高等数学随堂讲义正项级数

1、 收敛性是级数研收敛性是级数研究中最基本的问题究中最基本的问题, , 本本节将对最简单的正项节将对最简单的正项级数建立收敛性判别级数建立收敛性判别法则法则. .2 正项级数数学分析 第 十二章数项级数* *四、拉贝判别法四、拉贝判别法三、积分判别法三、积分判别法一、正项级数收敛性的一一、正项级数收敛性的一般判别原则般判别原则 二、比式判别法和根式判二、比式判别法和根式判别法别法*点击以上标题可直接前往对应内容正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同若数项级数各项的符号都相同, , 则称为同号级数则称为同号级数. . 对于同号级数对于同号级数, , 只须研究各项都是由正数组成的级只

2、须研究各项都是由正数组成的级 数数(称正项级数称正项级数). .由级数与其部分和数列的关系，得：由级数与其部分和数列的关系，得：后退 前进 目录 退出正项级数收敛性的一般判别原则定理12.50(1,2,),iui由由于于证证 所以所以Sn是递增数列是递增数列. . 单调数列收敛的充要条件是单调数列收敛的充要条件是定理定理).).仅靠定义和定理仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不来判断正项级数的收敛性是不 容易的，容易的，敛性判别法则敛性判别法则. . nu正项级数正项级数收敛的充要条件是收敛的充要条件是:nS有界有界, .nSM即存在某正数即存在某正数M, 对一切正整数对一切正整数

3、 n 有有而而这就证明了定理的结论这就证明了定理的结论. 该数列有界该数列有界(单调有界单调有界正项级数收敛性的一般判别原则部分和数列部分和数列 因此要建立基于级数一般项本身特性的收因此要建立基于级数一般项本身特性的收 定理12.6（比较原则）nnuv设设和和是是两两个个正正项项级级数数 如果存在某正数如果存在某正数N, , 对一切对一切 n N 都有都有 (1)nnuv则则(i),;nnvu若若级级数数收收敛敛 则则级级数数也也收收敛敛(ii),.nnuv若若级级数数发发散散 则则级级数数也也发发散散证证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛 因此

4、不妨设不等式因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立对一切正整数都成立. . nnnnSSuv现现在在分分别别以以和和记记级级数数与与的的部部分分和和. .散性散性,正项级数收敛性的一般判别原则由由(1)式可得式可得, ,对一切正整数对一切正整数 n, 都有都有 (2)nnSS,lim,nnnvS若若收收敛敛 即即存存在在 则由则由(2)式对一切式对一切 n 有有 limnnnSS，nunS即正项级数即正项级数 的部分和数列的部分和数列 有有 由定理由定理12.5级数级数 nu收敛收敛, (ii)为为(i)的逆否命题的逆否命题, ,自然成立自然成立. .(1)nnuv界界,这就证明了这就证明了

5、(i).正项级数收敛性的一般判别原则例例1 21.1nn考察的收敛性考察的收敛性解解 2,n由由于于当当时时 有有因为正项级数因为正项级数 21(1)nn n 收敛收敛 (1例例5的注的注), 比较原则和定理比较原则和定理12.3, 级数级数 211nn 也收敛也收敛. nnnn22111.11nn故由故由正项级数收敛性的一般判别原则22,0,nnnnuvuv收收敛敛 且且0.0.例例2 若级数若级数220nnnnu vuv 证证 因为因为 , 根据比较原则根据比较原则, 得到正项级数得到正项级数 nnu v收敛收敛. 在实际使用上在实际使用上, ,下面给出的极限形式通常更方便下面给出的极限形

6、式通常更方便. .nnu v则则级级数数收收敛敛. .22,nnuv而级数而级数均收敛，均收敛，正项级数收敛性的一般判别原则推论（比较原则的极限形式）,nnuv设设 是两个是两个正项级数正项级数, ,若若 lim,(3)nnnulv则则(i)0,;nnluv 当当时时 级级数数, ,同同敛敛散散(ii)0,;nnlvu当当且且级级数数收收敛敛时时 级级数数也也收收敛敛(iii),.nnlvu 当当且且级级数数发发散散时时 级级数数也也发发散散(i)0,;nnluv 当当时时 级级数数, ,同同敛敛散散证证 (i) 由由(3), l 对任给正数对任给正数 存在某正数存在某正数N, 当当 n N

7、时时, ,恒有恒有 nnulv 或或()().(4)nnnlvulv 正项级数收敛性的一般判别原则lim,(3)nnnulv由比较原则及由比较原则及(4)式得式得,与与nv同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散. 这就证得了这就证得了(i). . 0l当当nu级数级数 时时, (ii) 当当l = 0时时, ,由由(4)式右半部分及比较原则可得式右半部分及比较原则可得, , nvnu级数级数 收敛收敛, 则级数则级数 也收敛也收敛. (iii),l 若若则对于正数则对于正数1, , 当当n N 时时, , 都有都有 于是由比较原则知道于是由比较原则知道, 若级数若级数nv发散发散, 则级数则级数

