电子仪器测量第二章

1、第二章 误差与不确定度研究误差理论的目的： 分析原因，识别性质，尽量减少误差。第一：误差的基本概念例如：某个5号电池，标称电压1.5V，真值是多少？实际值：实际测量中常把高一等级的计量标准测得的值称为实际值。实际值实际值约定真值约定真值误差=测量值真值例如：测量足球场的长度与测量长沙到株洲的距离，若误差都是1m， 测量的准确程度是否相同。绝对误差绝对误差相对误差相对误差示值相对误差示值相对误差满度相对误差满度相对误差%100 xxrx%100mmmxxr%S分析：分析：测量点的最大相对误差？例1：被测量的电流大约是100mAx A现有两款电流表供选择，第一款：0.5级，量程是0400mA 第二

2、款：1.5级，量程是0100mA练习：练习：你觉得选择那一款更好？你觉得选择那一款更好？例例2 2：P16P16例例2.32.3。第二：误差的分类与测量结果的表征：第二：误差的分类与测量结果的表征：不可预定方式变化的误差；表明测量结果的分散性；随机误差（随差）i系统误差（系差）粗大误差0Ax xxiixix1x2x按一定规律变化的误差；表明测量结果偏离真值的程度；ix0A1x2x第三：误差的处理1、随机误差的处理例3：设对某参数进行测量，测量数据为1464.3，1461.7，1462.9，1463.4，1464.6，1462.7，试求置信概率为95%的情况下，该参量的置信区间。讨论的问题：（1

3、）置信问题的讨论，首先知道值的分布？（2）误差的分析对象？随机误差随机误差（1）概率统计的方法所分析的对象？（2）分析对象所具备的物理意义？（1）测量结果置信度的分析？u)(xsx)(xsnxsxs)()(物理意义分析：物理意义分析：测量结果的置信度分析：测量结果的置信度分析：正态分布下的置信度：在这个区间在这个区间内置信度？内置信度？从概率论的角度分析区间所选的范围是 xk从测量的角度分析 xks所以，置信区间为所以，置信区间为 xksx 测量次数较少，则随机误差不服从正态分布，怎么办？测量次数较少，则随机误差不服从正态分布，怎么办？t t分布分布 xtsx 总结：总结： xtsxxsxsx

4、解：因为测量次数小于20，所以测量值服从t分布，第一步：求算术平均值及标准偏差估值3 .1463)7 . 26 . 44 . 39 . 27 . 13 . 4(61146061ix次数123456x1464.31461.71462.91463.41464.61462.7残差1.0-1.6-0.40.11.3-0.6标准偏差估值612)(51)(ixxixs61222222)6 . 0(3 . 11 . 0)4 . 0()6 . 1(0 . 1 51i07. 14 . 0607. 16)()(xsxs算术平均值标准偏差估值)(),(xtsxxtsx0 . 14 . 0571. 2)(xts第二步

5、：查附录B：t分布表，由n1=5及P=0.95，查得t=2.571第三步： 估计该参量的置信区间则在95%的置信概率下，电感L的置信区间为1462.3，1464.3。 2 2、粗大误差的处理、粗大误差的处理粗大误差无规律可循，故必须当作坏值予以剔除。粗大误差无规律可循，故必须当作坏值予以剔除。 剔除是要有一定依据的剔除是要有一定依据的。在不明原因的情况下，。在不明原因的情况下，首先要判断可疑数据是否是粗大误差。首先要判断可疑数据是否是粗大误差。其方法的基本思想是：其方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超出置信区间的误差给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超出置信区间的误差

6、就认为是粗大误差。就认为是粗大误差。具体检验方法常见的有三种具体检验方法常见的有三种： 检验方法常见的有三种：检验方法常见的有三种： 1 1 莱特检验法莱特检验法（n200n200） i3 3s s（x x） x xP P( (x x) )E E( (x x) )0 0-3s-3s3s3sGSGSGSGS适用条件适用条件：测量数据以正态分布为依据； 测量次数n200，若，若n10，则失效。，则失效。 xsnxsxiniii31112方法：方法：2 2 格拉布斯检验法格拉布斯检验法（理论与实验证明较好）（理论与实验证明较好） maxGs G G查查p31p31表表2.62.6适用条件适用条件：测

7、量数据以正态分布或近似正态分布； 测量次数n200，若n10则会失效；格拉布斯检验法理格拉布斯检验法理论严密，概率意义明确，实验证明较好论严密，概率意义明确，实验证明较好；中位数检验法简捷方便，也能满足一般实用要求。在对粗大误差处理中要注意以下几个问题：3 3、 系统误差的处理系统误差的处理 上面所述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统上面所述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统误差为前提。误差为前提。 实际上，测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统实际上，测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统误差数值还比较大。误差数值还比较大。 对系统误差的研究较为复杂和困难

