函数模型课件

1、例例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一方案一：每天回报：每天回报40元；元；方方案二案二：第一天回报：第一天回报10元，以后每天比前元，以后每天比前 一天多回报一天多回报10元；元；方案三方案三：第一天回报：第一天回报0.4元，以后每天的回元，以后每天的回 报比前报比前 一天翻一番。一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？请问，你会选择哪种投资方案呢？投资方案选择原则：投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优投入资金相同，回报量多者为优(1) 比较三种方案每天回

2、报量比较三种方案每天回报量(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。最多，我们就在那段时间选择该方案。 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。供依据。解：设第解：设第x天所得回报为天所得回报为y元，则元，则 方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元； y=40 (xN*)方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前一

3、天多回元，以后每天比前一天多回 报报10元；元； y=10 x (xN*)方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前元，以后每天的回报比前一天翻一番。一天翻一番。 y=0.42x-1 (xN*)x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.230

4、40030010214748364.8107374182.4图112-1从每天的回报量来看：从每天的回报量来看： 第第14天，方案一最多：天，方案一最多： 每每58天，方案二最多：天，方案二最多： 第第9天以后，方案三最多；天以后，方案三最多；有人认为投资有人认为投资14天选择方案一；天选择方案一；58天选择方案二；天选择方案二；9天以后选择方案天以后选择方案三？三？累计回报数：累计回报数：81940920410250.8251262.81.20.4三三660550450360280210150100603010二二4404003603202802402001601208040一一111098

5、7654321天数天数回报回报/元元方案方案327616389107805204801312 方案一方案一方案二方案二方案三方案三 投资投资8天以下（不含天以下（不含8天），应选择天），应选择第一种投资方案；投资第一种投资方案；投资810天，应选择天，应选择第二种投资方案；投资第二种投资方案；投资11天（含天（含11天）天）以上，应选择第三种投资方案。以上，应选择第三种投资方案。 由表由表-1和图和图-1可知，方案一的函数是常数函数，可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。可以的函数

6、与方案二的函数的增长情况很不同。可以看到，尽管方案一、方案二在第看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分天所得回报分别是方案三的别是方案三的100倍和倍和25倍，但它们的增长量是倍，但它们的增长量是成倍增加的，从第成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所案二所 无法企及的，从每天所得回报看，在第无法企及的，从每天所得回报看，在第14天，方案一最多，在天，方案一最多，在58天，方案二最多；第天，方案二最多；第9天开始天开始 ，方案三比其他两个方案所得回报多得，方案三比其他两个方案

7、所得回报多得多，到第多，到第30天，所得回报已超过天，所得回报已超过2亿元。亿元。解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：实际问题实际问题读懂问题读懂问题抽象概括抽象概括数学问题数学问题演算演算推理推理数学问题的解数学问题的解还原说明还原说明实际问题的解实际问题的解例例2、某公司为了实现、某公司为了实现1000万元利润的万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到励方案：在销售利润达到10万元时，按万元时，按销售利润进行奖励，且资金销售利润进行奖励，且资金y(单位：万单位：万元元)随着销售利润随着销售利润x (单位：万元单位：万元)的增加

8、的增加而增加，但资金数不超过而增加，但资金数不超过5万元，同时万元，同时奖金不超过利润的奖金不超过利润的25%。现有三个奖励。现有三个奖励模型：模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？其中哪个模型能符合公司的要求呢？例例 2、某公司为了实现、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，万元时，按销售利润进行奖励，且奖金按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元单位：万元)随销售利润随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但资金

9、总数不超过（单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过5万元，万元，同时奖金总数不超过利润的同时奖金总数不超过利润的25%,现有三个奖励模型：现有三个奖励模型：其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪个模型能符合公司的要求？,002. 1 1log 25. 07xyxyxy，分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，x奖金总数不超过奖金总数不超过5万元，万元， 由于公司总由于公司总的利润目标为的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润。利润。同时奖金不超过

10、利润的同时奖金不超过利润的25%， 于是，只需在区间于是，只需在区间10,1000上，检验三个模型是否符合公上，检验三个模型是否符合公司要求即可。司要求即可。 不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果。再通过具体计算，确认结果。(图略）图略）(1)、由函数图象可以看出，、由函数图象可以看出，它在区间它在区间10,1000上递增，上递增，而且当而且当x=1000时，时，y=log71000+14.555,所所以它符合资金不超过以它符合资金不超过5万元的要万元的要求。求。模型模型y=log7x+1(2)、再

11、计算按模型、再计算按模型y=log7x+1奖励时，资金是否不超奖励时，资金是否不超过利润的过利润的25%，即当，即当x 10,1000时，是否有时，是否有25.01log7xxxy成立。成立。令令f(x)= log7x+1-0.25x， x 10,1000.利用计利用计算机作出函数算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的图象，由图象可知它是递减的，因此的，因此 f(x)f(10) -0.31670,即即 log7x+11)和幂函数和幂函数y=xn (n0)，通过探索可以发，通过探索可以发现：现：在区间在区间(0,+)上，无论上，无论n比比a大多少，大多少，尽管在尽管在x的一定范围内，的

12、一定范围内，ax会小会小xn，但由于但由于ax的增长快于的增长快于xn的增长，因的增长，因此总存在一个此总存在一个x0，当，当xx0时，就会时，就会有有axxn.18161412108642-2-4-55101520h(x)=lo g2xg x xf x 2O结论结论2：一般地，对于对数函数一般地，对于对数函数y=logax (a1)和幂函数和幂函数y=xn (n0)，通过探索可，通过探索可以发现：以发现：在区间在区间(0,+)上，随着上，随着x的增大，的增大，logax增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在轴平行一样。尽管在x的一定变化范围的

13、一定变化范围内，内， logax可能会大于可能会大于xn，但由于，但由于logax的增长慢于的增长慢于xn的增长，因此总存在一个的增长，因此总存在一个x0，当，当xx0时，就会有时，就会有logax1)，y=logax (a1)和和y=xn (n0)都是增函数。都是增函数。(2)、随着、随着x的增大，的增大， y=ax (a1)的增长速度越来越的增长速度越来越快，会远远大于快，会远远大于y=xn (n0)的增长速度。的增长速度。(3)、随着、随着x的增大，的增大， y=logax (a1)的增长速度越来的增长速度越来越慢，会远远小于越慢，会远远小于y=xn (n0)的增长速度。的增长速度。总存在一个总存在一个x0，当，当xx0时，就有时，就有logaxxnax例例1 同一坐标系中，函数同一坐标系中，函数yx27和和y2x的图象的图象如图如图.试比较试比较x27与与2x的的大小大小.5040302010510yx27y2xxyO例例2 已知函数已知函数yx2和和ylog2(x1)的图象的图象如图，试比较如图，试比较x2与与log2(x1)的大小的大小.4321-124xyOyx2ylog2(x1)1、四个变量 随变量 变化的数据如下表：43,21,yyyyx1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305