高等数学(2017高教五版)课件一致收敛函数列与函数项级数的性质(工科类)

1、 一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多解析性质遗传给和函数，如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要.2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 数学分析 第十三章函数列与函数项级数2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性一致收敛函数列的性质后退 前进 目录 退出可积性可微性 定理13.8（极限交换定理）nf设函数列 在 上一致收敛于 , 00( ,)(, )a xx b ( )f x且对每个n , 0lim( )nnxxfxa，limnna则则和和0lim( )xxf x 均均存存在在且且相等.00lim lim( )lim lim( ).(2)nnxxnnxxfxfx即

2、na证 先证是收敛数列. 故存在正整数 N, 当 nN及对任意正整数 p, 对一切00( ,)(, )xa xx b ， 有 |( )( )|.nn pfxfx 0 ，nf由于 一 致收敛, 对任意lim,nnaA设设na于是由柯西准则可知是收敛数列,则0limlim( ).nnxxfxA下面证明00lim( )limlim( ).nxxxx nf xfxA注意到|( )|f xA111|( )( )|( )|NNNf xfxfxa2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性从而0|lim |( )( )|.nn pnn pxxaafxfx 1|NaA( )nfx( )f

3、 x ，由于 一致收敛于 na收敛于A， nN 当当时时，存在正数 N， 对任意 00( ,)(, )xa xx b 因此对任意0 ，|( )( )|33nnfxf xaA 和和同时成立. 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性11|( )( )|33NNfxf xaA 和和011lim( ),NNxxfxa又因为 0 ，故存在 当00 |xx 时,特别当n=N+1时，0,0,xxx 于于是是 当当满满足足时时|( )|f xA,333 这就证明了 0lim( ).xxf xA有11|( )|.3NNfxa 也有 1|( )( )|Nf xfx11+|( )|NNf

4、xa1+ |NaA定理指出: 在一致收敛的条件下, ( )nfx中关于独 立变量 x与n 的极限可以交换次序, 即(2)式成立. ,( )( , )nfxa b类类似似地地 若若在在lim( )nxafx 上一致收敛, 且 存在, lim lim( )lim lim( );nnnnxaxafxfx( )( , )lim( ),nnxbfxa bfx若若在在上上一一致致收收敛敛, ,且且存存在在lim lim( )lim lim( ).nnnnxbxbfxfx2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性则有则有 推论 定理13.9（连续性）若函数列 nf在区间 I上一致收敛

5、,且每一项都连续, 则其极限函数 f在 I 上也连续. 证 0.xI设设为为上上任任一一点点于是由定理 13.8 知 0lim( )xxf x也存在, 且 000lim( )lim()(),nxxnf xfxf x0( ).f xx因因此此在在上上连连续续nfIf若若连连续续函函数数列列在在区区间间 上上内内闭闭一一致致收收敛敛于于 ，fI则则在在 上上连连续续. .2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性00lim( )(),nnxxfxfx由由于于nx( 1,1 例如 函数列 的各项在 上都是连续的, 其极限函数 0,11,( )1,1xf xx1x 在在时时不不

6、连连续续，nx( 1,1 所以在 上不一致收敛.注 定理13.9可以逆过来用:2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性但 列在区间 I 上其极限函数不连续, 若各项为连续函数的函数I 上一定不一致收敛. 则此函数列在区间 定理13.10（可积性）nf若函数列在a, b上一致收敛, 且每一项都连续, 则 lim( )dlim( )d .(3)bbnnaannfxxfxxnf证 设 f 为函数列 在a, b上的极限函数， (1,2,)nfn 从从而而与 f 在a, b上上都可积. , ,na bff因因为为在在上上一一致致收收敛敛于于, , ,nNxa b当当时时 对对一

7、一切切都都有有2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性lim( )d( )d .(3 )bbnaanfxxf xx于是(3)变为0 ，故对于任意存在N, 知 f 在 a, b上连续,由定理13.9|( )( )|.nfxf x 再根据定积分的性质, 当 nN 时有( )( ) d( )( ) dbbbnnaaafxf xxfxf xx( )( ) d(),bnafxf xxba 这就证明了等式 (3 ). 12,0,211( )22,1,2,.210,1,nnnnnxxnfxnxxnnnxn ( )nfx0,1显然 是上的连续函数列, 0,1x lim( )0.nnf

8、x, 例1 设函数136 图图1nf12n1nn xyO2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性且对任意0,1sup |( )0|,nnxfx 又又( )0,1nfx在在 因此上一致 收敛于 0 的充要条件是 . 0()nn 10( )d,2nnfxxn 因为1100( )d( )d0nfxxf xx故lim02nnn 的充要条件是. 1,n 这这样样, ,当当时时虽然 ( )nfx( )f x不一致收敛于 , 但定理 13.10 的结论仍 ( )nfx( ).f x不一致收敛于但当 时, =nn 101( )d2nfxx同同时时10( )d0.f xx也不收敛于也不

9、收敛于( )nfx例1说明当收敛于 f(x) 时，一致收敛性是极 限运算与积分运算交换的充分条件, 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性成立. 不是必要条件. 定理13.11（可微分性）nf设为定义在a, b上的函数列, 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性的的收收敛敛点点，0 , xa b 若为nfddlim( )lim( ).(4)ddnnnnfxfxxx则 , nfa b的的每每一一项项在在上上有连续的导数 nf ，且在a, b上一致收敛, nf 0lim(),nnfxA设设 , gfa b 为为在在上上的的极极限限函函数数，0

