《高等代数》课程教学大纲

1、高等代数课程教学大纲课程名称高等代数/Advanced Algebra课程编码10000300410, 课程类型学科基础课课程性质专业基础课适用范围数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、信息安全专业学分数8先修课程无学时数144 实验/实践学时无课外学时无考核方式考试 一、教学大纲说明 （一）课程的性质、地位、作用和任务高等代数是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一。它不仅是代数学的基础，也是其它数学课程必要的前提。该课程是为大学一年级的学生开设的，总课时144学时，开设时间为一年。通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。本课程的任务是使学生系统

2、地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。（二）教学目的和要求通过本课程的学习，使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法，熟悉代数的语言、工具、方法，具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。为今后的学习打下扎实的基础。熟练掌握：集合、映射、单射、满射、双射的概念，第一、第二数学归纳法，带余除法，不可约多项式，线性方程组的消元法，矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩，初等矩阵的性质，可逆矩阵，向量空间的基、

3、维数，线性相关与线性无关，齐次线性方程组的基础解系，线性变换，矩阵特征值、特征向量的概念与求法，内积的定义，正交变换与正交矩阵，二次型的概念及与其矩阵的对应关系。掌握：整数的整除性、素数的性质，集合的表示与运算，辗转相除法，综合除法，多项式的互素，根与系数的关系，重因式及其判定，行列式的性质，行列式的展开，矩阵的乘法，矩阵的行列式，子空间的交与和，坐标，过渡矩阵，线性方程组的特解与通解，线性变换的运算及其形成的向量空间，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构，矩阵的相似，几类向量空间的内积，Cauchy不等式，正交基与正交化，三维空间中的几种正交变换，正交变换与正交矩阵的关系，二次型的矩阵的

4、合同及其求法，对称矩阵合同于对角矩阵，复数域上的二次型的规范形、实数域上二次型的惯性定理、规范形、分类，正定二次型的判定。理解：数学归纳法的原理，多项式的分解的存在唯一性定理，典型分解，代数学基本定理，复数域、实数域上的不可约多项式，实数域上的多项式的虚根成对性质，本原多项式，数环与数域上多项式的分解的关系，Gauss引理及其证明，有理数域上的多项式不可约的判定，行列式的定义，分块矩阵的方法，矩阵乘积的秩，向量空间的定义，矩阵的相似的意义，特征多项式的性质，可对角化的矩阵的判定及其意义，内积的作用，正交、对称变换的意义，主轴的意义与二次型的化简。了解：代数运算的概念，多项式的未定元与多项式函数

5、区别，行列式的几种计算与证明方法，多余的方程的去掉，分块矩阵的初等矩阵，向量空间定义的条件的意义，线性相关的意义，矩阵的秩的几何意义，线性变换的意义，核与象，线性变换与矩阵的相互转换，矩阵的等价、相似、合同的意义。（三）课程教学方法与手段拟采用课堂讲授与讨论、练习相结合的教学方法，拟采用黑板书写与PowerPoint多媒体相结合的教学手段。（四）课程与其它课程的联系高等代数是数学专业的主要基础课程之一。数学专业的许多后续课程，如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等都需要本课程作为基础。（五）教材与教学参考书教材：张禾瑞、郝鈵新，高等代数第五版，高等教育出版社，2007年

6、教学参考书：北京大学数学系几何与代数教研室，高等代数第三版，高等教育出版社，2003年 二、课程的教学内容、重点和难点第一章 基本概念内容：本章介绍集合的概念、集合的表示与运算，映射、单射、满射、双射的概念及其关系与性质，第一、第二数学归纳法原理，数环与数域，以及整数的整除性。重点：集合、映射的概念，数学归纳法原理。难点：映射、单射、满射。第二章 多项式内容：多项式的概念、运算，多项式的带余除法，最大公因式、互素，不可约多项式，多项式的分解的存在唯一性定理，重因式、典型分解，多项式函数，复数域、实数域、有理数域上的多项式。重点：带余除法、多项式的互素、不可约多项式、多项式的分解的存在唯一性定理