8、 nu也发散也发散. 若若存在相应的正数存在相应的正数N,1nnvu.nnvu 或或正项级数收敛性的一般判别原则lim,(3)nnnulv()().(4)nnnlvulv 例例3 级数级数 12nn是收敛的是收敛的, 以及等比级数以及等比级数 12n收敛收敛, 式式, ,因为因为nnnn2121limnnnn22limnnn211lim1根据比较原则的极限形根据比较原则的极限形 正项级数收敛性的一般判别原则12nn级级数数也也收收敛敛. .例例4 正项级数正项级数 111sinsin1sinsin2nn是发散的是发散的, 1sinlim1,1nnn根据比较原则的极限根据比较原则的极限 1n形式

9、以及调和级数形式以及调和级数 发散发散, 散散. . 因为因为正项级数收敛性的一般判别原则1sinn也发也发 得到级数得到级数 *例例5 判断正项级数判断正项级数 12 sin1nnn的敛散性的敛散性.1sinlim1,1nnn解解 因为因为 12 sin1nnn21n 故可将故可将 与与进进 行比较行比较. . 12(1sin)lnlime,nnnn212 sinlimnnnnn nnnn1sin12lim正项级数收敛性的一般判别原则由于由于 12211sinlimnnnnn注意到注意到 1lim 1sinlnnnnn 所以所以 12(1sin)lnlime1.nnnn 根据比较原则根据比较

10、原则, 原级数收敛原级数收敛.nnnonnln1lim22, 0正项级数收敛性的一般判别原则12 sin1nnn级级数数的的收收敛敛性性12(1sin)lnlimennnn极极限限211lim 1lnnnonnn比式判别法和根式判别法 本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象 而得到的而得到的, , 特征就能作出判断，不需要与已知级数进行比较特征就能作出判断，不需要与已知级数进行比较. .比式判别法和根式判别法但在使用时只要根据级数一般项本身的但在使用时只要根据级数一般项本身的 定理12.7（达朗贝尔判别法，或比式判别法）则级数则级数 nu收敛收

11、敛.0(ii),nN若对一切成立不等式若对一切成立不等式11,(6)nnuu.nu则则级级数数发发散散1,(5)nnuqu0(i),nN若对一切成立不等式若对一切成立不等式0nuN 设设为为正正项项级级数数，且且存存在在某某正正整整数数及及常常数数01 .qq（）比式判别法和根式判别法把前把前n-1个不等式按项相乘后个不等式按项相乘后, ,得到得到132121,nnnuuuquuu11.nnuu q或或者者由于当由于当0 q N 时时, , 有有 1.nnuqqu N,比式判别法和根式判别法1nnuqqu 1,1,qq当时 根据的取法,有当时 根据的取法,有由上述不等由上述不等式式的左半部分及

12、比式判别法的的左半部分及比式判别法的 (i), 得正项级数得正项级数 nu是收敛的是收敛的. . 1,1,qq 若则有若则有 根据上述不等式的左半部分根据上述不等式的左半部分 及比式判别法的及比式判别法的 (ii), 可得级数可得级数 nu是发散的是发散的.11,nnuu.nu所所以以这这时时级级数数是是发发散散的的,q若若,N则存在则存在时有时有当当Nn 比式判别法和根式判别法例例6 6 级数级数22 52 5 82 5 823(1),11 51 5 91 5 914(1)nn 由于由于 根据推论根据推论1，级数收敛，级数收敛. .nnuunnnn4132limlim143, 1比式判别法和

13、根式判别法例例7 讨论级数讨论级数1(0)nnxx 的敛散性的敛散性.解解 因为因为 根据推论根据推论1, ,当当 0 x 1时时级数发级数发散散;若若(7)中中q = 1, 这时用比式判别法不能对级数这时用比式判别法不能对级数比式判别法和根式判别法*推论2211,nn和和例如级数例如级数它们的比式极限都是它们的比式极限都是 1n而而却是发散的却是发散的.若某级数的若某级数的(7)式的极限不存在式的极限不存在, ,则可应用上、下极则可应用上、下极限来判别收敛性限来判别收敛性. . 设设nu为正项级数为正项级数.1(i)lim1,;nnnuqu若则级数收敛若则级数收敛1(ii)lim1,;nnn