8、，研究新的、有效的发现和对系统误差的研究较为复杂和困难，研究新的、有效的发现和减小系统误差的方法，已成为误差理论的重要课题之一。减小系统误差的方法，已成为误差理论的重要课题之一。 （1 1） 系统误差的产生原因系统误差的产生原因 系统误差是系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成，这些误差因素是可以掌握的。这些误差因素是可以掌握的。2.2.环境方面的因素环境方面的因素 3.3.测量方法的因素测量方法的因素 4.4.测量人员方面的因素测量人员方面的因素1.1.测量装置方面的因素测量装置方面的因素 （2 2） 系统误差的检查与判定系统误差的检查与判

9、定 系差恒定系差变值系差第一：恒定系统误差的检查和处理第一：恒定系统误差的检查和处理 恒定系差（恒差）常用的判断方法有以下几种恒定系差（恒差）常用的判断方法有以下几种 1)1)改变测量条件改变测量条件 2)2)理论分析计算理论分析计算3)3)用高档仪器比对、校准用高档仪器比对、校准 4)4)统计法统计法（排除随机误差，剩下即系统恒差排除随机误差，剩下即系统恒差） 第二：第二： 变值系差的判定变值系差的判定 常用的有以下两种判据：常用的有以下两种判据： 1)1)剩余误差观察法剩余误差观察法 vv0 0n n(c)(c)n nvv0 0n nv v0 0n nv v0 0(a)(a)(b)(b)(

10、d)(d)累进性系差周期性系差 累进性系差的判别累进性系差的判别马利科夫判据马利科夫判据 马利科夫判据是常用的判别有无累进性系差的方法。具体步骤是：马利科夫判据是常用的判别有无累进性系差的方法。具体步骤是： 将将n n项剩余误差项剩余误差 i按顺序排列；按顺序排列； 分成前后两半求和，再求其差值分成前后两半求和，再求其差值DD 当当n n为偶数时为偶数时 2/112/ninniiiD当当n n为奇数时为奇数时 nniiniiD2/ ) 1(2/ ) 1(1若若 则说明测量数据存在累进性系差。则说明测量数据存在累进性系差。0D（2.412.41） in1前一半前一半 后一半后一半 把测量数据把测

11、量数据I I 项剩余误差项剩余误差 i按测量顺序排列；按测量顺序排列； 将将 两两相乘，然后求其和的绝对值两两相乘，然后求其和的绝对值i11113221.niiinn（2.402.40） 用贝塞尔公式求方差用贝塞尔公式求方差 niinxs12211)( 再与方差相比较，若再与方差相比较，若 12111 ( )niiinsx（2.412.41）则可认为存在周期性系统误差。则可认为存在周期性系统误差。 存在变值系统误差的数据原则上应舍弃不用。存在变值系统误差的数据原则上应舍弃不用。但是，若虽然存在变值系差，但是，若虽然存在变值系差，而剩余误差最大值处于允许范围以内，则测量数据可用。而剩余误差最大值

12、处于允许范围以内，则测量数据可用。周期性系差的判别周期性系差的判别阿贝阿贝赫梅特判据赫梅特判据例3：对某信号源的输出频率fx进行了10次等精度测量，结果为110.050，110.090，110.090，110.070，110.060，110.050，110.040，110.030，110.035，110.030（kHz），试用马利科夫及阿贝-赫梅特判剧判别是否存在变值系差。fx)30353040506070909050(101001. 0110fx054.1100545.1102/112/ninniiiD|10175010)24514545()5535545(44iMAX解：输出频率fx的平均

13、值 次数12345678910fx/kHz110.050110.090110.090110.070110.060110.050110.040110.030110.035110.030残差104 kHz-4535535515555-45-145-245-195-245（a）由马利科夫判据得：故存在变值系差（b）由阿贝-赫梅特判据得： 811110)245()195()195()245(355355355)45(niii810477754777535525247585255502512602515975-8103499750.003510122)(91)(iffifxs101242222)10()

14、245()195(355)45(91i10181040247091i0.00050015. 00005. 09)(12xsn0015. 0)(10035. 02111xsnvvniii标准偏差估值 故存在变值系差2.4.4 2.4.4 重复性测量结果的数据处理（重复性测量结果的数据处理（重点内容：是不确定度计算基础重点内容：是不确定度计算基础） 当对某被测量进行重复性测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和当对某被测量进行重复性测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和粗大误差，为了给出正确合理的结果，应按下述基本步骤对测得的数据进行粗大误差，为了给出正确合理的结果，应按下述基本步骤对测

15、得的数据进行处理。处理。1)1)对测量值进行修正，列出测量值对测量值进行修正，列出测量值x xi i 的数据表的数据表2)2)计算算术平均值计算算术平均值 3)3)列出残差列出残差 4)4)按贝塞尔公式计算标准差的估值按贝塞尔公式计算标准差的估值 11niixxn()iivx x211( )1niis xn()()s xs xn5)5)按莱特准则按莱特准则 3 ( )is xmaxGs( )Axks x，或格拉布斯准则，或格拉布斯准则 粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除后，重新计算粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除后，重新计算 ，检查和剔除，检查和剔除和和s s，再判别，再判别x直到无粗大误差

