第10章 单一指数模型

1、单一指数模型基础单一指数模型基础1 1资产和资产组合的期望收益与风险资产和资产组合的期望收益与风险2 2第第十十章章 单一单一指数模型指数模型单一指数模型的应用单一指数模型的应用3 3一、市场价格运动对建立模型的启发造成资产价格波动的信息是多种多样的,每种个别资产价格会因信息出现的时间、性质的不同,而导致价格波动的幅度、方向和时间各不相同。不过,从宏观上看,当整个市场处于低迷状态的时候,市场中的个别资产价格也大多处于下降趋势;而当整个市场处于牛市状态的时候,市场中的个别资产价格也大多呈上升状态。由此可见,在个别资产价格波动与市场总体价格波动之间存在着一定的关系。正是基于对市场价格运动规律的这种

2、观察结果,夏普提出了简化马柯维茨模型的方法,建立和发展了单一指数模型。1.单一指数模型的基本假设单一指数模型的基本假设就是,影响资产价格波动的主要共同因素是市场总体价格水平(通常以某一市场指数代表,例如上海证券交易所上市股票的价格波动时,一般以上证综合指数代表市场总体价格水平),资产价格波动之间的相互关系可以通过各资产与这一共同因素之间的相互关系反映出来。这种间接的反映虽然不如直接计算各资产间的协方差那么准确,但结果还是可靠的,关键是计算量因此而大大降低了,从而使之现实可用。图101反映了在一段时间内某资产A的收益率与市场收益率之间的关系,单一指数模型假设二者之间存在线性关系。处在各点之间的直

3、线被称为特征线,是利用回归分析方法估算出来的,反映市场收益率与资产A收益率之间的因果关系。如果我们以表示直线的截距,反映资产收益中独立于市场波动的部分;以表示直线的斜率,反映资产A的收益率对市场收益率变动的敏感度,则这条反映资产A的收益率和市场收益率关系的特征线的数学表达式如下:二、单一指数模型的假设 图101 资产A的收益率与市场收益率之间的关系但是, 是资产A收益率的估计值而不是实际值,主要反映了市场收益率变动的结果,而没有反映其他因素变动的影响,这使得 与资产A的实际收益率rA之间必然会有偏差。为了全面反映影响资产收益率波动的原因,又不至于改变建立模型假设的初衷,我们可以用误差项A代表所

4、有没有被我们在特征线方程中考虑进去的影响资产A收益率的各种因素以及我们假设rA与rm存在线性关系为错误时产生的误差。这样,我们便可以把特征线的方程式修正为:rA=A+Arm+A2.对影响收益波动因素的假设单一指数模型影响资产收益率波动的因素有两类:宏观因素和微观因素。宏观因素影响市场全局,如利率的调整、通货膨胀率的变动等,会引起市场价格水平总体的涨落,进而带动绝大部分资产的价格变动,属于系统风险。个别资产价格变动相对于市场价格总体水平波动的程度取决于个别资产价格相对于市场价格变动的敏感度,即该资产的值。值越大,敏感度越高。值大于1表示资产波动幅度大于市场波动幅度,资产价格对市场变动的敏感度强;

5、值小于1则相反,如值等于0.7,表示市场收益率每涨落1个单位,该资产收益率涨落0.7个单位,该资产收益率的涨落幅度小于市场收益率的涨落幅度。微观因素被假定只对个别企业有影响,对其他企业一般没有影响,是个别企业特有的风险,或称为非系统风险。由企业微观因素造成的使企业资产价格高于或低于市场价格水平的价格波动,在方程式中是用收益误差项表示的,在rA与rm坐标图上反映为资产收益率的实际值与特征线之间的差距A。3.对误差项A的假设(1)E(A)=0。从特征线所在的坐标图上不难看出,A是随机变量rA与rm的实际值与预期值之间的离差,随机变量离差的数学期望是零。(2)cov(A,rA)=0,即假设误差项与市

6、场收益率无关。由于A与rm分别受宏观因素和微观因素的影响,两者互不相关,无论市场收益率发生多大的变动,都不会对A产生影响。(3)cov(A,B)=0,即不同资产的误差项互不相关。单一指数模型的最基本假设就是各种资产的收益率变动都只受市场共同因素的影响,误差项反映的是一个企业特有的风险,与其他企业无关。1.资产的期望收益按照单一指数模型对资产期望收益决定因素的假设,资产A的期望收益可表述为:E(rA)=E(A+Arm+A)=E(A)+E(Arm)+E(A)=A+AE(rm)它表明,个别资产的期望收益率的变动主要受市场期望收益变动的影响,所受影响的大小取决于其对市场收益率波动的敏感度,即值的大小。