14、uqu若则级数发散若则级数发散,11nuunn收敛，收敛，但但21n比式判别法和根式判别法解解 由于由于1,nnb nuuc n为为奇奇数数, ,为为偶偶数数故有故有于是当于是当c 1 1时时, 级数级数(8)收敛收敛; 但当但当b 1 c时时, ,比式判别法无法比式判别法无法 判断级数的敛散性判断级数的敛散性. . 的敛散性的敛散性, 其中其中 0 b 1时时,级数发散级数发散; 比式判别法和根式判别法定理12.8（柯西判别法，或根式判别法）且存在某正数且存在某正数 0,Nl及及常常数数0(i),nN若对一切成立不等式若对一切成立不等式1,(9)nnul;nu则则级级数数收收敛敛0(ii),

15、nN若对一切成立不等式若对一切成立不等式1,(10)nnu .nu则则级级数数发发散散nu为正为正项级数项级数, 设设比式判别法和根式判别法对对于情形于情形(ii), 由由(10)式可得式可得 11.nnu ,nnu显显然然当当时时不可能以零为极限不可能以零为极限, 收敛的必要条件可知收敛的必要条件可知, 级数级数 nu是发散的是发散的.证证 由由(9)式有式有 ,1,nnull而而因为等比级数因为等比级数 nl时收敛，时收敛，01l当当 nu故由比较原则故由比较原则, 这时级数这时级数也收敛也收敛,因而由级数因而由级数比式判别法和根式判别法推论1（根式判别法的极限形式）lim,(11)nnn

16、ul(i)1,;nlu当当时时 级级数数收收敛敛(ii)1,.nlu当当时时 级级数数发发散散则则 证证 由由(11)式式,1,l 当当取取时时存在某正数存在某正数 N, ,n N, 有有 .nnlul 于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论. . 设设 nu为正项级为正项级数数, , 且且对一切对一切比式判别法和根式判别法例例9 研究级数研究级数 2( 1)2nn的敛散性的敛散性.解解 由于由于所以级数是收敛的所以级数是收敛的. .若在若在(11)式中式中 l =1, ,则根式判别法仍无法对级数的敛则根式判别法仍无法对级数的敛 散性做出判断散性做出判

17、断. 都有都有发散的发散的. . 212limlimnnnnnnu,21211,nn对和对和例如例如,1nunn是收敛的，是收敛的，但但21n却是却是而而n1比式判别法和根式判别法*推论2*例例10考察级数考察级数22nnbcbcbc的敛的敛 散性，其中散性，其中01.bc解解 由于由于121121(),()(),mmnnmmccumbb 设设nu为正项级数为正项级数, 且且lim,nnnul则当则当 (i) l 1 时级数发散时级数发散. . 比式判别法和根式判别法 1limlim,nnnnnnucub11limlim01,nnnnnnubuc如果应用比式判别法如果应用比式判别法, 由于由于

18、 我们就无法判断其收敛性我们就无法判断其收敛性.那么比式法和根式法究竟哪个更有效呢？那么比式法和根式法究竟哪个更有效呢？lim1,nnnuc因此级数是收敛的因此级数是收敛的. 故故比式判别法和根式判别法1limnnnuqulim.nnnuq根据第二章总练习题根据第二章总练习题 4 (7), 当当 时时, 必有必有这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数, 也能也能 由根式判别法来判别由根式判别法来判别, , 别法更为有效别法更为有效. 2( 1),2nn 由于由于 亦即根式判别法较之比式判亦即根式判别法较之比式判例如级数例如级数比式判别法和根式判别法2221

19、21332limlim,122mmmmmmuu212122112limlim,362mmmmmmuu故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性. 式判别法却能判定此级数是收敛的式判别法却能判定此级数是收敛的( (例例9).).否就不需要比式判别法了？请看下面例子否就不需要比式判别法了？请看下面例子. .那么那么, 是是比式判别法和根式判别法但应用根但应用根 例例11 判别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性：21( !)(i) ;(2 )!nnn 21(ii) .12nnnn 解解 (i) 因为因为 212(1)!(2 )!limlim2(1)! ( !)nnnnu

20、nnunn 由比式判别法，原级数为收敛由比式判别法，原级数为收敛. . 22121lim2nnnn, 141比式判别法和根式判别法11,2由根式判别法由根式判别法, 原级数为收敛原级数为收敛. 注注 由于极限由于极限2( !)lim(2 )!nnnn很难求很难求, 所以上例中的所以上例中的 (i) 采用比式法更方便采用比式法更方便. . (ii) 因为因为nnnnnnnnu12limlim2nnnn12lim2比式判别法和根式判别法定理12.9（积分判别法）积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数, ,局局 限性较大限性较大, , 所以还需要建