16、；直到无粗大误差； 6)6)判断有无系统误差，如有应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；判断有无系统误差，如有应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量； 7)7)算术平均值标准差的估计值算术平均值标准差的估计值8)8)写出最后结果的表达式，即写出最后结果的表达式，即 例例4 4 对某电压进行对某电压进行1616次等精度测量，测量数据次等精度测量，测量数据x xi i中已记入修中已记入修正值，列于表正值，列于表2.82.8中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。序号序号测量值测量值x xi i(V)(V)残差残差v vi i残差残差v vi i序号

17、序号测量值测量值x xi i(V)(V)残差残差v vi i残差残差v vi i1 1205.30205.300.000.00+0.09+0.099 9205.71205.71+0.41+0.41+0.50+0.502 2204.94204.94-0.36-0.36-0.27-0.271010204.70204.70-0.60-0.60-0.51-0.513 3205.63205.63+0.33+0.33+0.42+0.421111204.86204.86-0.44-0.44-0.35-0.354 4205.24205.24-0.06-0.06+0.03+0.031212205.35205.3

18、5+0.05+0.05+0.14+0.145 5206.65206.65+1.35+1.35-1313205.21205.21-0.09-0.090.000.006 6204.97204.97-0.33-0.33-0.24-0.241414205.19205.19-0.11-0.11-0.02-0.027 7205.36205.36+0.06+0.06+0.15+0.151515205.21205.21-0.09-0.090.000.008 8205.16205.16-0.14-0.14-0.05-0.051616205.32205.32+0.02+0.02+0.11+0.11解：解：(1)(

19、1)求出算术平均值求出算术平均值 30.205161161iixx(2)(2)计算计算 xxvii列于表中列于表中, ,并验证并验证 01niiv(3)(3)计算标准偏差估值计算标准偏差估值: : 4434. 011611612iivs(4)(4)按莱特准则判断有无按莱特准则判断有无 3302. 13 svi, ,查表中第查表中第5 5个数据个数据 sv335. 15, ,应将对应应将对应 65.2065x视为粗大误差视为粗大误差, ,加以加以剔除。现剩下剔除。现剩下1515个数据。个数据。(5)(5)重新计算剩余重新计算剩余1515个数据的平均值个数据的平均值: : 21.205x及重新计算

20、及重新计算 xxvii列于表列于表2.82.8中中, ,并验证并验证 10niiv。(6)(6)重新计算标准偏差重新计算标准偏差 27. 011511512iivs(7)(7)按莱特准则再判断按莱特准则再判断 81. 03 svi, ,现各现各 iv均小于均小于 3s则认为剩余则认为剩余1515个数据中不再含有粗大误差。个数据中不再含有粗大误差。 , ,(8)(8)对对 iv作图作图, ,判断有无变值系统误差判断有无变值系统误差, ,如图如图2.182.18。从图中可见。从图中可见无明显累进性或周期性系统误差。无明显累进性或周期性系统误差。 图图2.18 2.18 残差图残差图(9)(9)计算

21、算术平均值的标准偏差计算算术平均值的标准偏差: : (10)(10)写出写出测量结果表达式测量结果表达式: : 07. 015/27. 015/ ssx(205.2 0.2)xx x ksv ( (取包含因子取包含因子k=3) k=3) 第四：误差的合成与分配分项误差分项误差 总合误差总合误差 合成合成 分配分配 （1）误差传递）误差传递jmjjxxfy1jmjjyxxf1lnLRd42例5：按公式测量金属导线的电导率，式中L为导线长度(cm)，d为截面直径(cm)，R为被测导线的电阻()。试说明在什么测量条件下误差最小？对哪个参量要求最高？RRddLLlnlnlnLRdln4lnlnln2l

22、nlnLRdlnlnln2LLRRdd 2解：因为公式中含有分子和分母，用相对误差传递公式较方便。 由上式可知对截面直径d的要求最高。（2）误差分配）误差分配误差分配原则：误差分配原则：等准确度分配等准确度分配m.21适用条件：性质相同，大小相近的情况。适用条件：性质相同，大小相近的情况。3 31 12 250H50HZ Z220V220VU U4 45 5误差的分配误差的分配U U1 1U U2 2440v440v440v440v880v880v例例6 6：用量程为：用量程为500V500V交流电压表测交流电压表测副边总电压，要求相对误差小于副边总电压，要求相对误差小于2%2%，问，问应选几

