高等数学(2017高教五版)课件正项级数(工科类)

1、 收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.2 正项级数数学分析 第 十二章数项级数*四、拉贝判别法三、积分判别法一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法*点击以上标题可直接前往对应内容正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同, 则称为同号级数. 对于同号级数, 只须研究各项都是由正数组成的级 数(称正项级数).由级数与其部分和数列的关系，得：后退 前进 目录 退出正项级数收敛性的一般判别原则定理12.50(1,2,),iui由于由于证 所以Sn是递增数列. 单调数列收敛的充要条件是定理).仅靠定义和定理12.5来判断正项级

2、数的收敛性是不 容易的，敛性判别法则. nu正项级数正项级数收敛的充要条件是:nS有界, .nSM即存在某正数M, 对一切正整数 n 有而这就证明了定理的结论. 该数列有界(单调有界正项级数收敛性的一般判别原则部分和数列 因此要建立基于级数一般项本身特性的收 定理12.6（比较原则）nnuv设设和和是是两两个个正正项项级级数数 如果存在某正数N, 对一切 n N 都有 (1)nnuv则(i),;nnvu若若级级数数收收敛敛 则则级级数数也也收收敛敛(ii),.nnuv若若级级数数发发散散 则则级级数数也也发发散散证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛 因此不妨设不等式(1)对一切正整数都

3、成立. nnnnSSuv现现在在分分别别以以和和记记级级数数与与的的部部分分和和. .散性,正项级数收敛性的一般判别原则由(1)式可得,对一切正整数 n, 都有 (2)nnSS,lim,nnnvS若收敛 即存在若收敛 即存在 则由(2)式对一切 n 有 limnnnSS，nunS即正项级数 的部分和数列 有 由定理12.5级数 nu收敛, (ii)为(i)的逆否命题,自然成立.(1)nnuv界,这就证明了(i).正项级数收敛性的一般判别原则例1 21.1nn考考察察的的收收敛敛性性解 2,n由由于于当当时时 有有因为正项级数 21(1)nn n 收敛 (1例5的注), 比较原则和定理12.3,

4、 级数 211nn 也收敛. nnnn22111.11nn故由正项级数收敛性的一般判别原则22,0,nnnnuvuv收收敛敛 且且0 0. .例2 若级数220nnnnu vuv 证 因为 , 根据比较原则, 得到正项级数 nnu v收敛. 在实际使用上,下面给出的极限形式通常更方便.nnu v则则级级数数收收敛敛. .22,nnuv而级数均收敛，正项级数收敛性的一般判别原则推论（比较原则的极限形式）,nnuv设 是两个正项级数,若 lim,(3)nnnulv则(i)0,;nnluv 当当时时 级级数数, ,同同敛敛散散(ii)0,;nnlvu当当且且级级数数收收敛敛时时 级级数数也也收收敛敛

5、(iii),.nnlvu 当当且且级级数数发发散散时时 级级数数也也发发散散(i)0,;nnluv 当当时时 级级数数, ,同同敛敛散散证 (i) 由(3), l 对任给正数对任给正数 存在某正数N, 当 n N 时,恒有 nnulv 或()().(4)nnnlvulv 正项级数收敛性的一般判别原则lim,(3)nnnulv由比较原则及(4)式得,与nv同时收敛或同时发散. 这就证得了(i). 0l当当nu级数 时, (ii) 当l = 0时,由(4)式右半部分及比较原则可得, nvnu级数 收敛, 则级数 也收敛. (iii),l 若若则对于正数1, 当n N 时, 都有 于是由比较原则知道

6、, 若级数nv发散, 则级数 nu也发散. 若存在相应的正数N,1nnvu.nnvu 或或正项级数收敛性的一般判别原则lim,(3)nnnulv()().(4)nnnlvulv 例3 级数 12nn是收敛的, 以及等比级数 12n收敛, 式式, ,因为nnnn2121limnnnn22limnnn211lim1根据比较原则的极限形 正项级数收敛性的一般判别原则12nn级级数数也也收收敛敛. .例4 正项级数 111sinsin1sinsin2nn是发散的, 1sinlim1,1nnn根据比较原则的极限 1n形式以及调和级数 发散, 散. 因为正项级数收敛性的一般判别原则1sinn也发 得到级数

7、 *例5 判断正项级数 12 sin1nnn的敛散性.1sinlim1,1nnn解 因为 12 sin1nnn21n 故可将 与进 行比较. 12(1sin)lnlime,nnnn212 sinlimnnnnn nnnn1sin12lim正项级数收敛性的一般判别原则由于 12211sinlimnnnnn注意到 1lim 1sinlnnnnn 所以 12(1sin)lnlime1.nnnn 根据比较原则, 原级数收敛.nnnonnln1lim22, 0正项级数收敛性的一般判别原则12 sin1nnn级级数数的的收收敛敛性性12(1sin)lnlimennnn极极限限211lim 1lnnnonn

