高等数学10-1级数

1、例例 2 2 计计算算曲曲线线积积分分dzyxdyxzdxzy)()()(222222 其其中中 是是平平面面23 zyx截截立立方方体体: :10 x, ,10 y, ,10 z的的表表面面所所得得的的截截痕痕, ,若若从从 ox轴轴的的正正向向看看去去, ,取取逆逆时时针针方方向向. .解解取取为为平平面面23 zyx的的上上侧侧被被 所所围围成成的的部部分分. .则则1 , 1 , 131 nzxyo n 即即,31coscoscos dSyxxzzyzyxI 222222313131 dSzyx)(34 dS2334 xyDdxdy332.29 )23( zyx上上在在xyD23 yx

2、21 yx内恒成立内恒成立在在条件是等式条件是等式积分为零）的充分必要积分为零）的充分必要内任意闭曲线的曲线内任意闭曲线的曲线内与路径无关（或沿内与路径无关（或沿在在线积分线积分连续偏导数，则空间曲连续偏导数，则空间曲内具有一阶内具有一阶在在、是一维单连通域，函数是一维单连通域，函数设空间开区域设空间开区域定理定理GzPxRyRzQxQyPGGRdzQdyPdxGzyxRzyxQzyxPG ,),(),(),(1空间曲线积分与路径无关的条件空间曲线积分与路径无关的条件内恒成立内恒成立在在件是等式件是等式的全微分的充分必要条的全微分的充分必要条成为某一函数成为某一函数内内在在连续偏导数，则表达式

3、连续偏导数，则表达式内具有一阶内具有一阶在在、函数函数是空间一维单连通域，是空间一维单连通域，设区域设区域定理定理GzPxRyRzQxQyPzyxuGRdzQdyPdxGzyxRzyxQzyxPG ,),(),(),(),(2 ),(),(000),(zyxzyxRdzQdyPdxzyxu且且用定积分表示为用定积分表示为 zzyyxxdzzyxRdyzyxQdxzyxPzyxu000.),(),(),(),(000.),(),(000GzyxMGzyxM 点点内某一定点，内某一定点，为为其中其中),(0000zyxM),(001zyxM),(02zyxM),(zyxMzxyO三、物理意义三、物

4、理意义-环流量与旋度环流量与旋度1. 1. 环流量的定义环流量的定义: :.),(),(),(),(按所取方向的环流量按所取方向的环流量沿曲线沿曲线称为向量场称为向量场上的曲线积分上的曲线积分中某一封闭的有向曲线中某一封闭的有向曲线则沿场则沿场设向量场设向量场CARdzQdyPdxl dACAkzyxRjzyxQizyxPzyxACC 2. 2. 旋度的定义旋度的定义: :. )(ArotRQPzyxkji为为向向量量场场的的旋旋度度称称向向量量 9-4 6（1）1( 1, 1),( ,0),(0,1)2ABC 这里LABC是有向折线是有向折线22LxdyydxIxy例1求2222QyxPxx

5、yy解解积积分分与与路路径径无无关关可选路径可选路径AEFC，则，则11022222111111LxdyydxdxdydxIxyxyx11020555arctan|14dxxxADC请思考：能否请思考：能否取折线取折线222222111:0,0,0dydzdzdxdxdyxyzxyzabcabc 例例2 2 求求, ,椭椭球球面面+ += =1 1的的外外侧侧此此题题不不可可用用高高斯斯公公式式, , 因因为为不不满满足足解解公公式式条条件件.12111dxdydxdydxdyzzz2 1 1设设, , 为为上上半半椭椭球球面面的的上上侧侧和和下下半半球球面面的的下下侧侧, ,22221.xy

6、xOyab则则两两曲曲面面在在面面上上投投影影域域为为22222212221xyabdxdycxyab+ +- -221220022241xabadydxcxyab- -2202212084arcsin1axbayabcdxccxba2244,.dydzabcdzdxabcxayb类类似似地地, ,有有2221114.abcabc原原式式22222, , ,0,0,0., ,xyzP x y zPx y zzOdSx y z =例例3 3 设设 为为椭椭球球面面1 1的的上上半半部部分分, ,点点为为 在在点点 处处的的切切平平面面, ,为为点点到到平平面面的的距距离离, ,求求222:( ,

7、 ,2 ).22xyznx yz=解解 1 1, ,( , , )()()2 ()0.P x y zx Xxy Yyz Zz过过点点的的切切平平面面为为22222xyz注意到 注意到 122xXyYzZ上上述述方方程程写写成成原原点点到到此此平平面面的的距距离离为为222122xyz=代代入入, ,则则222242 122xy dxdydSxy=12222( , , ),44xyx y zz222212( , , ),4144x y zxyxy22221,:222xyzD xy=又又 22222222, ,4412222 122DzdSx y zxyxyxydxy221(4)4Dxydxdy2