23、级电压表应选几级电压表？设设 =0 =0 1 1= = 2 2副边总电压副边总电压U=880V U=880V 则，测量允许的最大总误差为则，测量允许的最大总误差为 U= = U U （2 2）= =17. 6 V 17. 6 V 用引用相对误差为用引用相对误差为 n的电压表测量电压时，若电表的满刻度值为的电压表测量电压时，若电表的满刻度值为U Umm，则可能产生的最大绝对误差为则可能产生的最大绝对误差为 mnUUmax，这个数值应不大于每个，这个数值应不大于每个副圈分配到的测量误差副圈分配到的测量误差 U Ui i，即要求，即要求%66.15008.8minUU可见选用可见选用1.51.5级（

24、级（1.5%1.5%）的电压表能满足测量要求。的电压表能满足测量要求。 VUUUi8 . 826 .17221可以认为测量误差主要是由于电压表误差造成的，而且由于两次测量的电压可以认为测量误差主要是由于电压表误差造成的，而且由于两次测量的电压值基本相同，可根据式（值基本相同，可根据式（2.512.51）等准确度分配原则分配误差等准确度分配原则分配误差，则，则等作用分配等作用分配对测量误差总合的作用或者说对总合的影响是相同的对测量误差总合的作用或者说对总合的影响是相同的例例7 7 通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上消耗的功率，已测出通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上消耗的功率，已测出电流

25、为电流为100mA100mA，电压为，电压为3V3V，算出功率为，算出功率为300mW300mW。若要求功率测量的系。若要求功率测量的系统误差不大于统误差不大于5%5%，问电压和电流的，问电压和电流的测量误差多大时才能保证上述功率误差的要求。测量误差多大时才能保证上述功率误差的要求。 P = U I P = U I300mw 3v 100mA 300mw 3v 100mA 系统误差：系统误差： 5%5% ？ ？ 在按等作用分配原则进行误差分配以后，可根据实际测量时各分项误差达在按等作用分配原则进行误差分配以后，可根据实际测量时各分项误差达到给定要求的困难程度适当进行到给定要求的困难程度适当进行

26、调节调节，在满足总误差要求的前提下，对，在满足总误差要求的前提下，对不不容易达到要求的分项适当放宽容易达到要求的分项适当放宽分配的误差，而对容易达到要求的分项，则分配的误差，而对容易达到要求的分项，则可适当把分给的误差再改小些，以使各分项测量的要求不致难易不均。可适当把分给的误差再改小些，以使各分项测量的要求不致难易不均。 第五：第五： 测量不确定度测量不确定度 以上介绍的测量误差理论虽然很全面很系统，但却存在两个严重的困惑问题：逻辑概念上错位 误差评定方法不统一例如：随机误差通是用实验标准差s、2s、3s表示？ 系统误差还没有一套通用有效的方法。 已知被测系统的随机误差和系统误差如何求总误差

27、时： 有的是分别给出；有的算术相加；有的平方相加。 x x = =x xA A0 0（2.12.1）以一个已知量求解两个未知量是不成立的方程式，逻辑前提条件不成立。例如，测量地球到月亮距离的误差是多少？ 算误差时，要为获得约定真值去找高档级仪表1 1 测量不确定度的概念测量不确定度的概念 由于由于真值难以确定真值难以确定，测量结果总是带有不确定性，测量结果总是带有不确定性。 在国外，推出了以在国外，推出了以“不确定度不确定度”作为测量误差的数字指标，作为测量误差的数字指标，表示由于测量误差的存在而表示由于测量误差的存在而对被测量不能肯定的度对被测量不能肯定的度，是测量，是测量理论中很重要的一个

28、新概念。理论中很重要的一个新概念。 1993 1993年国际标准化组织、国际电工委员会、国际计量局、年国际标准化组织、国际电工委员会、国际计量局、国际法制计量组织等国际法制计量组织等7 7个国际组织联合制定发布了个国际组织联合制定发布了Guide to Guide to the Expression of Uncertainty in Measurementthe Expression of Uncertainty in Measurement（GUMGUM，测量不确定度表示指南）。，测量不确定度表示指南）。 我国计量和测量领域内经过多年的深入研究和探讨，于我国计量和测量领域内经过多年的深入研

29、究和探讨，于19991999年发布了适合我国国情的年发布了适合我国国情的测量不确定度评定与表示测量不确定度评定与表示计量技计量技术规范（术规范（JJF10591999JJF10591999）这个规范原则上等同采用了）这个规范原则上等同采用了GUMGUM的基本内容，是实验测试、产品质量认证和计量检定考核的法的基本内容，是实验测试、产品质量认证和计量检定考核的法律依据，使我国的测试计量标准能与国际通行做法接轨律依据，使我国的测试计量标准能与国际通行做法接轨。 （1 1）. .不确定度的定义和分类不确定度的定义和分类 在在测量不确定度评定与表示测量不确定度评定与表示（JJF1059-1999JJF1

