电路理论_(7)

1、1第第 七章七章 二阶电路二阶电路本章主要内容：本章主要内容：讨论用经典法分析二阶电路过渡过程的方法 涉及：涉及：二阶动态电路零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应、冲击响应等概念二阶电路二阶电路用二阶微分方程描述的动态电路RLC串联电路和 GLC并联电路是最简单的二阶电路分析二阶电路应给定两个初始条件，均由储能元件初始值确定。27-1 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应没有外激励，由电路动态元件的初始值初始值引起的响应0LRCuuuKVL方程：电路22dtudLCdtdiLudtduRCRiudtduCiCLCRC，由于：为线性常系数二阶齐次微分方程022CCCudtduRCdtud

2、LC得：t0时开关S闭合3022CCCudtduRCdtudLC代入方程，得到相应的特征方程：LCp2+RCp+1=0ptCAeu 设：LCLRLRp1)2(2:2特征根为兼顾 p的两个值，电压 uC 为：tptpCeAeAu2121LCLRLRpLCLRLRp1)2(21)2(2:2221，其中显然特征根p1、 p2仅与电路参数和结构有关初始条件：uc(0+)= uc(0-)=U0 及 i(0+)= i(0-)=I0 CIdtdudtduCitCC00，所以：并且：4tptpCeAeAu2121将uc(0+)= U0 ，i(0+)= I0 及 代入上式得：CIdtdutC00021UAACI

3、ApAp02211在U0 0，I0= 0 的情况下，解得：1201212021ppUpAppUpA，)(21211212012011202tptptptpCepepppUeppUpeppUpu所以：LCLRLRpLCLRLRp1)2(21)2(2:2221，其中对于R、L、C不同的参数，特征根可能为： (1)两个不等的负实根；(2)一对实部为负的共轭复根；(3)一对相等的负实根。5，非振荡放电过程CLR2)()()(212112012210tptptptpCeeppLUeeppppCUdtduCi电流LCpp121这里：)(2112120tptpCepepppUu特征根为两个不等的负实根)(2

4、121120tptpLepepppUdtdiLu电感电压：（也称为过阻尼电路）LCLRLRpLCLRLRp1)2(21)2(22221，1、6非振荡放电过程中uC 、 uL 、 i 随时间变化的过程过阻尼放电imax2121)ln(ppppttm当电流达到最大值，且电感电压过零t tm, 电感释放能量，磁场衰减)(2112120tptpCepepppUu)()(21120tptpeeppLUi)(2121120tptpLepepppUu7例：例：7-1在电路中，US =10V，C =1F，R =4k，L=1H，开关S在 t = 0 时，由“1”合向“2”。求：(1) uC 、 uR 、i 和u

5、L ； (2) imax 。仿真p1618，振荡放电过程CLR2LCLRLRpLCLRLRp1221222221)()(，特征根为一对共轭复数：jpjp21，121222jLRLCLR;)(; 其中：且有关系： arctan；220sincos00；（也称为欠阻尼电路）2、jejjp001)sin(cosjejp02有：9sincossincosjejejj利用欧拉公式：jeexjxjx2sin；2cosjxjxeex或：)(tptpCepepppUu2112120代入：)sin()()()()( teUjeeeUeeeejUuttjtjttjjtjjC000000022得： jpjp21，将

6、：10)sin(00teUutC)sin()()(012021teLUeeppLUdtduCittptpC)sin()()( teUeeppUdtdiLuttptpL0012021且有关系： arctan；220sincos00；121222jLRLCLR;)(; 其中：时，电路响应为则：CLR211；)sin(00teUutC)sin(00teUutL)sin( teLUit 0 其中uC 、 i 、uL的波形为衰减振荡状态。储能元件周期性地交换能量。(1) t=k, k=0,1,2， 为i 过零(2) t=k+, k=0,1,2，为uL过零，且为i 的极值点(3) t=k-, k=0,1,

