例谈数学解题中学生逆向思维的培养

1、例谈数学解题中学生逆向思维的培养  甘肃省临洮中学 裴生军思维是人的理性认识过程，根据思维过程的指向性，可将思维分为正向思维（常规思维）和逆向思维。逆向思维就是按研究问题的反方向思考的一种方式。在解题中从问题的正面思考陷入困境时，则从问题的反面思考往往会绝处逢生，使问题迎刃而解。逆向思维反映了思维过程的间断性、突变性和双向性，它是克服正向思维的心理定势，突破旧有思维框架，产生新思维，发现新知识、新解法的重要思维方式。因此，在教学中，特别在数学解题中，应该重视学生逆向思维能力的培养。根据本人的教学经验，本文就从以下几个方面说明学生逆向思维的培养。1. 从数学定义、公式的可逆性进行逆向思

2、维培养因为数学定义本身是等价命题，而作为定义的命题其逆命题成立，则由它生成的公式法也具有可逆性。例1.求和1×2×3×4+2×3×4×5+n(n+1)(n+2)(n+3).分析：本题若从正面思考入手较难，但注意到公式:C4n+3=，逆向思考有:n(n+1)(n+2)(n+3)=4!C4n+3，则有以下简捷解法。解：原式= m(m+1)(m+2)(m+3) = 4！C4m+3=4！（C44+C45+C46+C4n+3）=4！C5n+4= n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)   点评：本题解的关键在于逆向使用组

3、合数公式。例2.设f(x)=4-22+1，求f-1(0).分析：常见的方法是：先求出反函数f-1(x)，然后再求f-1(0)的值。但只要我们逆用反函数的定义：令f(x)=0，解出的x值即为f-1(0)的值。即f-1(0)=1.点评：本题解的关键是逆用反函数的定义，避免了求f-1(x)带来的不必要麻烦。2运用运算与变换的可逆性进行逆向思维培养数学中的各种变换与运算是正、逆交替的，如映射与逆映射，函数与反函数，指数函数与对数函数等，它们可以相互转化。例3.比较 log20032004与log20042005的大小。分析：本题若正面思维而用比较法较困难，但若以对数运算的变换及对数的逆运算思考，则易解

4、决。解：因为log20032004= log2003 =1+ log2003 ， log20042005= log2004 =1+ log2004 令 x =log2003 ,y =log2004 ，则 2003x= ， 2004y= ，又 > , 所以 2003x>2004y.（若x < y,由指数函数图象知，2003x2004y，产生矛盾. )所以x > y.即 log20032004>log200420053. 从“相等”与“不等”的相互转化进行逆向思维培养“相等”与“不等”在某种情况下，它们可以相互转化，这种转化能使许多难题得以化解。  例4.设

5、x1,x2,x3,x4,x5,为自然数，且x1<x<2x<3x4<x5，又x1+x2+x3+x4+x5=132.求x1+x2+x3的最大值.分析：显然用一个一个地凑是不现实的，若把132与5个变量联系起来，根据5个变量又有的大小关系，故可考虑把相等向不等转化。解:x1+x2+x3+x4+x5x1+(x1+1)+(x1+2)+(x1+3)+(x1+4)=5x1+10,即1325x1+10.x1 ，x1是自然数，x1取最大值24；24+x2+(x2+1)+(x2+2)+(x2+3)=4x2+30,即1324x2+30,x2 ,x2是自然数,x2取最大值25;同理可求得x3的

6、最大值为26,故x1+x2+x3的最大值为75.4. 从“正面”与“反面”的相互转化进行逆向思维培养对于一些从“正面进攻”很难凑效或运算较繁的问题可先功其反面，从而使正面问题得以解决，反过来也一样。例5方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是分析：若分类讨论，需讨论：一负一正根及两负根情形，较繁；若考虑问题的反面，无负根即只有两正根情形。 0 4-4a 0 a1 X1+ X20 => - 0 => a0 => a X1X20 0 a0在有实根的大前提下，至少有一负根是只有正根（即无负根）的反面；故至少有一负根的充要条件是:在0中，排除只有正根的情况，即a1.例6

7、求证方程x2-2003x+2005=0无整数根。分析：若用求根公式讨论，运算量大，不易证明，而从结论的反面思考，逆向思维，结果不难得证。  证明：设方程有两个整数根、，由根与系数的关系得+=2003 ·=2005 因为，均为整数，由知、必为奇数，而两个奇数之和必为偶数，与矛盾。故、不可能为整数，问题得证。说明：1.“至少”性问题大多可从其反面思考。这类题目在求概率问题和排列组合问题中最为普遍，应予以足够重视。 2.例6的证明方法即为反证法.反证法是数学中很重要的一种证题方法,它从否定命题的结论“出发，通过正确的逻辑推理“导出矛盾”，达到了“推出结论的反面”，从而“肯定这个命

8、题真实”。这种应用逆向思维的方法，可使很多问题处理起来相当简便。另外，反例排除也是反证法的应用。5. 从“一般”与“特殊”的相互转化进行逆向思维培养某些问题,可通过对“特殊”情况的分析研究获取解题信息，进而探究“一般”；反之，有时也可以直接根据一般结论来解决特殊问题。例7.求证:10032005>2005!分析与略解：本题用通常的求“差(商)比较法”难以凑效,而由均值不等式有一般结论: > = ，即( )n>n! ( n2且nN).特殊地令n=2005，则知10032005>2005！6. 从“运动”与“静止”的相互转化进行逆向思维培养 事物的静止是相对的，运动才是绝对

9、的。用运动、变化、联系的观点看问题，才能够抓住事物的本质。  例8.已知是P圆x2+y2-2x=0上任意一点，Q是抛物线y2=x+6上任意一点，求|PQ|的最小值。分析：本题是一道双“动”题，P“动”，Q也“动”；若设P(1,1)，Q(2,2)，则21+21-21=0，22=2+6， 然后求|PQ|的最小值,显然这是非常困难的.如果挖掘“静”的因素，抓住Q与圆心C的差，就能化解难点。解：因为圆上任意一点到圆心C(1,0)的距离恒为圆的半径1,所以,本题可转化为求|CQ|的最小值.设Q(,),则2=+6,又|CQ|2=(-1)2+2(-6)=2-+7=(-1/2)2+ .当= 时,|CQ|min= |PQ|min= - 1. 综上所述，在数学解题中加强学生逆向思维培养，可加深学生对知识的理解，进一步完整知识，培养学生思维的敏捷性、深刻性和双向性，克服正向思