30、059-1999）中，不确）中，不确定度（定度（uncertaintyuncertainty）的定义为）的定义为 ：“表征合理地赋予被测量之表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。值的分散性，与测量结果相联系的参数。 ”。 这种测量不确定度的定义表明：这种测量不确定度的定义表明： Y Y= = y yU U 其中，其中，y y是被测量值的估计，通常取多次测量值的算术平均值是被测量值的估计，通常取多次测量值的算术平均值： U U是测量不确定度，在是测量不确定度，在UGMUGM中规定，这个参数可以是标准偏差中规定，这个参数可以是标准偏差s s或是或是s s的倍数的倍数ksks；也

31、可以是具有某置信概率；也可以是具有某置信概率P P（例如（例如P P= 95= 95或或P P= 99= 99）下置信区间的半宽。）下置信区间的半宽。 xy表征合理地赋予被测量之值的分散性，其置信区间表征合理地赋予被测量之值的分散性，其置信区间是：是： 。见下图：见下图：UxUx,是与测量结果相关的参数：是与测量结果相关的参数： Ux 定义要点定义要点：系统误差真值测量值的概率分布曲线概率密度误差某次测量值随机误差测量值置信区间xix0Aksx ksx ixP总体均值x不确定度UU其其置信区间置信区间是：是： 。它与。它与真值没有直接关系真值没有直接关系，但它，但它将真值包含在区间之中了。注意

32、：不确定度将真值包含在区间之中了。注意：不确定度U U恒为正值。恒为正值。前面加前面加号只是标明区间的取向，经常用数学符号号只是标明区间的取向，经常用数学符号+ +，或者或者号与号与U U相联结相联结。 UxUx,不确定度不确定度 标准不确定度标准不确定度 扩展扩展( (展伸展伸) )不确定度（扩大不确定度（扩大u uC C的置信区间，提高置信概率）的置信区间，提高置信概率） A A类标准不确定度类标准不确定度u uA A（由多次测值求标准差获得由多次测值求标准差获得） B B类标准不确定度类标准不确定度u uB B（查已有信息求得）（查已有信息求得） 合成标准不确定度合成标准不确定度u uC

33、 C（A A、B B类的合成类的合成；多个不确定度合成；多个不确定度合成 ） 不确定度分类：不确定度分类：应当指出，在不确定度的合成中，有时为简化运算也引用相对不确定度相对不确定度的形式（类似相对误差的概念）。（2 2）测量不确定度的来源）测量不确定度的来源 测量不确定度来源于以下因素：测量不确定度来源于以下因素： 1 1）被测量定义的不完善，实现被测量定义的方法不理想，被测量样本不能）被测量定义的不完善，实现被测量定义的方法不理想，被测量样本不能 代表所定义的被测量。代表所定义的被测量。 2 2）测量装置或仪器的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。）测量装置或仪器的分辨力、抗干扰能力、

34、控制部分稳定性等影响。 3 3）测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。）测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。 4 4）计量标准和标准物质的值本身的不确定度，在数据简化算法中使用的常）计量标准和标准物质的值本身的不确定度，在数据简化算法中使用的常 数及其他参数值的不确定度，以及在测量过程中引入的近似值的影响。数及其他参数值的不确定度，以及在测量过程中引入的近似值的影响。 5 5）在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性。）在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性。 （3 3）测量不确定度与误差的关系）测量不确定度与误差的关系误

35、差理论中两个重要概念，不确定度是对经典误差理论的一个补充。误差理论中两个重要概念，不确定度是对经典误差理论的一个补充。 对比项目对比项目误误 差差不确定度不确定度含义含义反映测量结果偏离真值的程度反映测量结果偏离真值的程度反映测量结果的分散程度反映测量结果的分散程度符号符号非正即负非正即负恒为正值恒为正值分类分类随机误差、系统误差、粗大误差随机误差、系统误差、粗大误差A A类评定和类评定和B B类评定类评定表示符号表示符号符号较多、且无法规定符号较多、且无法规定规定用规定用u u、u uc c、U U、UpUp表示表示合成方式合成方式代数和或均方根代数和或均方根均方根均方根主客观性主客观性客观

36、存在，不以人的认识程度改客观存在，不以人的认识程度改变变与人们对被测量及测量过程的认识有关与人们对被测量及测量过程的认识有关与真值的关系与真值的关系有关有关无关无关表表2.9 2.9 误差与不确定度的区别误差与不确定度的区别 不确定度的实例应用：不确定度的实例应用：2 2 标准不确定度的评定标准不确定度的评定 用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用u u表示表示。测量不确定度。测量不确定度所包含的若干个不确定度分量，均是标准不确定度分量，用所包含的若干个不确定度分量，均是标准不确定度分量，用u ui i 表示，其表示，其评定方法如下：评定方法如

37、下： 1. A1. A类标准不确定度的评定类标准不确定度的评定 A A类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度u u的求法等同于由系列观测的求法等同于由系列观测值获得的标准差，即值获得的标准差，即A A类标准不确定度就等于标准差，即类标准不确定度就等于标准差，即 ( )Aus x标准差的求法同前面随机误差的处理方法，具体步骤归纳如下：标准差的求法同前面随机误差的处理方法，具体步骤归纳如下：1 1）对被测量）对被测量X X进行进行n n次测量，得测值次测量，得测值x x1 1，x x2 2，x xn n ； 2 2）求算术平均值）求算术平均值 x和剩余误差

