向量基本定理

1、二、平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数入、d使 a=入ei+ M2.其中，不共线的向量ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组题型分类深度剖析题型一平面向量基本定理的应用例 i (i)在梯形 ABCD 中，AB / CD, AB= 2CD, M , N 分别为 CD ,2. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘及向量的模设 a= (%, yi), b= (X2, y2)，则a + b=, a b=,冷=, |a|=.(2) 向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设 A

2、(Xi, yi), B(X2, 丫2)，则 AB=, |AB|=.3. 平面向量共线的坐标表示设 a= (xi, yi), b= (X2, y2)，其中O.a、b 共线？ .【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(I)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()若a, b不共线，且 Aia+ pib= 滋+比b,贝U入=d m= 2()(3) 平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()xi yi若a = (xi,yi),b= (X2,2),则a / b的充要条件可表示成 打=訂()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是

3、向量终点的坐 标.()BC的中点，若AB= XM + maN ,贝V X+卩等于()i 234A. B. C. D.f i f(2)如图，在厶ABC中，AN = 3NC , P是BN上的一点，若 AP = mAB + IiAC，则实数m的值为思维升华(I)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该 基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.(i)在平行四边形 ABCD 中，AB = ei, AC = e2, NC = |ac,BM = MC，则 MN =.(用 e

4、i, e2表示)如图，已知AB = a, AC= b, BD = 3DC，用表 示 AD则 Ad题型二 平面向量的坐标运算baD c例 2(i)已知 a = (5, 2), b= ( 4, 3)，若 a 2b+ 3c= 0，贝U c等于()考点自测快速薛答自查自纠AB同方向的单位向量坐标为已知点 A(i,3), B(4, I)，则与向量已知梯形 ABCD，其中AB / CD，且DC = 2AB,三个顶点 A(i,2),B(2,i), C(4,2)，则点D的坐标为 .命题点2利用向量共线求参数I. 设ei, e2是平面内一组基底，那么()A .若实数Xi,沧使入ei+ 矗=0,贝V入=A= 0B

5、 .空间内任一向量 a可以表示为a= Xei + Xe2(X, X为实数)C. 对实数X, X, Xei + Xe2不一定在该平面内D. 对平面内任一向量 a,使a = Xei+ Xe2的实数X, X有无数对2. 已知向量 a= (2,3), b= ( i,2)，若ma+ nb与a 2b共线，则 晋=3. 在?ABCD 中，AC 为一条对角线，AB = (2,4), AC = (i,3)，则向量 BD的坐标为.n4. 设 0v 0，向量 a = (sin 2 0, cos 0), b= (cos 0, i)，若 a / b,则ta n 0=.5. (教材改编)已知?ABCD 的顶点 A( i

6、, 2), B(3, i), C(5,6),则顶点D的坐标为.答案(i,5)思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计 算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过 程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.dV (i)已知点A( 1,5)和向量a= (2,3),若AB = 3a,则点B的 坐标为()A. (7,4) B. (7,i4)C. (5,4) D. (5,i4)在 ABC中，点P在BC 上,且BP = 2PC,点Q是AC的中点，若PA=(4,3), PQ= (i,5)，则 BC等于()A . ( 2,7) B . ( 6,2i) C. (2, 7)

7、 D . (6, 2i)题型三向量共线的坐标表示命题点i利用向量共线求向量或点的坐标例 3 (i)已知平面向量 a = (i,2), b= ( 2, m),且 a/ b,贝U 2a+ 3b=例 4 右二点 A(1, 5), B(a, 2), C( 2, 1)共线，则实数 a 的值为.命题点3求交点坐标例5 已知点A(4,0), B(4,4), C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1) 利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用"若a= (x!, yi), b= (X2, 丫2)，则a / b的充要条件

8、是xiy2 = X2yi ”解题比较方便.(2) 利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为扫(氏R)，然后结合其他条件列出关于入的方程，求出 入的值后代入 沧即可得到所求的向量.(3) 三点共线问题.a, b, c三点共线等价于AB与Ac共线.匣心门应卞 设OA = (-2,4), OB = ( a,2), OC = (b,0), a>0, b>0, O 为坐标原点，若 A, B, C三点共线，则8.已知向量 OA= (3， 4), OB = (0， 3), OC = (5 m, 3 m), 若点A, B, C能构成三角形，则实数 m

9、满足的条件是 .9 .已知 A(1,1), B(3, 1), C(a , b).(1)若A , B , C三点共线,求a , b的关系式； 若AC= 2Ab ,求点C的坐标.10 .已知点 O 为坐标原点，A(0,2) , B(4,6) , OM = hOA + tzAB. 求点M在第二或第三象限的充要条件； 求证：当t1= 1时，不论t2为何实数，A , B , M三点共线.B组专项能力提升(时间：15分钟)11.已知向量 a= (2,3), b= ( 1,2),若(ma+ nb) / (a 2b),则罟等于 ( )1 1A . 2 B . 2 C. 2D.212 .已知两点A(1,0) ,

10、 B(1,1), O为坐标原点，点C在第二象限，且/ AOC =135°,设 OC = OA+ OB(入 R),则入的值为.13 .已知 ABC和点M满足MA + IMB + MC = 0.若存在实数 m ,使得AB+ AC= mAM成立，贝U m=14 .如图所示,A , B , C是圆O上的三点，线 段CO的延长线与BA的延长线交于圆 O外的一 点D,若OC= mOA + nOB ,贝U m + n的取值范围 是.+ 1的最小值为.a b思想与方法系列11 .解析法(坐标法)在向量中的应用典例(12分)给定两个长度为1的平面向量OA和：厂Ob，它们的夹角为 ¥如图所示，

11、点c在以o为TTTOA圆心的AB上运动.若OC= xOA + yOB，其中x,y R，求x+ y的最大值.思想方法感悟提高方法与技巧1. 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向 量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.2. 根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标 或参数值.失误与防范1. 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.X1 V12. 若a= (X1, y1), b= (X2, y2),贝y a/ b的充要条件不能表示成 耳=y, 因为X2,

12、y2有可能等于0,所以应表示为X1y2 X2y1 = 0.A组专项基础训练(时间：35分钟)1如图，设O是平行四边形 ABCD两对角线的交点，“:给出下列向量组：ABAD与AB :灵与BC；CA与De ；Ob与OB.其中可作为该平面内其他向量的基底的是()A . B . C . D.1 32 .已知平面向量 a = (1,1), b= (1, 1)，则向量a劳 等于()A . ( 2, 1) B . ( 2,1) C . ( 1,0)D . ( 1,2)3 .已知 a= (1,1), b= (1, 1), c= ( 1,2),则 c 等于()13133131A . a+b B.ab C. a bD.a + qb4 .已知向量 a= (1,2), b= (1,0), c= (3,4).若 入为实数，(a + 呵 / c,则入等于()1 1A.4B.2 C. 1 D . 25. 已知 |OA|= 1 , |OB|= . 3, OA OB = 0,点 C 在/ AOB 内，且OC与OA的夹角为30°设OC = mOA + nOB(m, n R)，则号的值为()5A. 2B.2 C. 3 D. 46. 已知A(7,1), B(1,4),直线y