复杂网络上的传播动力学——阈值与全局稳定性分析

1、复杂网络上的传播动力学复杂网络上的传播动力学阈值与全局稳定性分析阈值与全局稳定性分析傅新楚傅新楚上海大学数学系，上海大学数学系，Based on collaborative works with:Based on collaborative works with:GuanrongGuanrong Chen and Chen and MengMeng Yang Yang随机图与复杂网络研讨会随机图与复杂网络研讨会2012年年5月月25-28日，华东师范大学日，华东师范大学目目 录录一一引言引言二二标准标准SISSIS模型及免疫策略模型及免疫策略三三复杂网络上带媒介的复杂网络上带媒介的SISSIS

2、模型及其地方病平衡点和模型及其地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性无病平衡点的全局稳定性四四复杂网络上一类修正的带媒介的复杂网络上一类修正的带媒介的SISSIS模型及其地方模型及其地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性病平衡点和无病平衡点的全局稳定性五五注记注记：复杂网络是由具有一定特征和功能的、相互关联及相互影响的基本单复杂网络是由具有一定特征和功能的、相互关联及相互影响的基本单元所构成的复杂集合体。在现实生活中，许多复杂问题都可用复杂网络来刻元所构成的复杂集合体。在现实生活中，许多复杂问题都可用复杂网络来刻画和建模。例如，流行病的传播与控制、计算机病毒在网络中的扩散、谣言画和建模。例如，流行

3、病的传播与控制、计算机病毒在网络中的扩散、谣言的流传、交通疏导等，都可以看作复杂网络上服从某种规律的传播行为。的流传、交通疏导等，都可以看作复杂网络上服从某种规律的传播行为。目前，关于复杂网络上流行病的传播与控制已有很多研究成果。在具有齐次目前，关于复杂网络上流行病的传播与控制已有很多研究成果。在具有齐次性质的复杂网络上，传染病的流行与否取决于流行病阈值。当传染率大于流性质的复杂网络上，传染病的流行与否取决于流行病阈值。当传染率大于流行病阈值时，随着时间的推移传染病会在总人口中占有一定的比例，反之，行病阈值时，随着时间的推移传染病会在总人口中占有一定的比例，反之，传染病最终会消失。而对于具有非

4、齐次性质的网络系统，人们一度认为，只传染病最终会消失。而对于具有非齐次性质的网络系统，人们一度认为，只要在初始时刻存在感染者，传染病会始终存在；但随后的研究表明，在一定要在初始时刻存在感染者，传染病会始终存在；但随后的研究表明，在一定更贴近现实的条件限制下，对于非齐次网络也存在正的流行病阈值（一般较更贴近现实的条件限制下，对于非齐次网络也存在正的流行病阈值（一般较小）。小）。本报告首先简单介绍研究的背景、进展及我们的主要工作；接着介绍标准本报告首先简单介绍研究的背景、进展及我们的主要工作；接着介绍标准SIS模型的动力学行为及免疫策略；然后讨论非齐次复杂网络上带传播媒介模型的动力学行为及免疫策略

5、；然后讨论非齐次复杂网络上带传播媒介的的SIS模型及其地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性；最后谈谈非齐次模型及其地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性；最后谈谈非齐次复杂网络上一类修正的带传播媒介的复杂网络上一类修正的带传播媒介的SIS模型，求出该模型的流行病阈值，模型，求出该模型的流行病阈值，并证明当感染率大于该阈值时，只要模型存在初始感染节点，模型就总存在并证明当感染率大于该阈值时，只要模型存在初始感染节点，模型就总存在唯一的正不动点，从而证明了该模型的传染过程的地方病平衡点和无病平衡唯一的正不动点，从而证明了该模型的传染过程的地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性。点的全局稳定性。近年来，