38、和剩余误差 xxii3 3）用贝塞尔公式求标准差的估值）用贝塞尔公式求标准差的估值: : niiixxnxs12)(11)( （2.562.56） 4 4）求算术平均值标准差的估值）求算术平均值标准差的估值: : nxsxs)()(（2.572.57） 5 5）则）则A A类标准不确定度为类标准不确定度为: : ( )Aus x（2.582.58） 这里需要说明的是，观测次数这里需要说明的是，观测次数n n应充分多，才能使应充分多，才能使A A类不确定度的评定可靠，类不确定度的评定可靠，一般认为一般认为n n应大于应大于5 5。但也要视实际情况而定，当。但也要视实际情况而定，当A A类不确定度

39、分量对合成类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较大时，标准不确定度的贡献较大时，n n不宜太小；反之，不宜太小；反之，n n小些关系也不大。小些关系也不大。 除了这种用标准差计算的除了这种用标准差计算的A A类不确定度之外，其他都属于类不确定度之外，其他都属于B B类不确定度。类不确定度。2.B2.B类标准不确定度的评定类标准不确定度的评定 B B类评定不用统计分析法，而是要从类评定不用统计分析法，而是要从 资料查出资料查出厂商手册厂商手册有关数据有关数据获得信息获得信息然后求出其然后求出其分布的估计分布的估计（概率分布假设）和（概率分布假设）和置信区间置信区间（要有一定的经验及（要有一定的

40、经验及对一般知识有透彻的了解。）对一般知识有透彻的了解。） 即即B B类标准不确定度：类标准不确定度： 包含包含因因子子区间半宽区间半宽Bauk （2.612.61）包含包含因子因子k k（或称覆盖因子、（或称覆盖因子、置信置信因子因子），可查表），可查表2.102.10。 k k 一般在一般在2323范围内范围内 当估计值当估计值x x取自有关资料，所给出的测量不确定度取自有关资料，所给出的测量不确定度U Ux x为标准差的为标准差的k k倍时，其标准不确定度为倍时，其标准不确定度为：u uB B=U=Ux x/ /k k 当知区间半宽当知区间半宽a a 后后，要换算为标准差形式，要换算为标

41、准差形式，3 3表表2.10 2.10 常用分布与常用分布与 k k，u u（x xi i）的关系）的关系 a a/ 6/ 66 6100100三角三角a a/ 3/ 3100100均匀（矩形）均匀（矩形）a a/ / 2.09 9595t t（n=21 ）a a/1.96/1.969595正态正态a/2a/22 295.4595.45正态正态a a/3/33 399.7399.73正态正态u u（x xi i）k kp p（%）分布类型分布类型2.09 1.961.96例例2.23 2.23 由手册查得纯铜在温度由手册查得纯铜在温度2020时的线膨胀系数时的线膨胀系数a a为为16.52 1

42、6.52 610/， 并已知该系数并已知该系数a a的误差范围为的误差范围为 6104 . 0，求线膨胀系数，求线膨胀系数a a的标准不确定度。的标准不确定度。 解：根据手册提供的信息可认为解：根据手册提供的信息可认为a a 的值以等概率位于区间的值以等概率位于区间6(16.25-0.4) 10 6(16.52-0.4) 10/至至 内，且不可能位于此区间之外，故假设内，且不可能位于此区间之外，故假设a a 服从均匀分布。已知其区间半宽服从均匀分布。已知其区间半宽 60.4 10/a，则纯铜在温度，则纯铜在温度为为2020的线膨胀系数的线膨胀系数a a的标准不确定度为的标准不确定度为 660.

43、4 10 /0.23 1033CBau/ / 16.9216.9216.4016.4016.5216.52 610/最大允许误差即仪器的最大绝对误差 ，即该仪器的置信区间。其“模”即绝对值， 也就是置信区间的半宽a ，因此例2.24 数字电压表厂家说明书上给出：仪器校准后12年内，在1V内示值最大允许误差的模为 （这里Ux为读数，Um为量程范围）。设校准后20个月在1V内测量电压，问当测量读数Ux=0.928571V时，其示值误差导致的标准不确定度为多少？解解：因数字电压表示值误差导致的标准不确定度是由厂家产品质量决定的，不是通过多次测量由标准差求得的，故属B类标准不确定度。由于最大允许误差在

44、1V量程内对测量值都有影响，即其在1V范围内出现的概率相同，故应属于均匀分布。因此，这里a 即为均匀分布的半宽，按表查得 。3k 6614 100.928571V2 101V15VaU 15V38.7VuU6614 102 10 xmUUU则该数字电压表示值的B类标准不确定度为： U自由度的理解自由度的理解：如仅有一个测量值，则该测量结果就是被测量的最佳估计值，别无选择，如仅有一个测量值，则该测量结果就是被测量的最佳估计值，别无选择，这相当于自由度为零，这相当于自由度为零，式（式（2.562.56）计算的标准差）计算的标准差s s为无穷大，这是不允许的。为无穷大，这是不允许的。 若有两个或两个