8、220013(4)42drrdrLeonhard Euler (1707-1783)我国早在魏晋时代我国早在魏晋时代 ( (公公元元 200-350200-350年年 ) )，刘徽刘徽已经用无穷级数的概念已经用无穷级数的概念来计算圆的面积了。直来计算圆的面积了。直到到1818世纪，瑞士数学家世纪，瑞士数学家和物理学家和物理学家欧拉欧拉开辟了开辟了无穷级数的理论研究。无穷级数的理论研究。一、问题的提出一、问题的提出1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积R正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积1a21aa 正正 形的面积形的面积n23 naaa 21naaaA 21即即 n10

9、310003100310331. 2 从上例可知：从上例可知：无限和无限和可能存在（例可能存在（例1、2），可能不存在（例），可能不存在（例3），），无限和无限和是与是与有限和有限和有重大区别的新概念有重大区别的新概念3. 1 2 3n 那么，在什么条件下那么，在什么条件下无限和无限和是一是一个确定的数？在什么条件下个确定的数？在什么条件下无限和无限和不不是一确定的数，这就构成了研究数项是一确定的数，这就构成了研究数项级数最基本的问题级数最基本的问题二、级数的概念二、级数的概念1. 1. 级数的定义级数的定义: : nnnuuuuu3211(数列项数列项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列

10、部分和数列 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: :如如果果ns没没有有极极限限, ,则则称称无无穷穷级级数数 1nnu发发散散. .余项余项nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 误误差差为为nr)0lim( nnr无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花. .做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类

11、推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花”观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面积积为为周周长长为为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形播放播放, 2 , 1)34(11 nPPnn)91(431121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn , 3 , 2 n周长为周长为面积为面积为)94(31)94(31)94(31311221 nA第第

12、次分叉：次分叉：n于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛）例例 1 1 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收敛性的收敛性. .解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散时时如如果果1 q,1时时当当 q,1时时当当

13、 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn证证 我们利用定积分的几何意义加以证明我们利用定积分的几何意义加以证明. . 调和级数部分和调和级数部分和nknkS11，如图所示，如图所示. .考察曲线考察曲线1, 1,1nxxxy和和0y所所 围成的围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积 S 与阴影表示的与阴影表示的阶梯形面积阶梯形面积 nA 之间的关系，之间的关系， O 1 1/ /2 2 y 1 1 1 2 3 4 n n+1 x 可以看到阴影部分的可以看到阴影部分的第一个矩形面积第一个矩

14、形面积 1A=1=1，第二个矩，第二个矩形面积形面积212A，第三个矩形面积，第三个矩形面积313A，第，第 n 个矩形面积个矩形面积1nAn，所以阴影部分的总面积为，所以阴影部分的总面积为 nknknnknAA111131211 ， 它它显显然然大大于于曲曲边边梯梯形形的的面面积积 S，即即有有 ) 1ln(ln111111nxdxxAAnnnkkn ， 而而) 1(lim nn，表表明明nA的的极极限限不不存存在在，所所以以该该级级数数发发散散. . 论级数论级数 的敛散性的方法就成为研究无穷级数的敛散性的方法就成为研究无穷级数 1nna 1nna根据定义来讨论无穷级数根据定义来讨论无穷级

15、数 的敛散性的敛散性 , 将面临部分和数列将面临部分和数列 Sn 的计算的计算 ( 即即 n 项求和问题项求和问题 ) .于是研究出不从定义出发于是研究出不从定义出发 ( 从而回避从而回避 Sn 的计算的计算) 讨讨 问题的关键问题的关键 .为此我们先讨论无穷级数的一些基本性质为此我们先讨论无穷级数的一些基本性质 从上面例子可知从上面例子可知:三、基本性质三、基本性质性性质质 1 1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1nnku亦亦收收敛敛. .性性质质 2 2 设设两两收收敛敛级级数数 1nnus, , 1nnv, ,则则级级数数 1)(nnnvu收收敛敛, ,其其和和为为 s.

16、 .结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .解解 121)1(5nnnn 1)1(5nnn 121nn 111115)1(5nnnnnn nknkkg11115令令),111(5 n, 5)111(lim5lim ngnnn,211是等比级数是等比级数 nn，首项是首项是公比公比21, 121 qnnnnh lim211. 61521)1(51 nnnn故故, 121121 性性质质 3 3 若若级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1knn

17、u也也收收敛敛)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 则则.kss 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.性性质质 4 4 收收敛敛级级数数加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数仍仍然然收收敛敛于于原原来来的的和和. .证明证明 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 则则,52s ,93s ,nms 注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. )11()11

18、(例例如如 1111推论推论 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散, ,则原来级则原来级数也发散数也发散. . 收敛收敛 发散发散四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件级级数数收收敛敛. 0lim nnu证明证明 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趋趋于于零零它它的的一一般般项项无无限限增增大大时时当当,nun级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1)1(4332211nnn例例如如 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. .?, 0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 nnu n131211例例如如调调和和级级数数五、小结五、小结1 1. .由由定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ;2 2. .当当0lim nnu, ,则则级级数数发发散散; ;3 3. .按按基基本本性性质质. .数项级数的基本概念数项级数的基本概念基