8、n 比式判别法和根式判别法 本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象 而得到的, 特征就能作出判断，不需要与已知级数进行比较.比式判别法和根式判别法但在使用时只要根据级数一般项本身的 定理12.7（达朗贝尔判别法，或比式判别法）则级数 nu收敛.0(ii),nN若若对对一一切切成成立立不不等等式式11,(6)nnuu.nu则则级级数数发发散散1,(5)nnuqu0(i),nN若若对对一一切切成成立立不不等等式式0nuN 设设为为正正项项级级数数，且且存存在在某某正正整整数数及及常常数数01 .qq（）比式判别法和根式判别法把前n-1个不等式按项相乘后,得到132121,nnnuuuquuu

9、11.nnuu q或或者者由于当0 q N 时, 有 1.nnuqqu N,比式判别法和根式判别法1nnuqqu 1,1,qq 当当时时 根根据据的的取取法法, ,有有由上述不等式的左半部分及比式判别法的 (i), 得正项级数 nu是收敛的. 1,1,qq 若若则则有有 根据上述不等式的左半部分 及比式判别法的 (ii), 可得级数 nu是发散的.11,nnuu.nu所以这时级数是发散的所以这时级数是发散的,q若若,N则存在则存在时有时有当当Nn 比式判别法和根式判别法例6 级数22 52 5 82 5 823(1),11 51 5 91 5 914(1)nn 由于 根据推论1，级数收敛.nn

10、uunnnn4132limlim143, 1比式判别法和根式判别法例7 讨论级数1(0)nnxx 的敛散性.解 因为 根据推论1,当 0 x 1时级数发散;若(7)中q = 1, 这时用比式判别法不能对级数比式判别法和根式判别法*推论2211,nn和和例如级数它们的比式极限都是 1n而而却是发散的.若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极限来判别收敛性. 设nu为正项级数.1(i)lim1,;nnnuqu若若则则级级数数收收敛敛1(ii)lim1,;nnnuqu若若则则级级数数发发散散,11nuunn收收敛敛，但但21n比式判别法和根式判别法解 由于1,nnb nuuc n为为奇奇数数

11、, ,为为偶偶数数故有于是当c 1时, 级数(8)收敛; 但当b 1 c时,比式判别法无法 判断级数的敛散性. 的敛散性, 其中 0 b 1时,级数发散; 比式判别法和根式判别法定理12.8（柯西判别法，或根式判别法）且存在某正数 0,Nl及及常常数数0(i),nN若若对对一一切切成成立立不不等等式式1,(9)nnul;nu则则级级数数收收敛敛0(ii),nN若若对对一一切切成成立立不不等等式式1,(10)nnu .nu则则级级数数发发散散nu为正项级数, 设比式判别法和根式判别法对于情形(ii), 由(10)式可得 11.nnu ,nnu显显然然当当时时不可能以零为极限, 收敛的必要条件可知

12、, 级数 nu是发散的.证 由(9)式有 ,1,nnull而而因为等比级数 nl时收敛，01l当当nu故由比较原则, 这时级数也收敛,因而由级数比式判别法和根式判别法推论1（根式判别法的极限形式）lim,(11)nnnul(i)1,;nlu当当时时 级级数数收收敛敛(ii)1,.nlu当当时时 级级数数发发散散则 证 由(11)式,1,l 当当取取时时存在某正数 N,n N, 有 .nnlul 于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论. 设 nu为正项级数, 且对一切比式判别法和根式判别法例9 研究级数 2( 1)2nn的敛散性.解 由于所以级数是收敛的.若在(11)式中 l =1,则根式判别

13、法仍无法对级数的敛 散性做出判断. 都有发散的. 212limlimnnnnnnu,21211,nn对和对和例如,1nunn是是收收敛敛的的，但但21n却是却是而而n1比式判别法和根式判别法*推论2*例10考察级数22nnbcbcbc的敛 散性，其中01.bc 解 由于121121(),()(),mmnnmmccumbb 设nu为正项级数, 且lim,nnnul则当 (i) l 1 时级数发散. 比式判别法和根式判别法 1limlim,nnnnnnucub11limlim01,nnnnnnubuc如果应用比式判别法, 由于 我们就无法判断其收敛性.那么比式法和根式法究竟哪个更有效呢？lim1,

14、nnnuc因此级数是收敛的. 故比式判别法和根式判别法1limnnnuqulim.nnnuq根据第二章总练习题 4 (7), 当 时, 必有这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数, 也能 由根式判别法来判别, 别法更为有效. 2( 1),2nn 由于 亦即根式判别法较之比式判例如级数比式判别法和根式判别法222121332limlim,122mmmmmmuu212122112limlim,362mmmmmmuu故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性. 式判别法却能判定此级数是收敛的(例9).否就不需要比式判别法了？请看下面例子.那么, 是比式判别法和根式判别法但应用根 例11 判别下列级数的敛散性