6、复杂网络上的传染病动力学研究，已取得近年来，复杂网络上的传染病动力学研究，已取得了丰硕成果了丰硕成果当传染率大于流行病阈值时，随着时间的推移传染当传染率大于流行病阈值时，随着时间的推移传染病会在总人口中占有一定的比例；反之，传染病最病会在总人口中占有一定的比例；反之，传染病最终会消失终会消失阈值与全局稳定性阈值与全局稳定性一、引言一、引言 本报告拟在我们近期研究结果的基础上，汇报：本报告拟在我们近期研究结果的基础上，汇报：1.1.复杂网络上带传播媒介的复杂网络上带传播媒介的SISSIS模型的地方病和无病平模型的地方病和无病平衡点的全局稳定性分析；衡点的全局稳定性分析；2.2.一类修正后的带传播

7、媒介的一类修正后的带传播媒介的SISSIS模型的地方病和无病模型的地方病和无病平衡点的全局稳定性问题。平衡点的全局稳定性问题。主要工作主要工作二、标准二、标准SISSIS模型及免疫策略模型及免疫策略那么可知：那么可知：根据平均场理论，可得模型如下：根据平均场理论，可得模型如下： 其中：其中：1kkSI(t)+(t)( )1( )( )( )kkkdtIktttIIdt1( )( )( )ktkp ktIk易感者（S）感染者（I）传染概率恢复概率根据动力学稳定性理论，考虑如下平衡：根据动力学稳定性理论，考虑如下平衡： 那么可得：那么可得： 于是可得自洽方程：于是可得自洽方程： 那么当且仅当：那么

8、当且仅当： 计算可得阈值为：计算可得阈值为：( )0kdtIdt( )1kktIk2( )()1p kkfkk ()1|0dfd2ckk几类免疫策略几类免疫策略随机免疫随机免疫：随机免疫就是完全随机地选取网络中的：随机免疫就是完全随机地选取网络中的一部分节点机型免疫，那么可建立下列模型：一部分节点机型免疫，那么可建立下列模型： 其中其中: : 表示免疫率，表示免疫率， 易知：易知：01( )(1)1( ) ( )( )kkkdtIktttIIdt2(1)kck1cc目标免疫目标免疫：选取少量度大的节点进行免疫，也就是对那些与：选取少量度大的节点进行免疫，也就是对那些与周围联系较为紧密的节点进行

9、免疫。那么可以建立下列模型：周围联系较为紧密的节点进行免疫。那么可以建立下列模型： 其中：其中： 那么可得：那么可得： 易证得：易证得：( )(1)1( ) ( )( )kkkkdtIktttIIdt1,0 ,kkc kk22ckkkkcc熟人免疫熟人免疫：从网络中选取一定比例的节点，再从每个被选中：从网络中选取一定比例的节点，再从每个被选中的节点中随机选择一个邻居节点进行免疫，可以建立下列模的节点中随机选择一个邻居节点进行免疫，可以建立下列模型：型： 其中，令：其中，令： 易得：易得：( )(1)1( ) ( )( )kkkkdtIktttIIdt( )( )kkp kppNkp kN kk

10、23( )ckpp kkkkcc主动免疫主动免疫：选择一定比例的感染节点，再对这些节点的度大于：选择一定比例的感染节点，再对这些节点的度大于指定值的邻居节点进行免疫，可建立下列模型：指定值的邻居节点进行免疫，可建立下列模型： 其中，令：其中，令： 易得：易得：( )1( ) ( )(1)( )kkkkdtIktttIIdt( )kkkkkp kkk2kckkk2kcckk三、复杂网络上带传播媒介的三、复杂网络上带传播媒介的SISSIS模型的全模型的全局稳定性分析局稳定性分析 非齐次网络上带媒介的非齐次网络上带媒介的SISSIS模型包括三种状态：易模型包括三种状态：易感者、感染者、传播媒介。感者

