第8-9讲 矩形单元和6节点三角形单元

1、第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元第第4 4章章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元4.2矩形单元4.36节点三角形单元简介矩形单元讨论矩形单元讨论单元位移模式单元位移模式单元应力、应变单元应力、应变单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元简介单元简介面积坐标面积坐标4.1提高有限元求解精度的途径简单三角形单元缺点简单三角形单元缺点提高有限元求解精度的途径提高有限元求解精度的途径高精度单元的原理高精度单元的原理单元位移模式单元位移模式第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元4.1 4.1 提高有限元求解精度的途径提高有限元求解精度的途径三节点三角形单元精度低，收敛慢，在单元内不

2、能反映应力应变的变化。这是因为该单元只有3个节点，单元自由度少，单元位移模式只能是线性函数，描述单元内位移变化的能力差。一、简单三角形单元的缺点二、提高有限元求解精度的途径第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元三、建立高精度单元的原理和途径4.1 4.1 提高有限元求解精度的途径提高有限元求解精度的途径第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元4.2 4.2 矩形单元矩形单元一、矩形单元及其位移模式矩形单元边长分别为2a、2b。取4个顶点为节点。不失一般性地假设矩形的2个对称轴分别为x，y轴。每节点2个位移分量，因此单元共8个自由度。单元节点编号为 k，l，m，n单元节点位

3、移列阵为： Tnnmmllkkevuvuvuvu第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元单元内位移多项式设4项，为双线性多项式：xyayaxaavxyayaxaau87654321iinnmmllkkuNuNuNuNuNuiinnmmllkkvNvNvNvNvNv写成矩阵形式为： eNvu其中 为形函数矩阵 N4.2 4.2 矩形单元矩形单元通过节点坐标和节点位移代入，把广义坐标（多项式系数） 代换为节点位移分量后得到插值形式的位移函数：81 aa第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元 nmlknmlkNNNNNNNNN00000000各形函数为：)1)(1 (41)1)

4、(1 (41)1)(1 (41)1)(1 (41byaxNbyaxNbyaxNbyaxNnmlk形函数矩阵4.2 4.2 矩形单元矩形单元第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元由于边界平行于坐标轴，矩形单元位移模式沿单元边界（x，y方向）都是线性变化，沿其他方向则按2次函数变化。称为“双线性”位移函数。由于单元位移在单元边界上线性变化，而单元之间的公共边界上有2个公共节点，所以单元边界间的位移是连续的，单元满足协调性条件。和简单三角形单元一样，矩形单元位移模式中包含了完全一次多项式，所以满足完备性条件。因此矩形单元的收敛性得到保证。显然，上述形函数满足形函数性质。4.2 4.2 矩

5、形单元矩形单元第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元二、单元应变和应力 eexyyxBNxyyx00 ybxaybxaybxaybxaxaxaxaxaybybybybabB0000000041l 形函数矩阵经过微分算子矩阵作用后得到38应变矩阵：l 单元位移模式代入平面问题几何方程：4.2 4.2 矩形单元矩形单元第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元由平面问题物理方程（应力应变关系）得到： eeSBD对于矩形单元，其单元上应力、应变不再是常数，而是一定程度上呈线性变化，即：x方向正应变、正应力随y坐标线性变化；y方向正应变和正应力随x坐标线性变化。因此，在一定条件下，

6、精度会高一阶。4.2 4.2 矩形单元矩形单元 )(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)()()()()()()()()()()()()()()()()1 (42ybxaybxaybxaybxaxaybxaybxaybxaybxaybxaybxaybxaybabES第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元三、矩形单元刚度矩阵矩形单元刚度矩阵导出的原理和方法同简单三角形单元。计算式如下： hdxdyBDBkaaTbbe 可以通过积分计算出精确的刚度矩阵元素，见P51。4.2 4.2 矩形单元矩形单元第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元4.2 4.

7、2 矩形单元矩形单元第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元4.3 64.3 6节点三角形单元简介节点三角形单元简介 6节点三角形单元 2122111098726254321yxxyyxvyxxyyxu第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元4.3 64.3 6节点三角形单元简介节点三角形单元简介6161iiiiiivNvuNu第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元4.3 64.3 6节点三角形单元简介节点三角形单元简介三角形单元上的面积坐标AALAALAALjmjjiiAAAAAmji：为三角形面积，显然有第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元4.3 64.3 6节点三角形单元简介节点三角形单元简介)(21ycxbaALiiii）（mji,第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元yxcbacbacbaALLLmmmjjjiiimji1214.3 64.3 6节点三角形单元简介节点三角形单元简介mmjjiimmjjiiLyLyLyyLxLxLxxmjimjimjiLLLyyyxxxyx1111第四章第四章 平面问题高精度单元平面问题高精度单元4.3 64.3 6节点三角形单元简介节点三角形单元简介iiiLLN) 12(）（3 , 2 , 1i136325214444LLNLLNLLN第四章第四章 平