七数培优竞赛讲座第7讲物以类聚――话说同类项

1、第七讲物以类聚一一话说同类项俗话说“物以类聚，人以群分” 在数学中，我们把整式中那些含相同的字母、并且 相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类一一称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起一一称为合并同类项整式的加减实质就是去括号合并同类项.整式的加减这一章涉及到许多概念，准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是 解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点：理解“三式”和“四数”的概念、熟悉“两种排列”、掌握三个法则.解与整式加减相关问题时，有括号先去括号，有同类项先合并同类项，这样能使解题 过程大为简化.例题【例1】当x的取值范围为 时，式子 4x 4 7x 1 3x 4的值恒为一

2、个常数，这个值是（北京市“迎春杯”竞赛题 ）思路点拨 去掉绝对值符号、合并同类项后，式子应不再含“x”的项，由此得出x的取值范围.注：数学概念是容的基础.是数学推理和论证的基础科学研究表明，概念的形成过程中，人们的心理活动经历着以下阶段：（1）辨别不同的事物；（2）抽象一类事物的共同属性；用简洁的语言符号给概念下定义、定名称.在概念学习中，应注意以下策略：（1）关键字词理解的策略；（2）正、反例对比策略；（3）相似概念比较策略；（4）概念系统化策略.【例2】已知a b 0,a b,则化简b（a 1）-（b 1）得（）.abA . 2aB. 2b C .十 2 D .一 2（江苏省竞赛题） 思路

3、点拨由已知条件可推得多个关系式，这是解本例的关键.3 11【例3】 已知x = 2, y=一 4时，代数式ax by 5 1997 ,求当x 4, y22时，代数式3ax 24by34986的值.思路点拨一般的想法是先求出 a, b的值，这是不可能的（为什么？）解本例的关键是： 将给定的x、y值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代人求值.3223【例4】已知关于；的二次多项式 a（x x 3x） b（2x x） x 5，当x=2时 的值为一 17,求当x= 一 2时，该多项式的值.（“希望杯”邀请赛培训题）思路点拨 设法求出a, b的值，解题的突破口是根据多项式降幕排列、

4、多项式次数等 概念挖掘隐含的关于 a, b的等式.【例4】（1）已知：5 I （x+9y）（x , y为整数），求证：5 I （8x十7y）.（2）试证：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于 1且互质的自然数之和.（全国初中数学联赛试题）思路点拨 (1)尝试把8x+7y写成x+9y的倍数与5的倍数的代数和的形式， 逆用整式 的加减，将每一类自然数表示为两个式子的和，并证明它们互质，注意分类讨论.注：解代数式化简求值问题的基本方法有：将字母的值代入或字母间的关系整体代入 等关键是对代数式进行恰当变形，其中去括号、添括号能改变代数式的结构，是变形求简的一种常用工具.“回到定义中去”，这是美国著名

5、数学家玻利亚称为的一种解题方法，在解题遇到困难 的时候，请记住“回到定义中去”这个重要的思考提示.欲证明一个多项式能被某数整除，常需对该多项式进行适当的变换，或对字母进行代换， 充分利用巳知条件及整除的有关性质解决问题.数学中有许多可以类比的对象，如数与式，整数与整式.教学中的许多结论就是通过 类比得到的，同时类比也是学习数学中的一种有效方法.学力训练1已知2axbn 1与 3a2b2m是同类项，那么(2m n)x=.(江苏省竞赛题)2. 已知代数式(2x2+ax-y+6) (2bx2-3x+5y-1).(1) 当a=, b=时，此代数式的值与字母x的取值无关；(2) 在(1)的条件下，多项式

6、 3(a2-2ab-b2)(4a2+ab+b2)的值为3. 已知 a=1999，则 3a32a2 4a 1 3a3 3a2 3a 2001 =.34.已知当x= 一 2时，代数式axbx 1的值为6,那么当3x=2时，代数式axbx 1的值是.(安徽省中考题)5火车站和机场都为旅客提供打包服务，如果长、宽、高分别为x、y、z的箱子按如图的方式打包，则打包带的长至少为().A.4x+4y+10z B. x+2y+3z C.2x+4y+6z D.6x+8y+6z(太原节中考题)6.同时都含有字母 a、b、c,且系数为1的7次单项式共有().A . 4 个 B . 12 个C . 15 个 D .

