娄荣兰(与南通同行培训实践作业2015.8.26)

1、转化一种完美的数学思想与方法一个故事：问题一是水龙头，空水壶，火源，怎样烧开一壶水？物理学家的 方法是打开水龙头， 把水壶装满水， 放到火上烧开。 数学家的方法和物理学家的 方法一样。 问题二与问题一唯一不同的是水壶里已经装满水。 物理学家的方法是 直接把装满水的水壶放到火上烧开， 数学家的方法是把水壶里的水倒掉， 转化成 第一个问题。 这虽然近乎一个笑话， 但它至少说明一个问题， 即转化的思想在数 学上有多么重要。苏教版数学课本上渗透及应用转化思想与方法的内容非常多： 计算小数乘法 时，把小数乘法转化成整数乘法； 计算异分母分数加减法时， 通过通分把异分母 分数转化成同分母分数再进行加减法计

2、算； 计算分数除法时， 把分数除法转化成 分数乘法； 推导平行四边形面积公式时， 是把平行四边形转化成长方形； 推导三 角形、梯形、圆的面积计算公式时，是把三角形、梯形、圆转化成平行四边形； 计算复杂图形的面积与周长， 把复杂图形通过平移、 旋转等方法转化成简单图形； 把分数乘法的实际问题转化成份数问题更好理解； 把一些数学计算问题转化成图 形一目了然下面以圆的面积推导为例来看教材是如何渗透并运用转化的策略把圆的面 积公式推导出来的。把圆平均分成16等份的扇形（或32等份、64等份） 之后把这些扇形拼成近似的平行四边形， 平均分的份上越多， 拼成的图形越接近 长方形。这时长方形的面积与圆的面积

3、相等，长方形的长等于圆周长的一半nr,长方形的宽是圆的半径r,长方形的面积是长乘宽，圆的面积就等于nrxr=nr2, 这样就通过把圆转化成长方形推导出了圆的面积公式。想起在平行四边形面积的教学中学生灵活运用转化策略解决问题和老师的 所谓新视觉及我的思考：拨开迷雾看本质关于“平行四边形的面积”的教学与朱蕾老师商榷打开2009年第5期小学教学，一篇题为“平行四边形的面积”的教学 新视角的文章吸引了我的注意。我也教过这个内容，不知朱老师会如何设计、 新在何处呢？带着疑问， 拜读数遍， 发现朱老师的设计确实有独到之处， 现摘录 片段如下：师：你们能把这个平行四边形转化成长方形吗?生：只要沿着高剪，把剪

4、下的图形平移一下就行生：把这个平行四边形横过来，再沿着它的高去剪，然后就能拼成长方形。师：这个方法也可以。如果不旋转呢?生：延长底边。师：怎么延长?师：看来通过平移，这个特殊的平行四边形也能沿着高剪拼成长方形。当然还有别的方法，比如横着切分成多个平行四边形，也可以使每个平行四边形的高落在相应的底上，而不是在它的延长线上。现在我们来比较一下，转换后的长方形和原来的平行四边形有什么关系?对朱老师的独特设计我非常感叹，但对所谓的“新”视角及其实施过程，我 却不敢苟同，具体阐述如下：一、课堂生成的价值把握与处理师：这个呢?生：把平行四边形再移一个出来。（组图4）对于老师所出的特殊情况图3,学生说“把这

5、个平行四边形横过来， 再沿着 它的高去剪，然后就能拼成长方形。”这个学生把一个看起来是特殊类型的图形， 让他“横过来”，就把它转化成前面讨论过的一般图形。他用了数学上一个非常 重要的思想即“转化” 。是呀，前面讨论一般平行四边形的面积的时候，不是把 平行四边形转化成长方形的吗， 活学活用，把特殊平行四边形转化成一般平行四 边形，不就回到原来的已解决的问题上来了吗！ 因此，这个学生应该受到大大的 表扬，而不仅仅是“这个方法也可以”的评价！老师应该具备准确把握课堂生成 的价值与正确处理预设与生成关系的调控能力。退一步说，老师让学生不通过旋转， 从而进入下一环节所预设的看似巧妙但 很繁琐的过程， 最

6、后不还是要通过转化来完成吗？数学是简约的科学， 能通过非 常简单的转化就能解决的问题， 为什么还要去绕那么大的一个圈子呢？如果绕一 个大圈子能给学生渗透新的数学思想方法， 那绕这个大圈子是值得的， 否则，要 我说，打住，学生的回答已经太完美了：转化！是的，一个多么简约美妙的思想 与方法。也许朱老师在预设时没想到学生会如此高明， 能立刻把未知转化到已知， 所以只得沿着自己的教案走， 即不给你旋转， 不给你转化， 看你怎么办？你一定 要找到办法，走到我指定的路子上来。或者老师太钟情于自己原来的“完美”预 设：是的，现在高不落在底上，又不给你旋转，看你还怎么剪？这个认知冲突创 设的实在高明，又通过“

