椭圆方程及性质的应用

1、椭圆方程及性质的应用一、选择题(每小题4分,共48分)1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为()A.(±13,0) B.(0,±10) C.(0,±13)D.(0,±)2.椭圆+=1与+=1(0<k<9)的关系为()A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率3.若椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.4.已知椭圆+=1及以下3个函数:f(x)=x;f(x)=sinx;f(x)=cosx,其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个

2、数有()A.1个B.2个C.3个D.0个5.设AB是椭圆+=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P99|+|F1B|的值是()A.98aB.99aC.100aD.101a6.椭圆+=1的离心率为,则k的值为()A.-21B.21 C.-或21D.或217.过椭圆+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点,则|AB|等于()A.4B.2C.1D.48.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的

3、公共点的个数为()A.1B.1或2 C.2D.09.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定10.已知椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,若直线OM的斜率为,则的值为()A.B.C.D.211.如果AB是椭圆+=1的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,则kAB·kOM的值为()A.e-1B.1-eC.e2-1D.1-e212.椭圆+=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为()A.B.C.D.-二、填空题(每小题4分,共20分)13.如图,F1

4、,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.14.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为.15.设AB是椭圆的长轴,点C在上,且CBA=,若AB=4,BC=,则的两个焦点之间的距离为.16.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为.19.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.三、解答题17.设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为,求

5、这个椭圆方程.18.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.19.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.20.已知离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(,1).(1)求椭圆的方程.(2)已知与圆x2+y2=相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A,B,O为坐标原点,求·的值.椭圆方程及性质的应用参考答案1【解析】选D.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且a=13,b=10,所以c

6、2=a2-b2=169-100=69,所以焦点坐标为(0,±).2【解析】选B.对于椭圆+=1(0<k<9),c2=(25-k)-(9-k)=16,焦点在y轴上,所以它们有相等的焦距.3【解析】选B.由椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,所以2×2b=2a+2c,即2b=a+c,所以5c2-3a2+2ac=0,等式两边同除以a2得5e2+2e-3=0,解得e=或e=-1(舍).4【解析】选B.我们知道:f(x)=x,f(x)=sinx都是奇函数,其图象关于原点对称,而椭圆+=1的图象也关于原点对称,故函数图象能等分该椭圆面积;而f(x)=cosx是偶函数,其图

7、象不关于原点对称,故f(x)=cosx的图象不能等分该椭圆面积.综上可知:只有满足条件.5【解析】选D.设F2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,|F1P49|=|F2P51|,因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.6【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,得c2=5-k,由=,得k=-;。当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5,由=,得k=21

8、.7【解析】选C.因为+y2=1中a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标F(,0),将x=代入+y2=1得,y=±,故|AB|=1.8【解析】选C.因为直线过定点(3,-1)且+<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.9【解析】选A.直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),且该点在椭圆内部,因此必与椭圆相交,故选A.10【解析】选A.设A(x1,y1),B (x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),由题意可得=,=-1因为A,B在椭圆上,所以m+n=1,m+n=1,两式相减可得m(x1-x2)(x1+x2)+n(y1-y

9、2)(y1+y2)=0所以=-,即-1=-,所以-1=-·,=.11.【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点差法,+=1,+=1,作差得=,所以kAB·kOM=·=e2-1.12.【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则-得+=0,又因为弦中点为M(-1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,所以+=0,所以k=.13.【解析】因为|OF2|=c,所以=c2=,所以c=2.又因为P点在椭圆上,且P(1,),所以+=1,所以+=1.又因为a2=b2+c2=4+b2,所以b2=2. 答案:214

10、.【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0).由得由a2=b2+c2,得b2=32.故椭圆的方程为:+=1. 答案:+=115.【解析】如图所示.以AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的坐标系.设D在AB上,且CDAB,AB=4,BC=,CBA=，CD=1,DB=1,AD=3，C(1,1)且2a=4,把C(1,1)代入椭圆标准方程得+=1,a2=b2+c2，b2=,c2=，2c=. 答案:16.【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+=x0

11、(x0+1)+3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2x02,所以当x0=2时,·取得最大值+2+3=6.答案:617.【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由=得a=2b,|PM|2=x2+=-3+4b2+3(-byb),若0<b<,则当y=-b时|PM|2最大,即=7,所以b=->,故矛盾.若b,则当y=-时,4b2+3=7,b2=1,从而a2=4.所求方程为+y2=1.18.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在PF1F

12、2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn4a2-3·=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).所以,即e.又0<e<1,所以e的取值范围是.(2)由(1)知mn=b2,所以=mnsin60°=b2,即PF1F2的面积只与短轴长有关.19.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得a+b=1,a+b=1. -,得a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而=kAB=-1,=kOC=,则b=a.又因为|AB|=|x2-x1|=|x2-x1|=2,

13、所以|x2-x1|=2.又由得(a+b)x2-2bx+b-1=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=-4·=4,将b=a代入,得a=,b=,所以所求的椭圆方程为+y2=1.【一题多解】由直线方程和椭圆方程联立,得得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=.因为|AB|=2,所以=1.设C(x,y),则x=,y=1-x=.因为OC的斜率为,所以=.代入,得a=,b=.所以椭圆方程为+y2=1.20【解析】(1)因为e=,又椭圆C过点M(,1),所以解得所以椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,