利用正余弦定理的巧妙解决三角形中的最值问题

1、精选优质文档-倾情为你奉上 利用正余弦定理的巧妙解决三角形中的最值问题已知一边和其对角，求三角函数一些表达式的最值问题，三角形中的范围问题是一类重要的问题，在高考中经常出现，通常解决有两种思路，一是正弦定理与辅助角相结合，二是余弦定理与基本不等式相结合。本文进行从题型上归纳总结， 注重方法的引领的提高。题目的基本设问题方式是：已知分别为三个内角的对边，求，的范围题型一 求周长的范围或最值 变式： 的取值范围的取值范围, 已知分别为三个内角的对边，.（1）求的大小；（2）若=7，求的周长的取值范围试题解析：（1）由正弦定理得：（2）由已知：，由余弦定理（当且仅当时等号成立），又.从而的周长的取值

2、范围是2若的图像与直线相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列.（）求和的值； （）中、分别是、的对边。若是函数 图象的一个对称中心，且=4，求周长的取值范围解：（1）= 3分由题意，函数的周期为，且最大（或最小）值为，而,所以， 6分（2）（是函数图象的一个对称中心 又因为A为ABC的内角，所以 ABC中， 则由正弦定理得：， b+c+a3.ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(2a+b)sinA+(2b+a)sinB=2csinC()求C的大小；()若c=3，求ABC周长的最大值【解析】()ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，(2a+b)sinA+(2b+a)si

3、nB=2csinC由已知，得(2a+b)a2R+(2b+a)b2R=2cc2R，即a2+b2-c2=-ab，cosC=a2+b2-c22ab=-12，由0<C<，C=23()c=3，asinA=bsinB=332，a=2sinA，b=2sinB设周长为l，则l=a+b+c=2sinA+2sinB+3=2sinA+2sin(3-A)+3=2sinA+2sin3cosA-2cos3sinA+3=sinA+3cosA+3=2sin(A+3)+30<A<3，23<2sin(A+3)+32+3，ABC周长的最大值为2+3方法二：由余弦定理可得，即，由基本不等式可得，解之得，

4、所以，ABC周长的最大值为2+35. (2013江西，理16)(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C(cos Asin A)cos B0.(1)求角B的大小； (2)若ac1，求b的取值范围解：(1)由已知得cos(AB)cos Acos Bsin Acos B0，即有sin Asin Bsin Acos B0，因为sin A0，所以sin Bcos B0，又cos B0，所以tan B，又0B，所以.(2)由余弦定理，有b2a2c22accos B.因为ac1，cos B，有.又0a1，于是有b21，即有b1.4.在锐角ABC中，边长a=1，b=

5、2，则边长c的取值范围是_.解析：若c是最大边，则cosC0.0，c.又cba=1，1c.题型二 求面积的范围或最值 变式： 的取值范围 的取值范围1.(2013课标全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由，和C(0，)得sin Bcos B，又B(0，)，所以.(2)ABC的面积.由已知及余弦定理得4a2c2.又a2c22ac，故，当且仅当ac时

6、，等号成立因此ABC面积的最大值为.2. (2014新课标)16已知分别为三个内角的对边，且,则面积的最大值为_.解析：，且，,由，,面积的最大值为3 (2013浙江)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin Bb.(1)求角A的大小；(2)若a6，bc8，求ABC的面积解：(1)由2asin Bb及正弦定理，得sin A.因为A是锐角，所以.(2)由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c2bc36.又bc8，所以.由三角形面积公式Sbcsin A，得ABC的面积为.题型三 其它表达式的范围 如： 的取值范围的取值范围，利用公式：1 (2013重庆，文18)在

7、ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc.(1) 求A；(2)设，S为ABC的面积，求S3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值解：(1)由余弦定理得cos A.又因0A，所以.(2)由(1)得sin A，又由正弦定理及a得Sbcsin A··asin C3sin Bsin C，因此，S3cos Bcos C3(sin Bsin Ccos Bcos C)3cos(BC)所以，当BC，即时，S3cos Bcos C取最大值3.2 (2013重庆，理18)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且,（I）求角的大小；（II）设，S为A

