2015恒星结构与演化2020

1、恒星结构与演化(2020.2-2020.6)第2部分恒星物理罗新炼仙林校区天文楼521房间： xlluo 89685982状态方程辐射传能第2部分恒星物理对流传能核过程与辐射、热传导传能相比，对流传能很不一样存在有物质的整体运动。3湍动对流的统计理论对流传能的混合长理论对流超射区和半对流流体元的振动不稳定性对流发生的熵判据对流和对流传能4进一步补充完成 Mixing-Length Theory 5 对生的条件！具体来看对流传能！6讨论logW-logU图极限情形混合长方程的解对流效率无量纲方程组和各特征物理量的求解方法和步骤混合长理论的基本方程组Fcon的表达式混合长理论的基本图象对流传能的混

2、合长理论 U is the mean vcelohciatyroaf tchetfeluridi(sStI iuncitsd: mi/ms).kinematic viscosityension= U / cs convection remains a weak point in the theory of stellar evolution.7 在动力学不稳定的区域，温度不同的物质层之间，宏观上相互交换流体元（或气泡）：热气泡向上，冷气泡下沉。运动的流体元最后总会在它的新环境下，与周围物质完全混合，以此来传递它过多的热量或者从周围介质吸取它不足的热量。此过程总效果就使得能量通过物质对流的方式从

3、内部的高温区流向外层的低温度，这就称为对流传能。 严格处理对流和对流传能非常。因为星体内物质处于高度可压缩的气体状态中，湍流运动转移着巨大的能量。对湍流的本质及其规律仍未很好的了解。混合长度 convection remains a weak point in the theory of stellar evolution.11难，弱点基本图像混合长(mixing-length)理论的基本图象 对流理论，星风损失质量和热核反应率的不确定是影响恒星演化理论研究的三大。 (也有提旋转) 计算恒星内部结构和演化的对流理论很多，可分为两大类：一种为混合长理论，另一种为湍动对流的统计理论。 混合长理论由

4、Prandtl （普兰特）在1925年提出，“only a rough approximation” ，后由Biermann首先应用于恒星的研究，再经Vitens(1958)等人加以发展。 混合长理论的实质：完全类比于气体的热量转移的方式而引入的一个简明的对流图象。不过，此时能量传递的基元不是，而是宏观的质元，其平均自由程称为“混合长度”（Mixing-Length），即对流元经过这个特征尺度后就在其新的周围介质中混合。与周围介质完全12理论的实质Convection is a very complex process for which we dont yet have a good the

5、oretical m 混合的特征尺度： lm 混合长度，无法从理论本身求出，仅作为可调的自由参量（与压强标高有关，lm = a Hp , a 1）。用得多的是简单的定常、局部混合长理论，其基本前提：所讨论的恒星处于流体动力学平衡之中，而且对流区域和对流整体图象与时间无关（即定常）。 如果恒星内部某位置发出的整个光度完全通过辐射(含热传导)向外转移，则恒星内部将会维持一种辐射温度梯度 Ñrad，其表达式为但如果对流也参与传递能量，则真实的温度梯度 Ñ 比Ñrad 小 。 具体来计算 ÑÑ=3k l(r) Prad16pacGmT 4L(r) =

6、F= - 4ac T 3 dT4p r 2rad3krdrdP =- Gm(r) rdrr2置处的总能流 Ftot = l / 4pr2，应 为 在星体内部某给F= F+ Ftotradcon其中Frad为辐射(含热传导)输送的能流，Fcon为对流输送的能流，而辐射温度梯度的定义Ñrad为：4acG T 4mFrad + Fcon= l / 4pr=Ñrad23kP r2 真正地由辐射传输的能流应为4acG T 4m=srad Ñ =ÑFrad3kP r2其中Ñ （真实的温度梯度）未知，要计算它。14 应先给出Fcon的表达式需要求出Ñ

7、;=3klP rad16pacG mT 45稍微琐碎讨论logW-logU图极限情形混合长方程的解对流效率无量纲方程组和各特征物理量的求解方法和步骤混合长理论的基本方程组Fcon的表达式混合长理论的基本图象对流传能的混合长理论6稍微琐碎 设对流元在开始运动时，仅仅是小扰，在初值近似有DT0 = 0，v0 = 0。 对流元与周围环境之间存在温度差别，受到浮力的作用，随着对流元的上升(或下沉)，DT 和运动速度 v 在不断地增加，直到经过一段距离 lm 后，这个对流元同周围介质混合并失去它的个体性质。lm称为混合长度(the mixing length)。17Ñe< ÑF

8、con的表达式 在某时刻，通过半径为 r 的某球面的各个流体元可以有不同的 v 和 DT，这源于它们可能是从不同的位置(从零到lm)开始运动。 设想一个“平均”的对流元，当它通过该球面时，已经运动了距离lm / 2，考虑到则有 the T excess1¶(DT )æöéùûúDTl=×mç÷T ëê¶rèTø21) lm= (Ñ - Ñe2 HP18¶1nP = 1 ¶p= 1 dp= - 1 ¶

9、;rP ¶rPdrHPDT = éæ dT ö -æ dT ö ùDr = - T(Ñ -Ñ)Drêç dr ÷ç dr ÷ úHeëèøeèøs ûP （现有的理论）假设这个流体元在定压条件下将热量释放出来。 照前面分析，流体元在路途中辐射损失的能量几乎可以忽略（绝热）， 只是运动到对流条件不再成立的位置的热量以后逐渐，最后与周围介质混合，消失时，才把热量出来。的热量主要是由流体元与周