10、0( )()( )d .xnnnxfxfxftt由定理条件, 对任一 , xa b，证 总有 ,nA当当时时 右右边边第第一一项项第第二二项项0( )d .xxg tt,于是 f 所以上式左边极限存在, 记为 0( )lim( )( )d .xnxnf xfxAg tt由 g 的连续性及微积分学基本定理得.fg 这就证明了等式(4). 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性 推论设设函函数数列列定定义义在在区区间间上上，若若为为的的收收敛敛点点且且在在上上内内闭闭一一致致收收敛敛，( )lim( ).nnfxfx则则在在上上可可导导，且且2一致收敛函数列与函数项级数

11、的性质 极限交换定理连续性可积性可微性0 xnf注 请注意定理中的条件为的收敛点的作用. , a bnf在定理的条件下, 还可推出在 上函数列一 致收敛于f ,请读者自己证明. 与前面两个定理一样, 运算交换的充分条件, 而不是必要条件, 请看例2. 一致收敛是极限运算与求导 推论设设函函数数列列定定义义在在区区间间上上，若若为为的的收收敛敛点点且且在在上上内内闭闭一一致致收收敛敛，( )lim( )nnfxfx则则在在上上可可导导，且且函数列221( )ln(1),1,2,2nfxn xnn与22( ),1,2,1nnxfxnn x在0,1上都收敛于0, 0,11limmax |( )( )

12、|,2nnxfxfx ( )0,1,nfx所所以以导导函函数数列列在在上上不不一一致致收收敛敛lim( )0lim( ) .nnnnfxfx 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性可积性可微性例2 由于但有在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收 敛但定理结论成立的例子. (如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件, 但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件, 才能 保证定理结论的成立. 下面讨论定义在区间 , a b上函数项级数12( )( )( )(5)nu xuxux的连续性、逐项求积与逐项求导的性质, 可根据函数列的相应性质推出. 2一致收敛函数列与函数项级数

13、的性质 极限交换定理连续性可积性可微性在今后的进一步学习中 这些性质 定理13.12（极限交换定理、连续性定理）( )nux 0()Ux 1. 若函数项级数 在一致收敛, 0lim( )nnxxuxa ，每个n ,00lim( )lim( ).nnnxxxxuxuxa (6)( )nux , a b2. 若区间上一致收敛, 续, 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导则有且对且每一项都连 , a b上也连续. 则其和函数在 定理13.14（逐项求导定理） 定理13.13（逐项积分定理）( ) d( ) d .(7)bbnnaauxxuxx , a b在在上上一一

14、致致收收敛敛，0 , xa b 为 ( )nux 的收敛点, dd( )( ) .(8)ddnnuxuxxx 且每一若函数项级数( )nux 在a, b上一致收敛, 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导若函数项级数( )nux 在a, b上每一项都有连续的则( )nux都连续, 项则导函数，且( )nux 定理 13.13 和 13.14 指出, 在一致收敛条件下, 逐项 求积或求导后求和等于求和后再求积或求导. 注 本节六个定理的意义不只是检验函数列或函数 项级数是否满足关系式(2)(4), (6)(8), 根据定理的条件, 即使没有求出极限函数或和函数,

15、也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和 函数的解析性质.2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导更重要的是 例3 设 2231( )ln(1),1,2,.nuxn xnn( )nux 0,1证明函数项级数 在上一致收敛, 并讨 论和函数在0,1上的连续性、可积性与可微性. ( )nux证 对每一个 n, 易见 为0, 1上的增函数, 231( )(1)ln(1),1,2,.nnuxunnn21,ln(1),ttt又又当当时时 有有不不等等式式2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导231( )ln(1)nuxnn故有 所以 32

16、11,1,2,.nnnn21( )nuxn收收敛敛级级数数是是的的优优级级数数, ,因此级数 ( )nux 0,1在上一致收敛. ( )nux0,1由于每一个 在上连续, 定理13.13知 ( )nux ( )S x0,1的和函数 在上连 续且可积. 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导222221( ),1,2,(1)2nxxuxnnn xn nxn21( )nuxn即即也也是是的的优优级级数数, ,( )nux 0,1故 在 由定理13.14, 得知( )S x在0, 1上可微. 又由上一致收敛. 根据定理13.12与*例4 确定函数项级数 11nnxn

17、的收敛域并讨论 和函数的连续性. 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导解 首先利用连续性定理(或极限交换定理)建立一个 ( )nux , )a b若函数项级数的每一项在 上 有定义, ,( )nn ux a(i) 在点右连续;( , )xa b ( )nux (ii) 收敛; , (iii) 级数( )nu a 发散, ( )nux ( , )a b则在上不一致收敛.判别法: 且lim( )( )nnxauxu a , 及极限交换定理得 lim( )lim( )( )nnnxaxauxuxu a 与( )nu a 发散矛盾. 对函数项级数11,nnxn 用根式

18、判别法求出其收 11|nnxxxnn()n 因为, | 1x | 1x 所以当时级数收敛, 时级数发散. 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导( )nux ( , )a b理由是, 如果在上一致收敛, 则由(i) 敛域. 这就证明了上述判别法.11nn 1x 当 时, 1( 1)10,nnn 也发散. ( 1,1). 因此这个级数的收敛域为( 1,1) 11( ),nnf xxn 设在上2一致收敛函数列与函数项级数的性质 极限交换定理连续性逐项积分逐项求导11e0,nn1x 时, 而当发散; 111nnn 的一般项级数111nnn 的一般项级数1( )nnuxxn 1x 1x 因为在和处分别为左