8、BC的面积，求S3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值解（I） ,（II）由( I）得sin A，又由正弦定理及a得Sbcsin A··asin C3sin Bsin C，因此，S3cos Bcos C3(sin Bsin Ccos Bcos C)3cos(BC)所以，当BC，即时，S3cos Bcos C取最大值3.题型四 求表达式的范围 如：的取值范围1 已知向量为的内角，其所对的边分别为（1）当取得最大值时，求角的大小；（2）在（1）的条件下，当时，求的取值范围解：（1），当，即时，取得最大值； -5分（2）由， ， 的取值范围为. 题型五 求其它表达式的范

9、围 1在中，若，则的最大值 解：因为，所以因为 ，所以,所以 所以，解得：，所以由正弦定理： 所以其中 所以当时，有最大值.所以答案应填：.解法二：由余弦定理可得，,，由柯西不等式可得，故，当且仅当时，取等号.2 设的三边为满足（）求的值； （）求的取值范围【解析】：（1），所以，所以，所以所以，即 所以，所以（2）= = =，其中 因为，且 所以，所以 题型六 求其它表达式的范围 利用放缩法求角度的范围1（2012安徽卷理）（15）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是若；则 若；则 若；则 若；则若；则【解析】正确的是 当时，与矛盾 取满足得： 取满足得：解析：对于，由abc2可得故，正确

10、；对于，由ab2c可得，故故，正确；对于，由a3b3c3可得，故a2b2c2a2b2又a3b3c3，故ca，cb，故，故a2b2c2故，正确；对于，故故，不正确；对于，由(a2b2)c22a2b2可得故，不正确综上可知，正确2.中，角所对的边分别为，下列命题正确的是_（写出正确命题的编号）.总存在某内角，使；若，则；存在某钝角，有；若，则的最小角小于；若，则.来源:学【分析】通过讨论三角形的形状来判断；构造函数f（x）=（0x），应用导数求单调性，从而得到BA，即可判断；由两角和的正切公式，推出tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，从而推断；将，化简整理运用不共线结论，得到2

11、a=b=c，再运用余弦定理求出cosA，即可判断；构造函数f（x）=tsinxsin（tx），应用导数运用单调性得到tsinBsin（tB），又sinAtsinB，再根据和差化积公式，结合角的范围即可判断解：若cos，则0，若ABC为直角三角形，则必有一内角在（0，若为锐角ABC，则必有一个内角小于等于，若为钝角三角形ABC，则必有一个内角小于，故总存在某内角，使cos；故正确；设函数f（x）=（0x），则导数f（x）=，若，则f（x）0，又AsinBBsinA，即BA，若0x，则由于tanxx，故f（x）0，即有BA，故不正确；在斜三角形中，由tan（A+B）=tanC，得tanA+tanB

12、+tanC=tanAtanBtanC，由于tanA+tanB+tanC0，即tanAtanBtanC0，即A，B，C均为锐角，故不正确；若2a+b+c=，即2a（），即（2ab）=（2ac），由于不共线，故2ab=2ac=0，即2a=b=c，由余弦定理得，cosA=，故最小角小于，故正确；若atb（0t1），则由正弦定理得，sinAtsinB，令f（x）=tsinxsin（tx），则f（x）=tcosxtcos（tx），由于0txx，则cos（tx）cosx，即f（x）0，tsinxsin（tx）即tsinBsin（tB），故有sinAsin（tB），即2cossin0，故有AtB，故正确故答

13、案为：3、(1)在中，分别是角的对边，其中是边上的高，证明：(2)在中，是边上的高，已知，并且该三角形的周长是；求证：；求此三角形面积的最大值证明：（1）要证明，即证明，利用正余弦定理即证明，即证明：因为,即证明(2)，使用正弦定理，解得：，于是：，最大值4.(2014重庆，理10)已知ABC的内角A，B，C满足sin 2Asin(ABC)sin(CAB)，面积S满足1S2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()Abc(bc)8 Bab(ab) C6abc12 D12abc24答案：A解析：由sin 2Asin(ABC)sin(CAB)得，sin 2AsinA(BC)sinA(BC)，所以sin 2A2sin Acos(BC).所以2sin Acos Acos(BC)，所以2sin Acos(BC)cos(BC)，所以2sin Aco