7、2.资产的方差资产方差的计算也是通过将单一指数模型的基本假设代入计算方差的标准公式推导出来的。公式为:E(rA)=ErA-E(rA)2=E(A+Arm+A)-A+AE(rm)2一、单个资产收益和风险的计算经展开推导,结果为:这一计算公式表明,资产A的风险是由两部分组成的: 是市场风险,或称系统风险; 是企业特有的风险,或称非系统风险。系统风险对所有资产都会产生影响,无法靠多样化投资来回避;非系统风险则是企业特有的,与其他企业无关,可以靠多样化投资来分散。3.资产间的协方差同上,我们还可以推导出单一指数模型计算资产A和B之间的协方差的公式:可见,在单一指数模型中,资产之间的相互关系是通过它们各自

8、与市场之间的相互关系综合反映出来的。计算两个资产的协方差,只要计算市场方差和各个资产的值就可以了。资产组合每增加一项资产,只需增加计算该种资产的值就可以计算出协方差。1.资产组合的期望收益计算资产组合期望收益就是将资产期望收益的计算公式代入计算资产组合期望收益的标准公式后进行展开推导。公式为: 二、资产组合的收益和风险的确定 如果定义 xii=Ap, xii=p,就可以把资产组合的期望收益表示为:E(rp)=Ap+pE(rm)2.资产组合的方差在单一指数模型中,资产组合方差的计算公式和单个资产方差的计算公式类似:已知p= xii,根据马柯维茨模型中方差的计算公式,资产组合误差项的方差可计算如下

9、: xixjcov(i,j)由于在单一指数模型中假设任何资产的误差值变动互不相关,即cov(A,B)=0,因此,资产组合误差项的方差便是各资产误差项的加权平均值,即单一指数模型被广泛用来估计马柯维茨模型要计算的资产组合的方差。但是,由于单一指数模型为简化计算作了一些假设,这必然会导致由此计算出的方差值与马柯维茨模型计算出的方差值之间存在差异。清楚地认识这种偏差,对于我们合理运用单一指数模型的方差值是十分重要的。一、单一指数模型的假设给方差估计带来的偏差可见,用单一指数模型计算的资产组合方差的估计值与真实值之间的差异取决于 xixjcov(i,j)。单一指数模型假设cov(i,j)=0,因此如果

10、实际情况是各资产误差项为正相关,单一指数模型就会低估资产组合的方差;反之,则会高估。特有风险,而各资产的误差项是互不相关的,那么,资产组合误差项的方差与资产组合数量之间的关系是否也像前面论证的资产组合方差与资产数量的关系一样呢?来看一下公式的推导。假设资产组合中各资产权数相同,即x1=x2=xn= ,则这样,当N时, 将趋于0。这时,资产组合的方差就主要依市场收益率的波动而定,两者联动性的大小取决于资产组合的值,即二、多样化对资产组合风险影响的再考虑也就是说,当投资种类非常多的时候,资产组合的风险将主要来自市场,非系统风险将会非常低。换句话说,单一指数模型表明,多样化可以有效降低非系统风险,但

11、无法规避系统风险。这一结论与马柯维茨模型的推论是一致的,只是更具体而已(见图102)。图102多样化降低风险的再考虑根据单一指数模型,某种给定股票的收益率与两个因素有关:指数的百分比变动和与公司特定事件有关的变动。指数可以使用任一与证券收益率相联系的变量,如通货膨胀率或标准普尔500指数。单一指数假定某种资产i的收益率由下式给出:Ri=i+iI+ei式中:Ri为资产i的收益率;I为某种指数的百分比变动,这对所有的股票都是相同的;ei为与公司特定事件相联系的资产i的收益率变动。在资本资产定价模型中,系数是与市场证券组合相联系的,因此,I为市场证券组合的百分比变动。与资本资产定价模型中的一样,单一

12、指数模型中的系数是衡量资产i的收益率对指数I变动的敏感性指标。单一指数模型中的系数可以用公式表示为:三、关于值的预测能力问题 图103中的直线截距为i,斜率为i。如果所有的点Ri都恰好落在这条线上,那么所有的偏离度ei都为零。然而,一般地,某些点会落在直线上方,某些点又会落在直线下方,因此,偏离度既可能为正值,也可能为负值。图103 单一指数模型的应用单一指数模型中的值是利用收益率的历史数据估算出来的,由于值常常被人们用来作为投资决策的依据,因此,一个很重要的问题便是,用历史的值来预测未来的可靠性有多大。1971年3月布鲁梅专门研究了这个问题。他采集了19261968年间纽约证券交易所上市公司所有普通股的月收益率值,同时把19261968年分成6个时间段,分别计算每一时间段的各种股票的值;然后,随机选择股票逐一计算1种至100种股票的资产组合的值;最后,计算两个相邻时间段各资产组合值的相关系数。其中,19541961年和19611968年这两段时间各资产组合值的相关系数如表101所示。资产组合中的资产数量相关系数