15、：21( !)(i) ;(2 )!nnn 21(ii) .12nnnn 解 (i) 因为 212(1)!(2 )!limlim2(1)! ( !)nnnnunnunn 由比式判别法，原级数为收敛. 22121lim2nnnn, 141比式判别法和根式判别法11,2由根式判别法, 原级数为收敛. 注 由于极限2( !)lim(2 )!nnnn很难求, 所以上例中的 (i) 采用比式法更方便. (ii) 因为nnnnnnnnu12limlim2nnnn12lim2比式判别法和根式判别法定理12.9（积分判别法）积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局 限性较大, 所以还需要建立一些更

16、有效的判别法.设 1,)f为为上非负减函数, 那么正项级数+1( )( )df nf xx与与反反常常积积分分同时收敛证 由假设1,)f 为为上非负减函数, f 在1, A上可积,于是或同时发散.对任何正数 A,积分判别法1( )( )d(1),2,3,.nnf nf xxf nn依次相加可得11221( )( )d(1)( ).(12)mmmmnnnf nf xxf nf n若反常积分收敛,有111( )(1)( )d(1)( )d .mmmnSf nff xxff xx根据定理12.5, 级数( )f n收敛.则由(12)式左边,对任何正整数m,积分判别法反之, 若( )f n为收敛级数,

17、 一正整数 m(1)有11( )d( ).(13)mmf xxSf nS10( )d,1.Anf xxSS nAn因为f (x)为非负减函数, 可以证明+1( )( )df nf xx与与是同时发散的.11221( )( )d(1)( ).(12)mmmmnnnf nf xxf nf n则由(12)式右边, 对任 故对任何正数 A, 都有 111 2 .d.fxx 根根据据定定理理的的反反常常积积分分收收敛敛用同样方法，用同样方法，积分判别法例12 讨论1.ppn级级数数的的敛敛散散性性1( ),01,)pf xpx当当时时在在解 函数上是非负减函 时发散. 知它也是发散的.数，数，时收敛，时

18、收敛，在在反常积分反常积分1d1pxxp.1时发散时发散p故故 时收敛，时收敛，当当由积分判别法得由积分判别法得11pnp10 p当当 0p的情形, 则可由收敛的必要条件至于积分判别法例13 讨论下列级数的敛散性.2311(i);(ii).(ln )(ln )(lnln )ppnnnnnnn解 2d,(ln )pxxx研研究究反反常常积积分分由由于于(i)1,1.pp数数在在时时收收敛敛时时发发散散3d(ii),(ln )(lnln )pxxxx对对于于考考察察反反常常积积分分同同样样可可1p 推得级数 (ii) 在 p 1时收敛, 在 时发散. 22lnlndlndppxxxxx2lndpu

19、u时发散，时发散，时收敛，时收敛，当当11pp根据积分判别法得级根据积分判别法得级积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数, 如 果级数的通项收敛速度较慢, 它们就失效了, 如 p级数. 这类级数的通项收敛于零的速度较慢, 因此较比式 或根式法在判断级数收敛时更精细.*拉贝判别法 拉贝(Raabe)判别法是以 p 级数为比较对象,*拉贝判别法定理12.10（拉贝判别法）111,nnunru;nu则则级级数数收收敛敛0(ii),nN若若对对一一切切成成立立不不等等式式111,nnunu.nu则则级级数数发发散散0(i),nN若若对对一一切切成成立立不不等等式式设 nu为正项级数, 且存

20、 0.Nr在在某某正正整整数数及及常常数数*拉贝判别法.1pr 由由于于故存在正数N, 111.prnn证 (i), 111ruunnn由由.11nruunn得得p选选使使得得rxxnrnpxpn11lim111lim0rxppx101limrp, 1使对任意n N ，都有 *拉贝判别法1111nnNnNnnNuuuuuuuu于是, 当n N 时，有 1211pppNnnNunnN 11,.nppun因因为为时时收收敛敛 所所以以是是收收敛敛的的这样 pnnnuu11111pn11.1pnnNppunN1.11pNpnuN*拉贝判别法131212nnnnnuuuuuuuu212112nnunn21.un1,.nun因因为为发发散散 故故是是发发散散的的, 11)ii(1nnuun由由,1111nnnuunn得得于是于是*拉贝判别法推论（拉贝判别法的极限形式）设 nu为正项级数, 且极限1lim1nnnunru存在, 则(i)1,;nru当当时时 级级数数收收敛敛(ii)1,.nru当当时时 级级数数发发散散*拉贝判别法1 3(21)(14)2 4(2 )Snn当s