11、、感染者、传播媒介。根据平均场理论可得模型如下：根据平均场理论可得模型如下：12( )( )1( )( )1( ) ( )( )( )1( )( )kkkkdtItkttttIIIdtdttttdt 类似可知其自洽方程为：类似可知其自洽方程为： 易知其阈值为：易知其阈值为：2122221221( )( )1kktkfkkk 122(1)ckk 地方病平衡点的稳定性地方病平衡点的稳定性k 0(0) 1 ( )(0) 00(0) 1(t)0( ) 10( ) 10( ) 1.kkkkkp kIIVIttV tI引理一：假设初始时刻，度为 的感染者所占的密度满足且 ，传播媒介在全体媒介中所占比例满足

12、，那么对于任意的t0,模型的解满足， ， 3120(0)1( )(0)0( ),lim,kkkp kIIkkctIIIIIInt。定理：设满足那么当时，有其中是模型的非零不动点liminf( ) limsup( )kkkkttluIItt引理命题一命题二inf( )0,inf( )0 inf( )0.0000(0)1( )(0)0,kkckttV tItttkp kII，命题二：若满足那么当时，有lim suplim inf,t,kkkkkluIIttI则命题一：设模型的解 （ ）满足1122lim s u p( )111()1221122lim in f( )111()122kkkukktI

13、ktkkkkuukkkkkkklkktIktkkkkllkkkk 无病平衡点的稳定性无病平衡点的稳定性0(0 )1()(0 )0 ,kpkIIkkc定 理 ： 设 若满 足那 么 当时 ，无 病 平 衡 点 全 局 渐 进 稳 定 。()()(1)0(2)lim() /0,(3)0,(),(4)()0,(5)0=|() =00dyAyHydtnAnnHyDRCDCHyyyTyCyyAHyyGHyy 引 理 ： 对 于 系 统其 中 ，是矩 阵 ， 且在上 是 连 续 可 微 的 。 假 设紧 的 凸 集关 于 系 统 是 正 不 变 的 ， 且，存 在和的 特 征 向 量， 使 得 对 于 任

14、 意 的有对 于 任 意 的 yC,有 ()是 系 统 在yC上 最 大 的 正 不 变 集 ，那 么 可 知是 全 局 渐 0 ,0( ,)lim inf( ,),0000,0 .CyttmmyyytyCyy 进 稳 定 的 ， 或 者 对 于 任 意 的系 统 的 解满 足此 处且 与无 关 。此 外 系 统 存 在 一 个 常 数 解四、一类修正的带媒介的四、一类修正的带媒介的SISSIS模型及其免疫策略模型及其免疫策略及其地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性及其地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性根据平均场理论，可得到模型：根据平均场理论，可得到模型：可以计算知其阈值为：可以计算知其阈

15、值为：12( )( )1( ) ( )1( ) ( )( )( )1( ) ( )kkkkdtItkttttIIIdtdttttdt 1222212(1)()kckkk 地方病平衡点的稳定性地方病平衡点的稳定性k 0(0) 1 ( )(0) 00(0) 1(t)0( ) 10( ) 10( ) 10( ) 1.kkkkkp kIIVItttV tI引理一：假设初始时刻，度为 的感染者所占的密度满足且 ，传播媒介在全体媒介中所占比例满足，那么对于任意的t 0,模型的解满足， ， ， 3120(0)1( )(0)00(0)1( ),lim,kkckknkp kIIVtIII IIIt。定理：假设在

16、初始时刻，度为k的感染者所占比例满足且传播媒介在全体媒介中所占的比例满足,那么当时，系统的解有其中是模型的非零不动点inf( )0,inf( )0 inf( )0,inf( )0.00000(0)1( )(0)0,kkckttV ttIttttkp kII，命题二：若满足那么当时，有limsupliminf,0,0t,kkkkkkkluIIttluI且，那么命题一：设模型的解 （ ）满足111 22lim sup( )11121 22111 22lim inf( )11121 22kkkkuuukkkkktIktkkkkuuuukkkkkkkkkklllkkkkktIktkkkkllllkkkkkk 无病平衡点的稳定性无病平衡点的稳定性0(0)1( )(0) 0