7、、复数域、实数域上的不可约多项式的形式。难点：不可约多项式、多项式的分解的存在唯一性定理。第三章 行列式内容：线性方程组的概念，排列的性质，行列式的定义，行列式的性质，行列式的展开，行列式的计算与证明、行列式的应用。重点：（）理解行列式的定义；（）掌握行列式的性质；（）掌握行列式的展开；（）掌握行列式的计算与证明的一些方法。难点：行列式的定义，行列式的计算与证明。第四章 线性方程组内容：线性方程组与矩阵，线性方程组的初等变换与矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩，线性方程组的可解性的判定与求解，矩阵在行初等变换下化为阶梯形，线性方程组的公式解。重点：（）掌握线性方程组的初等变换与矩阵的初等变换；（

8、）准确理解矩阵的秩；（3）掌握线性方程组的解的确定与可解的判定；（4）掌握线性方程组的公式解。难点：线性方程组的初等变换与矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩在初等变换下不变。第五章 矩阵内容：矩阵的加法、数乘、乘法，初等矩阵的性质，可逆矩阵及其两种求法，矩阵的行列式，分块矩阵。重点：（）掌握初等矩阵的性质与作用；（）熟练掌握可逆矩阵的定义、性质及其判定；（）掌握矩阵的乘积的秩及其行列式。难点：初等矩阵的性质，可逆矩阵，矩阵分块。第六章 向量空间内容：向量空间的定义、例子，线性相关与线性无关，子空间的交与和，基、维数，坐标，同构，矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组解空间的结构，基础解系。重点：（）

9、准确理解向量空间的定义；（）熟练掌握向量组线性相关与线性无关，替换定理；（）熟练掌握向量空间的基、维数的定义、性质；（）理解坐标的意义，掌握过渡矩阵；（）明确矩阵的秩的几何意义；（）掌握齐次线性方程组的基础解系及其解空间的结构，会求线性方程组的特解与通解。难点：向量空间的定义，子空间的和，向量组线性相关与线性无关，过渡矩阵，齐次线性方程组的基础解系。第七章 线性变换内容：线性映射的定义，线性变换的运算及其形成的向量空间，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构，矩阵的相似，不变子空间，特征值、特征向量，特征子空间，特征多项式，可以对角化的矩阵的判定及对角化方法、意义。重点：（）线性变换的相关概

10、念、运算及其形成的向量空间；（）理解线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构；（）熟练掌握矩阵的相似及其意义；（）熟练掌握矩阵特征值、特征向量的概念与求法，特征多项式的性质；（）熟练掌握可以对角化的矩阵的判定；（）熟练掌握对角化方法。难点：线性变换的核，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构， 可以对角化的矩阵的判定，矩阵的对角化方法。第八章 欧氏空间内容：向量的内积的定义、性质，几类向量空间的内积，Cauchy不等式，正交基与正交化，正交变换与正交矩阵，对称变换与对称矩阵，酉空间、酉变换、酉矩阵。重点：（）掌握向量的内积的定义、性质，几类向量空间的内积，Cauchy不等式；（）掌握正交、正

11、交组、正交基、标准正交基的概念与性质，会将一个线性无关组正交化；（）熟练掌握正交变换与正交矩阵的概念、性质及其关系，三维空间中的几种正交变换：旋转、反射及其合成；（）掌握对称变换与对称矩阵的关系，对称矩阵的对角化。难点：向量的内积的定义，几类向量空间的内积的不同定义形式，线性无关组的正交化，正交变换与正交矩阵的关系。第九章 二次型内容：二次型的概念及与其矩阵的对应关系，矩阵的合同及其求法，对称矩阵合同于对角矩阵，复数域上的二次型的规范形、实数域上二次型的惯性定理、规范形、分类，正定二次型的判定，主轴问题，双线性函数。重点：（）掌握二次型的概念及与其矩阵的对应关系，对称矩阵合同于对角矩阵，矩阵的合同的求法；（）掌握复数域上的二次型的规范形；（）掌握实数域上二次型的惯性定理、规范形、分类；（）掌握顺序主子式，正定二次型的判定；（）对于实对