7、2， 为uC过零点120V124VR21U1TOPEN = 412C10.5R12L11 例：二阶电路仿真仿真E8-713例：例：7-2强大的脉冲电流可以由RLC放电电路产生。若已知U0=15kV，C=1700F，R=610-4，L= 610-9H求：(1) i(t) (2) i(t)何时达到极大值？ 求 imax。U014，临界情况CLR2特征根为一对重根：LRpp221tCetAAu)(21初始条件：uc(0+)= uc(0-)=U0 及i(0+)= i(0-)=0 000CIdtdutC且：0201UAUA，解得：的通解为：022CCCudtduRCdtudLC；所以：tCetUu)1

8、(0)1 (0teUdtdiLutLtCteLUdtduCi0显然，uC 、 i 、uL的波形为非振荡衰减状态，是振荡与非振荡的分界线，也称为临界非振荡过程。称为临界电阻CLR2大于临界电阻的电路为过阻尼电路小于临界电阻的电路为欠阻尼电路3、157-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应二阶电路的零状态响应和阶跃响应一、零状态响应一、零状态响应初始状态为零仅由外激励引起的响应GLC并联电路t0时开关S打开SLGCiiiiKCL方程：电路为线性常系数二阶非齐次微分方程SLCLiidtduGLdtidLC22方程的解为特解和对应齐次方程的通解组成，即：LLLiii 这里特解 为稳态值iL()，通解 与

9、零输入相应的形式相同。由初始条件确定积分常数，即可得到全解。LiLi 16二阶电路具有初始储能，又接有外激励，则为全响应。全响应是零输入响应和零状态相应的叠加。二、阶跃响应二、阶跃响应二阶电路在阶跃激励下的零状态响应为二阶电路的阶跃响应。求解方法与零状态响应相同。17例：例：7-4电路如图，uC(0-)=0， iL(0-)=0，G=210-3S，C=1F，L=1H，iS=1A，t =0时开关S打开。求：阶跃响应iL 、 uC 、 iC下面通过例7-4说明二阶电路阶跃响应的分析计算SLCLiidtduGLdtidLC22电路微分方程：方程的解为特解和对应齐次方程的通解组成，即：LLLiii 特征

10、方程：LCp2+GLp+1=0LCCGCGp122221)(,特征根：本题 p1= p2 = p = -10318AiiiSLL1)(AetAAiptL)(21 所以：AetAAitL)(310211通解：t=0+ 时的初始值iL(0+) = iL(0-) = 0，00101010)()()()(CCLLuLuLuLdtdi而代入初始条件，得： A1 = -1，-103A1+A2=0，即：A1 = -1，A2= -103AtetitL)()( 31031011VttedtdiLutLC)( 310610AtetdtduCitCC)()( 3103101求得阶跃响应为：19(a)(b)(c)iL

11、 、 uC 、 iC 的波形其过渡过程为临界阻尼情况，属于非振荡性质。207-3 二阶电路的冲击响应二阶电路的冲击响应零状态的二阶电路在冲击函数激励下的响应)(22tudtduRCdtudLCKVLCCC方程：电路uC(0-)=0， iL(0-)=0t = 0时与冲激电压(t)接通由于电路受冲击电压作用，当t0时，(t)=0，且t0+时有：022CCCudtduRCdtudLC由电路受冲击函数激励的特点，求出初始条件 uC(0+) ， iL(0+)21)(22tudtduRCdtudLCCCC对下式在 t=0- 到0+ 区间积分1)0()0(0000dtuuuRCdtdudtduLCCCCtCtC得：由于uC(t)不可能是阶跃函数或冲击函数，所以LCdtdudtduLCtCtC1100，即：LdtduCitC1)0(0而：由于冲击电压的作用，使电感电流跃变，电感中储存了磁场能，所以冲击响应就是由电感磁场能引起的变换过程。22t 0+时：022CCCudtduRCdtudLCtptpCeAeAu2121其解的形式：LCLRLRpLCLRLRp1)2(21)2(2:2221，其中)()(12