7、再平移一个出来”巧妙解决，真有“山重水复疑无路， 柳暗花明又一村”的感觉。只是我想，这个认知冲突创设的是否有必要。转化是 一种重要的数学思想，也是一种通适的数学方法， 平行四边形的面积推导要转化， 以后学到三角形的面积推导，梯形面积的推导，圆形面积的推导都需要把未 知转化为已知。而后一种情形，虽然也很巧妙，但只适用于图3的情况，它就不 是一种通适的方法，仅仅可以称为一种“术”而已。然而，数学教学是教给学生 一种“术”重要，还是渗透一种思想更重要？二、方法与思想的把握与处理 其实，“如果不旋转呢”这句话不应该老师来说，因为显然，旋转的方法太 完美，太巧妙了， 有简洁的方法可用， 老师为何还非得带

8、学生绕一个大圈子再回 到老路上来呢？而如果是学生有这个疑问， 非常好， 这时， 老师可以启发这个学 生试试看。如果学生试不出来，老师不妨再引导，得出结果，让有疑问的学生消 除疑问，经历属他独有的探索过程。 当然，重点应放在鼓励学生的质疑问难和勇 于探索上，而不是纯粹为了得到另一种复杂方法。然后，作为老师， 还有一个工作要做： 即引导学生分析通过旋转把未知转化 成已知这种方法的简捷；如不旋转，虽然也可求得所要结果，但方法明显繁琐， 最后还是需要用转化思想。 让学生比较两种方法异同， 再进行择优选择， 这就是 培养学生优化的策略了。即有了方法的多样化， 还要引导学生进行优化。 并不是 方法罗列的越

9、多越好， 越难越好，教师有责任帮学生优化方法策略， 这才是教师 引导者地位的体现！ 舍易取难， 如何体现方法优化， 如何体现数学的简约之美？本课时需要给学生重点渗透的是转化思想， 通过剪，把图1变成图2是转化， 把图3通过旋转变成图4同样也是转化。另外，对于把图3转化成图4，是把未 知转化为已知，这种方法更易于学生接受， 而通过不旋转或平移或横着切分的方 法都太过繁琐， 操作和理解起来都相对更难， 不易被大多数学生接受。 所以我认 为，与其浪费大量宝贵的课堂时间带所有学生绕那么多弯路， 不如把这些留在课 后给有兴趣又学有余力的同学完成。三、预设与输出的把握与处理 既然繁琐，那老师备课时可以不必

10、考虑了吗？即老师的繁琐方法有无必要？ 答：当然有必要。所有可能情况都是老师必须考虑到的，要教给学生一滴水，老 师就要预备一桶水， 但老师储备的一桶水， 并不需要都灌给学生， 应该让学生按 需取用。如果实在没有学生问“如果不旋转呢” ，而老师又实在不舍的把费了九牛二 虎之力搞出来的复杂东西舍弃，放在课的结尾也未尝不可。放在结尾，作为“你 知道吗”的知识介绍给学生，理解不了的学生完全没有必要掌握这种繁琐方法， 有兴趣探根寻源、 质疑问难的同学自会在课后去验证， 看老师介绍的别样方法是 否真的有效。这样通过让学生了解，给学生一种新的途径与方法，或启迪，或拓 展，或拓宽学生视野。 如此，也符合课标 “

11、不同的学生学习不同的数学” 的精神。四、表面与本质的把握与处理表面上看，图1的高落在底上， 可以直接沿着高剪， 图3的高不落在底上而 在底的延长线上， 不能直接沿着高剪， 所以图1和图3是两种情况。因此也许有 的老师会说，只考虑图1这种情况然后推导出平行四边形的面积公式是不完全归 纳，为了让不完全归纳更完全，除了一般，还有特殊图形即图3。对于这样的说 法，我认为，图3可以通过旋转转化成图1，那么它们就是同一种类型而不能看 成两种类型。我站着是我，难道我躺下就是另一个人了吗？另外，我猜想， 朱老师之所以不给学生旋转转化， 不知是否是考虑平行四边 形的两条邻边是a和b,本来是把它的一条边a当成底，

12、与a对应的高（hl）不 在a上而在a的延长线上， 是不好直接通过剪的方法转化成长方形从而推导出平 行四边形的面积公式的，所以只好怎样怎样。如果像学生所说，横过来，那么就 不是以a为底而是以b为底了，咼也不是hl而是与b对应的咼h2了。我要冋， 为什么a能当底而b就不能呢？平行四边形并没有规定必须哪条边当底呀。随着学生学习的深入， 当他们学过三角函数以后， 就会知道， 平行四边形面积还可以 用公式S=absn/A（/A是平行四边形两条邻边的夹角，其中h1=bsin/A, h2= asin/A）来计算，和谁当底一点关系也没有。所以我们现在非得要强调以哪条边为 底也是完全没有必要的。 既然没必要强调以哪条边为底， 那么学生的直接旋转把 未知转化成已知的方法来推导公