45、以上的测量值，则有了选择最佳估计值的若有两个或两个以上的测量值，则有了选择最佳估计值的“自由自由”。 随着测量次数的增多，自由度也随之增加。随着测量次数的增多，自由度也随之增加。自由度愈大，标准差愈可自由度愈大，标准差愈可信赖信赖，标准不确定度愈可靠标准不确定度愈可靠。因此自由度。因此自由度 v v 是表达测量可靠程度的量，是表达测量可靠程度的量，测量次数测量次数n n多，可靠性好，则自由度大。多，可靠性好，则自由度大。3. 3. 自由度自由度 1)1)自由度概念自由度概念剩余误差：剩余误差：v v自由度：自由度：注意符号区分注意符号区分读音为读音为“玉普西隆玉普西隆”。不是英文小写字母。不是

46、英文小写字母v v niiixxnxs12)(11)(和的项数和的项数 n n和的限制数是和的限制数是 1 1 在在测量不确定度评定与表示测量不确定度评定与表示（JJF1059-1999JJF1059-1999）技术规范中给出）技术规范中给出自由度的自由度的定义定义为为：“在方差计算中，和的项数减去对和的限在方差计算中，和的项数减去对和的限制数。制数。”在规范中自由度用希腊字母在规范中自由度用希腊字母 （读音为（读音为“nu”nu”纽纽）表示表示。2)2)自由度的自由度的评评定定 (1)A(1)A类标准不确定度的自由度类标准不确定度的自由度 对对A A类评定的标准不确定度，其自由度类评定的标准

47、不确定度，其自由度 即为标准差即为标准差 的自由度。的自由度。由于标准差有不同的计算方法，其自由度也有所不同，并且可由相由于标准差有不同的计算方法，其自由度也有所不同，并且可由相应公式计算出不同的自由度。例如，用贝塞尔法计算的标准差，其应公式计算出不同的自由度。例如，用贝塞尔法计算的标准差，其自由度自由度 = = n n1 1。 niiixxnxs12)(11)(2)B(2)B类标准不确定度的自由度类标准不确定度的自由度 由于由于B B类标准不确定度的自由度不是由实验测量计算得到的，也类标准不确定度的自由度不是由实验测量计算得到的，也就不存在测量次数的问题，因此原则上也就不存在自由度的概念。就

48、不存在测量次数的问题，因此原则上也就不存在自由度的概念。 应当指出，自由度的计算除了在求标准差中用到外，主要用在求扩应当指出，自由度的计算除了在求标准差中用到外，主要用在求扩展不确定度查包含因子展不确定度查包含因子k k表时要用到。表时要用到。2.6.3 2.6.3 测量不确定度的合成测量不确定度的合成 当测量结果受多种因素影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准当测量结果受多种因素影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度用各标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度不确定度用各标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度u uc c表示。表示。 概念概念：类似误差的合成

49、类似误差的合成例例1 1：电压测量：电压测量直接测量量不确定度的合成直接测量量不确定度的合成例例2 2：功率测量：功率测量间接测量量不确定度的合成间接测量量不确定度的合成下标下标c c是英文是英文combinecombine的第一个的第一个字母，表示合成之意字母，表示合成之意。 u uc c（U U）u uA Au uB B A A类不确定度类不确定度B B类不确定度类不确定度u uCVCVu uA Au uB Bu uCICIu uA Au uB Bu uC C（P P）电压的电压的A A、B B类不确定度类不确定度电流的电流的A A、B B类不确定度类不确定度1) 1) 直接测量量不确定度

50、的合成直接测量量不确定度的合成 2211nmAiBjc xijuuuAiu 设某被测量设某被测量x x有有i i个个A A类标准不确定度类标准不确定度 ，有，有j j个个B B类类标准不确定度标准不确定度 , ,由于通常这些不确定度分量由于通常这些不确定度分量彼此是彼此是相互独立相互独立的，故该被测量的合成标准不确定度的，故该被测量的合成标准不确定度Bju例 电压测量：电压测量：22226.515.316.6V17Vc UA UB Uuuu求得求得 ( )6.5VA Uus U 26.515.3V33B Uauyf x （ ）数学模型数学模型（或称函数关系）是是：2.6.4 2.6.4 扩展（