21、立一些更有效的判别法所以还需要建立一些更有效的判别法. .设设 1,)f为为上非负减函数上非负减函数, 那么正项级数那么正项级数+1( )( )df nf xx与反常积分与反常积分同时同时收敛收敛证证 由假设由假设1,)f 为为上非负减函数上非负减函数, f 在在1, A上可积上可积, ,于是于是或同时发散或同时发散.对任何正数对任何正数 A,积分判别法1( )( )d(1),2,3,.nnf nf xxf nn依次相加可得依次相加可得11221( )( )d(1)( ).(12)mmmmnnnf nf xxf nf n若反常积分收敛若反常积分收敛, ,有有111( )(1)( )d(1)(

22、)d .mmmnSf nff xxff xx根据定理根据定理12.5, 级数级数( )f n收敛收敛.则由则由(12)式左边式左边,对任何正整数对任何正整数m,积分判别法反之反之, 若若( )f n为收敛级数为收敛级数, 一正整数一正整数 m(1)有有11( )d( ).(13)mmf xxSf nS10( )d,1.Anf xxSS nAn因为因为f (x)为非负减函数为非负减函数, 可以证明可以证明+1( )( )df nf xx与与是同时是同时发散的发散的. .11221( )( )d(1)( ).(12)mmmmnnnf nf xxf nf n则由则由(12)式右边式右边, 对任对任

23、故对任何正数故对任何正数 A, 都有都有 111 2 .d.fxx 根根据据定定理理的的反反常常积积分分收收敛敛 用同样方法，用同样方法，积分判别法例例12 讨论讨论1.ppn级数的敛散性级数的敛散性1( ),01,)pf xpx当当时时在在解解 函数函数上是非负减函上是非负减函 时发散时发散. 知它也是发散的知它也是发散的. .数，数，时收敛，时收敛，在在反常积分反常积分1d1pxxp.1时发散时发散p故故 时收敛，时收敛，当当由积分判别法得由积分判别法得11pnp10 p当当 0p的情形的情形, 则可由收敛的必要条件则可由收敛的必要条件至于至于积分判别法例例13 讨论下列级数的敛散性讨论下

24、列级数的敛散性.2311(i);(ii).(ln )(ln )(lnln )ppnnnnnnn解解 2d,(ln )pxxx研究反常积分由于研究反常积分由于(i)1,1.pp数数在在时时收收敛敛时时发发散散3d(ii),(ln )(lnln )pxxxx对对于于考考察察反反常常积积分分同同样样可可1p 推得级数推得级数 (ii) 在在 p 1时收敛时收敛, 在在 时发散时发散. 22lnlndlndppxxxxx2lndpuu时发散，时发散，时收敛，时收敛，当当11pp根据积分判别法得级根据积分判别法得级积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数

25、, , 如如 果级数的通项收敛速度较慢果级数的通项收敛速度较慢, , 它们就失效了它们就失效了, 如如 p级数级数. . 这类级数的通项收敛于零的速度较慢这类级数的通项收敛于零的速度较慢, , 因此较比式因此较比式 或根式法在判断级数收敛时更精细或根式法在判断级数收敛时更精细. .*拉贝判别法 拉贝拉贝(Raabe)判别法是以判别法是以 p 级数为比较对象级数为比较对象,*拉贝判别法定理12.10（拉贝判别法）111,nnunru;nu则则级级数数收收敛敛0(ii),nN若对一切成立不等式若对一切成立不等式111,nnunu.nu则则级级数数发发散散0(i),nN若对一切成立不等式若对一切成立

26、不等式设设 nu为正项级数为正项级数, 且存且存 0.Nr在在某某正正整整数数及及常常数数*拉贝判别法.1pr 由由于于故存在正数故存在正数N, 111.prnn证证 (i), 111ruunnn由由.11nruunn得得p选选使使得得rxxnrnpxpn11lim111lim0rxppx101limrp, 1使对任意使对任意n N ，都有都有 *拉贝判别法1111nnNnNnnNuuuuuuuu于是于是, 当当n N 时，有时，有 1211pppNnnNunnN 11,.nppun因为时收敛 所以是收敛的因为时收敛 所以是收敛的这样这样 pnnnuu11111pn11.1pnnNppunN1

27、.11pNpnuN*拉贝判别法131212nnnnnuuuuuuuu212112nnunn21.un1,.nun因因为为发发散散 故故是是发发散散的的, 11)ii(1nnuun由由,1111nnnuunn得得于是于是*拉贝判别法推论（拉贝判别法的极限形式）设设 nu为正项级数为正项级数, 且极限且极限1lim1nnnunru存在存在, 则则(i)1,;nru当当时时 级级数数收收敛敛(ii)1,.nru当当时时 级级数数发发散散*拉贝判别法1 3(21)(14)2 4(2 )Snn当当s =1, 2, 3时的敛散性时的敛散性.例例14 讨论下面级数讨论下面级数解解 无论无论s =1, 2, 3哪一值哪一值, ,级数级数(14)的比式极限的比式极限 1lim1nnnuu所以用比式判别法无法判别级数所以用比式判别法无法判别级数(14)的敛