初等解析函数及其基本性质

1、精选优质文档-倾情为你奉上§2 初等解析函数及其基本性质一、基本初等函数1.指数函数加法定理 。，即。周期性 是周期为的周期函数。2.对数函数定义2 满足的函数称为复变量的对数函数，记为。关于的表达式：令，则，即。从而定义式。注：是多值函数，是多值函数。 当取主值时，为单值函数，称其为的主值，记为，即 或计算式。注：当时，实对数函数。例2 证明对数运算性质：；。证明 由对数定义表达式，；同理可证式。例3 求及主值。解 ；主值：。由的表达式，容易知道，有分析性质：在除原点及负实轴的平面内连续且解析。，而在原点及负实轴上不连续，即在除原点及负实轴的平面内连续。又在除原点及负实轴的平面内，

2、有定义且互为反函数，有求导法则，.在除原点及负实轴的平面内解析。从而，应用对数函数时，皆指其除原点及负实轴的平面内的某一分支。 3.复数乘幂及其计算 定义3 复数构成的乘幂：，其中。可以分析讨论知道，其取值情况有： 当次幂为整数时, 有唯一值；。当次幂为有理数时, 有个不同的值；当时，由正、余弦的周期性，得到的个不同值。当次幂为无理数或虚数时, 有无穷多值.例3 计算下列复数乘幂：；。解 .,；。.二、简单初等函数1.一般幂函数与指数函数定义4 ；。性质由对数性质决定。 2.三角函数，其中 定义5 正弦函数：；余弦函数： 。例4 求值：.解 .容易证明：具有与实函数相同的周期性是，不具有有界性

3、：时， 。当时，. 定义6 . 相应的一些运算性质见教材.3.反三角、反双曲函数定义7 满足的复变量称为的反正弦函数，记为。依据定义，可以求得： .同理，可以定义并可求得：; 4.双曲与反双曲函数函数定义8 双曲正弦：；双曲余弦：；双曲正切：.及其反双曲函数：;；.注:它们均为多值函数.第三章 复变函数的积分§1 积分的概念及性质一、概念及其存在性1.引言 一元函数定积分，是函数沿一直线段上的积分。因为函数就定义在数轴直线上，而复函数定义在平面上。推广定积分于复函数，考虑一般性，复积分应为平面上沿一曲线段的积分。 y zn C k zk z0 zk-1O x2.定义 设有向曲线，任意

4、分成段，分点为：任取,作和,记，若总存在，则称其值为沿曲线的积分，记为。若为封闭曲线，则记为(复变函数主要研究和确定闭曲线的积分)。注:复积分实质上类似于高等数学中的平面为(二型)曲线积分。2.可积性及其参数计算公式定理 若连续，则 存在，且；设。证明（描述性）；。 y (3,1) 1 3O 1 x例1 计算,其中为从点1到点的直线段.解 直线段方程：，从而，原式。 -2 2 例2 设为由点沿的上半圆周到点的曲线段,求.解 ，即，此时，；这里，于是，原式。例3 计算，其中：，方向逆时针。解 圆周的方程：，从而，原式，当时，原式；当时，原式，于是，二、性质1.线性：；2.可加性：若，则；3.反对称性：；4.若为曲线的长度，且，则。证明 1.2.3.显然，4.的证明利用积分定义见教材。§2 柯西古萨定理及其应用一、引理与基本定理1.引理 若在单连域内解析,且连续,则对任意简单闭曲线,有：。证明 解析,且连续，且它们均连续。从而，由格林公式，。推论 若在一条简单闭曲线的内部及上解析，则。例1 计算，其中曲线为正向圆周：