51、展伸）不确定度扩展（展伸）不确定度 合成合成标准标准不确定度可表示测量结果的不确定度，但它仅不确定度可表示测量结果的不确定度，但它仅对应于对应于一个一个标准差标准差，由其所表示的测量结果由其所表示的测量结果 y yu uc c含被测量含被测量Y Y的真值的概率仅为的真值的概率仅为 6868。（太严了）（太严了） 扩展不确定度由合成标准不确定度扩展不确定度由合成标准不确定度u uC C乘以乘以包含包含因子因子k k 得到，记为得到，记为U U，即，即 U U= =kukuC C通常规定，除计量学基础研究、基本物理常数测量以及复现国际单位的国际比对可以仅给出合成标准不确定度外，其余绝大部分测量均要

52、求给出测量结果的扩展不确定度。包含因子包含因子k k是自由度和置信概率的函是自由度和置信概率的函数，即数，即 。 ( , )kp通常，置信概率取 P=95% 应是合成标准不确定度uc的自由度 Y Y= =y yU U 结论结论：通常都是用扩展不确定度作为测量结果的不确：通常都是用扩展不确定度作为测量结果的不确 定度，则测量结果表示为：定度，则测量结果表示为：U U= = k ku uc c =2 =2u uc c （2.692.69）U U = =k ku uc c =2=2u uc c kauB)()(xsxsuAA A类不确定度类不确定度 B B类不确定度类不确定度 u uC Cu uA

53、Au uC1C1u uB BX X1 1的的A A、B B类不确定度类不确定度u uC2C2u uA Au uB BX X2 2的的A A、B B类不确定度类不确定度 2221nc yc xiiifuux归纳归纳例题8： 设TOS6100 所测的接地电阻为Rx，JD-2 标准电阻为RN，取JD-2 标准电阻为100m，在接地电阻测试仪TOS6100上进行10 次重复测量，得到测量结果如下表所示：次数12345678910R/m101101102101101102101101102101已知TOS6100 在100m时的分辨率为2m，此时自由度为50，接地导通电阻测试仪检定装置经检定，符合其技术

54、指标要求，100m处的误差为0.2%，此时自由度为50，试求测量结果的扩展不确定度。 采用测量不确定度的意义 1)只要根据实际条件进行测量只要根据实际条件进行测量，得出现有条件下的测量不确定度，具有可操作性。不必求取真值（约定真值），不用找高一档次的仪器测得结果当作约定真值，再来计算误差。2)体现各自的测量水平体现各自的测量水平。例如，通常学校学生实验室用三位半数字电压表测量直流电压，只能做到毫伏量级的不确定度；在学校研究室里有六位半数字电压表，就可做到微伏量级的不确定度。当有八位半数字电压表，还可做到纳伏量级的不确定度。3)通过对具体项目测量不确定度的分析与评定，能明确从什么地方采取措施可以

55、减小不确定度，从而有利于提高该项目的质量。4)对测量者不会提不合理的要求。不能要求一般检测实验室的测量不确定度达到计量校准实验室测量不确定度的水平。5)使测量结果有了国际统一的评定与表示方法，具有可比性，既符合国家标准又与国际接规。 用一台用一台6 6位半数字电压表，在位半数字电压表，在2V2V档对档对1.5V1.5V电池电池电压进行电压进行9 9次测量后，得其算术平均值是次测量后，得其算术平均值是1.536542V1.536542V，标准差的估值为，标准差的估值为18V18V，并计算出，并计算出此电压表最大允许误差此电压表最大允许误差U=13.8VU=13.8V，试求其测，试求其测量不确定度

56、。量不确定度。课堂测验课堂测验U U = =k ku uc c =2=2uc =20VY Y = =y yU U= =1.536542 0.0000200.000020V VVnxsxs6918)()(求得求得VUsuUA6)()(VauUB838 .133)(VuuuUBUAUC1086222)(2)()( 用一台用一台6 6位半数字电压表，在位半数字电压表，在2V2V档对档对1.5V1.5V电池电压进行电池电压进行9 9次测量后，得其算术平均值是次测量后，得其算术平均值是1.536542V1.536542V，标准差的估，标准差的估值为值为18V18V，并计算出此电压表最大允许误差，并计算出

57、此电压表最大允许误差U=13.8VU=13.8V，试求其测量不确定度。，试求其测量不确定度。2.72.7 测量数据处理测量数据处理通过实际测量得到的数据，需要进行处理，即计算、分析、整理后得出所通过实际测量得到的数据，需要进行处理，即计算、分析、整理后得出所需要的结果数据。有时候还要把测量数据绘制成表格、曲线或归纳成经验需要的结果数据。有时候还要把测量数据绘制成表格、曲线或归纳成经验公式，以便得出正确、直观的结果。本节着重介绍测量数据处理的基本知公式，以便得出正确、直观的结果。本节着重介绍测量数据处理的基本知识和表示方法。识和表示方法。 处理方式处理方式 表达式（有效数字、测量值、不确定度）表达式（有效数字、测量值、不确定度） 曲线图形曲线图形 经验公式经验公式 2.7.1 2.7.1 有效数字的处理有效数字的处理1 1 有效数字有效数字 定义：有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有定义：有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有误差的那位误差的那位存疑数存疑数为止的所