7、25 个的结果是().A . 2 一 aB . 2a 一 2bC .2 c a&已知 m 2n25，那么5(m2n)2 6n7.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示:(北京市竞赛题)则代数式a a b c a b c化简后D . aA . 80 S . 10 C . 210 D . 409.把一个正方体的六个面分别标上字母A、B、2 2 2 2A x 4xy 3y , C 3x 2xy y , B3m 60的值为().C、D、E、F并展开如图所示，已知：1(C A) , E B 2C，若正方体10已知单项式o.25xbyc与单项式0.125xmy2n1的和为0.625xnym，求abc的值.

8、11. 对于整式6x5+5x4+4x3+3x2+2x+2002，给定x的一个数值后，如果小颖按四则运算的规则计算该整式的值，需算15次乘法和5次加法.小明说：“有另外一种算法，只要适当添加括号，可以做到加法次数不变，而乘法只算5次”.小明同学的说法是 的.(填“对”或“错”)(“希望杯”邀请赛试题)12. 若 a b 2,b c 3,c d 5，则(a c)(b d) (a d) =.13.当x = 2时，代数式ax3 bx 1的值等于一 17,那么当x= 1时，代数式12ax3bx35 的值等于 .(北京市“迎春杯”竞赛题)14 .将1 , 2, 3,100这100个自然数，任意分为 50组

9、，每组两个数，现将每组的两1b a b)中进行计算，求出其个数中任一数值记作 a,另一个记作b,代入代数式-!(a2结果，50组数代人后可求得 50个值，则这50个值的和的最大值是 15 .计算 1+2 3 4+5+6 7一 8+9+10 1l 一 12+1993+1994 1995 1996+1997+1998 1999 2000,8+9+10 1l 一 12最后结果是().D . 一 2000C. 199916.已知a b且旦 bA. 2a+2b+ab0，则aB .一 ab17.2/53已知代数式XQXq次?x dxab等于(C. 一 2a 一 2b+abcx)，当x = l时，值为I,D

10、 . 一 2a+ab那么该代数式当x = 一 l时的值A . 0 B. 一 1).A. 1(“希望杯”邀请赛试题18.如果对于某一特定范围内x的任意允许值P 1 2x1 3x9x 1 10x 的值恒为一常数，则此值为(A . 2B . 3(安徽省竞赛题)19. (1)已知a、b为整数，且)C . 4 D.n = I0a+b，如果17 | a一 5b,请你证明：17(2)已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是 证明：这个三位数也是 11的倍数.n.11的倍数.20. 在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc(a、b、c依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请

11、这个人算出 5个数acb、bac、bca、cab与cba的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc.21. x、y、z 均为整数，且 11| 7x+2y 5z,求证：11 | 3x 一 7y 十 12z.（北京市竞赛题 ）22. 计算多项式 ax3 bx2 cx d 的值时有以下 3 种算法，分别统计 3 种算法中的乘法次 数. 直接计算：ax3 bx2 cx d时共有3十2+1 = 6（次）乘法； 利用已有幕运算结果：x3 x2 x，计算ax3 bx2 cx d时共有2+2+仁5（次）乘法； 逐项迭代： ax3 bx2 cx d （ax b）x c x d ，其中等式右

12、端运算中含有 3 次乘 法.请问： （1）分别使用以上 3种算法，统计算式10 9 8axa“x a?xa?x 印。中乘法的次数，并比较 3种算法的优劣.（2）对 n次多项式 aoxn ajxn 1 a?xn 2ax an （其中 a,a1,a2, ,a“ 为系数，n1）,分别使用以上3种算法统计其中乘法的次数，并比较3种算法的优劣.参考答案 以类K话说同凳瑣【例II求解】Ml的乐物之称卉零廣便4一粘乓0且1 *| 2 透 D 槌示=(x+9)-55.卩6誉为侖ft*设n-2* * 1,为大于殳的ft-W1/*i4 +(*+ P.曲于貝骼+1)-4敲就為禾件乎0康若”为偶數，期町设”戍” m直+2为大于I时自第歿*当-牡理可号J.-(2I-1) + +4/rF= Sj1 11 jjf+ 2LO. LZ S IK81-1 n?n- m.0. 25a 山笳*(-0 】E5).IL 对 11. 一* IX 2214. 3? 75槿;k,车靖设式“u.由党HI 塑收的。牛敵出人代较式區G営纳陕为規牛敷叩報大的 6 从体考血* 只亞崭5昇$敢53. “.100世50牛敷離衣代人毎一艷中 隹可健和犷值的和豹大值15. D Iti. D 1T. B 1 筑 ISTJ+3-b &*)0-S4.|(ijfi4-9+lD27.19. Il)示 “-IS+ i-10a-506