12-11-26高一数学《立体几何补充》(课件)

1、20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06立体几何补充立体几何补充20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06在平面内的一条直线，如果它和在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直么它也和这条斜线垂直1.1.三垂线定理三垂线定理20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06.,PAaPOAaOOAPOOAaaPOPO 平面平面又又证明：证明： POAa .:.,: PAaOAaPAOAPAPO 求求证

2、证且且内内的的射射影影在在平平面面是是斜斜线线的的垂垂线线和和分分别别是是平平面面已已知知 .:线斜垂直”线斜垂直”“线影垂直“线影垂直简记为简记为20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06说明：说明：1. 定理的实质是判定平面定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系直关系.,. 2PAaOAaaAPAOPO 推理模式：推理模式：20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06 在平面内的一条直线，如果和这在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也

3、和个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直这条斜线的射影垂直.2.2.三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理.,OAaAPaaAPAOPO 推理模式：推理模式：.:线影垂直”线影垂直”“线斜垂直“线斜垂直简记为简记为20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06 (1) 三垂线指三垂线指PA、PO、AO都都垂直垂直 内的直线内的直线a. 其实质是：斜线其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和和平面内一条直线垂直的判定和性质定理；性质定理； (2) 直线直线a必须在平面必须在平面 内内，并，并注意两定理交替使用注意两定理交替使用.注意：注意：20

4、122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 063.3.三棱锥有关结论：三棱锥有关结论：(1) 在三棱锥在三棱锥V-ABC中，如果中，如果VA=VB=VC，那么，那么V在底面在底面ABC内的射内的射影影O是底面是底面ABC的外心；的外心；(2) 在三棱锥在三棱锥V-ABC中，如果中，如果VA、VB、VC与底面所成角相等，那么与底面所成角相等，那么V在底在底面面ABC内的射影内的射影O是底面是底面ABC的外心；的外心；20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06(3) 在三棱锥在三棱锥V-ABC中，如果中，如果VA、VB

5、、VC两两互相垂直，那么两两互相垂直，那么V在底面在底面ABC内的射影内的射影O是底面是底面ABC的垂心；的垂心；(4) 在三棱锥在三棱锥V-ABC中，如果三侧面中，如果三侧面两两互相垂直，那么两两互相垂直，那么V在底面在底面ABC内的射内的射影影O是底面是底面ABC的垂心；的垂心；(5) 在三棱锥在三棱锥V-ABC中，如果三对相中，如果三对相对棱中有两对互相垂直，那么对棱中有两对互相垂直，那么V在底面在底面ABC内的射影内的射影O是底面是底面ABC的垂心；的垂心；20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06(6) 在三棱锥在三棱锥V-ABC中，如果顶

6、点中，如果顶点V到底面三角形三边所在直线的距离相等，到底面三角形三边所在直线的距离相等，且且V在底面在底面ABC内的射影内的射影O在在ABC内，内，那么那么O是底面是底面ABC的内心；的内心；(7) 在三棱锥在三棱锥V-ABC中，如果侧面与中，如果侧面与底面所成的二面角相等，且底面所成的二面角相等，且V在底面在底面ABC内的射影内的射影O在在ABC内，那么内，那么O是底面是底面ABC的内心的内心20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 064.4.最小角定理：最小角定理：斜线和平面所成的角，是斜线和它斜线和平面所成的角，是斜线和它在平面内的射影所成的锐角

7、，它是这条在平面内的射影所成的锐角，它是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成斜线和平面内经过斜足的一切直线所成角中最小的角。角中最小的角。20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 062121coscoscos:., 求证求证为为设设所成的角为所成的角为影影的射的射与与直线直线平面内一条平面内一条为为所成的角所成的角与平面与平面直线直线如图如图 AOCOBOAOCOA OCBA 20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06 从平面外一点向这个平面所引的垂从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中线段和斜线段中

8、：(1) 射影相等的两条斜线段相等，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；射影较长的斜线段也较长；(2) 相等的斜线段的射影相等，较相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；长的斜线段的射影也较长；(3) 垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短.5.5.射影定理：射影定理：20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06说明说明：射影定理中的三个结论成：射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到是从平面外同一点向平面所引而得到的，否则，结论不成立的

9、，否则，结论不成立.20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06 例例11 已知：点已知：点O是是ABC的垂心，的垂心，PO平面平面ABC，垂足为，垂足为O. 求证：求证：PABC.POACB20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06.:.,:的平分线上的平分线上在在求证求证且且于于于于内内在在已知已知BACO POPFPEFACPFEABPEPBAC 例例22 如果一个角所在平面外一点如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。面

10、内的射影在这个角的平分线上。APO BCEF20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06推广推广：经过一个角的顶点引这个：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线的射影是这个角的平分线所在直线.PABCO 20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06 例例33 在三棱锥在三棱锥PABC中，三条中，三条侧棱侧棱PA、PB、PC两两垂直，两两垂直，H是是ABC的垂心的垂心. 求

11、证：求证：(1) PH底面底面ABC；(2) ABC是锐角三是锐角三角形角形.HPABCE20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06 例例44 如图如图, 在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中, E、F分别是分别是AA1、A1D1的中点的中点, 求：求： (1) D1B与面与面AC所成角的余弦值；所成角的余弦值； (2) EF与面与面A1C1所成的角；所成的角； (3) EF与面与面AC所成的角所成的角.ADBCC1D1A1B1FE20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06 例例55 如图如图, RtABC的斜边的斜边AB在平面在平面 内内, AC和和BC与与 所成的所成的角分别是角分别是30、45, CD是斜边是斜边AB上的高上的高, 求求CD与与 所成的角所成的角.ACB D20122012年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06 例例66 AB是是RtABC的斜边，三的斜边，三个顶点在平面个顶点在平面 的同侧，它们在的同侧，它们在 内的内的射影分别是射影分别是A1、B1、C1，如果，如果A1B1C1是正三角形，且是正三角形，且AA1=3cm，BB1=5cm，CC1=4cm，求求A1