnnx11 1 pppnnS131211 dxxdxxnnpp 121111dxxnp 111npxp11111 ，111 p发散，发散，又又 11nn.1 21的的敛敛散散性性级级数数判判断断、例例 npnpdxnnnnpp 111)11(1111 pnp.11 1nnpp 时时，当当.11dxxnnp 时时，解解：当当1 p，因为因为nnp11 .11发散发散级数级数故故 npnp时时，当当1 p

20、oyx)1(1 pxyp1234，有有时时，当当ppxnnnx11 1 pppnnS131211 ，111 p发散，发散，又又 11nn.1 21的的敛敛散散性性级级数数判判断断、例例 npnpdxnnnnpp 111.11 1nnpp 时时，当当.11dxxnnp 有界，有界，nS.11收敛收敛级数级数故故 npnp收敛，收敛，级数级数时，时，故当故当 11 1npnpp.1 11发发散散级级数数时时，当当 npnpp，判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性、例例 12)1(1)1( 3nnn收收敛敛，又又 1231nn.)1(1 12收敛收敛 nnn，解：解： 1)1(1 )1( 232

21、nnn ，且且均均为为正正项项级级数数，和和设设nnnnnnvuvu 11也也收收敛敛；则则收收敛敛，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也发散也发散则则发散，发散，若若 nnnnvu比比较较判判别别法法、 3：比较判别法的参考级数比较判别法的参考级数，等等比比级级数数 11nnaq.11 npnp级级数数，判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性、例例 12)1(1)1( 3nnn 22311)2(nn，).0(11)3(1 aann.11 223发发散散 nn发发散散，又又 1321nn 111 )2(3232，nn )1(11 1)3(，时，时，当当nnaaa 收敛，收敛，而而

22、1)1( nna 1.11 nna收收敛敛故故111lim 1 nnaa时时，当当 1.11 nna发发散散故故，时，时，当当2111 1 naa 1.11nna发散发散故故 11 11收收敛敛；时时，因因此此当当 nnaa.11 11发发散散时时，当当 nnaa，0 ，且且均均为为正正项项级级数数，和和设设lvuvunnnnnnn lim 11敛散性相同；敛散性相同；与与则则时，时，当当 11 0(1)nnnnvul收收敛敛；则则收收敛敛，且且时时，当当 11 0)2(nnnnuvl. )3(11发发散散则则发发散散，且且时时，当当 nnnnuvl得得由由证：证： lim)1(lvunnn

23、.2 0211llvuNnNlnn 有有时，时，当当，对对 ，即即nnnvluvl232 ，22llvulnn .11敛敛散散性性相相同同与与故故由由比比较较判判别别法法可可得得 nnnnvu比比较较判判别别法法的的极极限限形形式式、 4，且且均均为为正正项项级级数数，和和设设lvuvunnnnnnn lim 11敛散性相同；敛散性相同；与与则则时，时，当当 11 0(1)nnnnvul收收敛敛；则则收收敛敛，且且时时，当当 11 0)2(nnnnuvl. )3(11发发散散则则发发散散，且且时时，当当 nnnnuvl比比较较判判别别法法的的极极限限形形式式、 4得得由由证证：0lim )2( nnnvu，nnvu . 11收收敛敛收收敛敛时时，故故当当