10、围介质温差 DT 造成，的热量为 DP = 0 adj1/adÑQ = cp DTæ DT ö = (Ñ - Ñ ) lm1ç T÷e2 HèøP 设流体元经过这段路程的平均速度为 v流为(注意，温差DT也应取平均值)，则传递的能量= rvcp DTFcon质量流体的能量元ÑQ = c DTprv物质流v20对流传输的能流大小与流体元的平均速度 v有关。： 质元的运动是受到浮力作用，使其上升。体积流体元所受浮力为，f = -g Dr ，其中g = G m / r2为局部 的重力元运动的起始位置，

11、内外物质密度相同，而经过距离内、外物质密度差为度。在流体lm 后，流体元éæ d r ö-æ d r ö ù = léæ d r ö-æ d r öùDr = lm êç dr ÷ç dr ÷ úm êç dr ÷ç dr ÷úëèøeèøs ûëèøadè&

12、#248;û 如果化学物质均匀（对流区，D = 0），另外始终处于与外界压强平衡状态 DP = 0，有æ Dr öæ DT ö1lmçç÷÷ = -d çç÷÷ = -d (Ñ -Ñe ) H.2rTèøèøp21æ DT ö = (Ñ - Ñ ) lm 1ç T ÷e 2 HèøP平均速度的估计d ln r = a ×

13、; d ln P -d × d ln T +j × d ln m 在运动过程中，流体元不断地受到浮力作用，与当地的气泡内外物质密度差成正比。流体元在上升经过距离lm过程中，其中每克物质所度(方向为径向向外)可近似表为受的平均浮力，即平均的lma = f / r = -g Dr / r = gd (Ñ - Ñ)e2Hp 前面已假定：在某时刻, 对一个给定的球面 r处来说，这个“平均”的流体元在通过它之前已经运动了lm/2的距离。并假定在这段路程上的运动近似为匀运动，其平均度为a，因初速为零。在到达球面时，运动速度为v=2aæ lmö&#

14、231; 2 ÷mèø22f = -g Dræ Drö1 lç÷ = -d(Ñ - Ñ ). mç r ÷e H2èøplm2H pa = gd(Ñ - Ñ )e12v = 在运动过程中平均速度为，于是有æ l övmvm =2aç m ÷è 2 ø于是得到对流转移的能量由局部物理量决定。（将宏观过程，非局域对流行为局域化）234acG T 4m Frad = s rad Ñ

15、=3k P r2 Ñ接下来构造混合长理论的基本方程组。F=s(Ñ - Ñ )3/ 2concone=(Ñ - Ñ )3/2 e2rc Tgd lmH -3/ 2p42P太阳内部 v 4.1´102 cm s-1, 约200天时间可以传出太阳表面。问：如何估算？v =lméë gd(Ñ- Ñ ) / H ù1/ 222ep ûFcon = rvcp DTDT = éæ dT ö - æ dT ö ù Dr = - T

16、(Ñ - Ñ). lmêç dr ÷ç dr ÷ úHe2ëèøeèøs ûP24讨论logW-logU图极限情形混合长方程的解对流效率无量纲方程组和各特征物理量的求解方法和步骤2s= r c Tgd lmH -3/ 2conp42P混合长理论的基本方程组Fcon = s con (Ñ -Ñe)3/ 2Fcon的表达式混合长理论的基本图象4acG T 4m Frad = s radÑ =3k P r2 Ñ对流传能的混

17、合长理论Ñe流体元内部温度 Te 的变化: 由两个因素引起1） 流体元的绝热膨胀或压缩；2） 通过辐射与周围介质交换能量。（假定对流元直径为d，表面积为S， 体积为V） 流体元在时间通过表面辐射的总能量, Le (是由于流体元同其周围介质的温度差别引起)为 因辐射（与周围介质交换能量）造成的温度变化æ ¶Te= ¶Tedt = 1 ¶TeöLerVc v» -ç ¶r÷¶tdrv ¶tèøLp25rVc¶Te = -LP¶te混合长理论

18、的基本方程组 因此，每上升距离对流元温度下降的总梯度为æ dT ö= æ dT ö+ æ ¶T ö= æ dT öLerVc v-ç dr ÷ç dr ÷ç ¶r ÷ç dr ÷èøeèøadèøLèøadp其中, 第一项是由于流体元绝热膨胀或压缩过程产生的温度梯度，第二项则是因流体元向外辐射或吸收辐射造成的温度梯度。等式两边同时乘以 -

19、HP / T，换为以压强P作为自变量，有Le H pÑ- Ñ=rVc vTeadP代入右边两式，可得Ñ - Ñ2acT 3l 2 S= ead ( m)dVÑ - Ñ3kr2c vePmæ DT ö = 1 é¶(DT ) ù × lm = (Ñ - Ñ ) lm 1ç T ÷T ëê¶rûú 2e 2 HèøP8acT 3S Le = sf » 3kr D

20、T dH= -drPd ln pæ ¶Te ö = ¶Te dt = 1 ¶Te » -Leç ¶r ÷¶t drv ¶trVc vèøLpl 2 S( m)其中称为对流元的“形状因子”(form factor)。对球形对流元dV2 1 l3æ l ö为，若将对流元的半径取为有d3ç d ÷mmèø关于混合长度 lm 未作任何物理讨论，目前没有有效的方法来确定。在一般的对流理论中，把它当作可调节的自由参量。

21、通过适当取值， 使最后理论结果能够同恒星演化的观测比较。一般认为：对流方式转移热量主要是由最大的对流元（其尺度 lm3 ）来进行的，在它们消失之前，它们运动距离大致同它们的直径差不多。Ñ - Ñ6acT 3 ead =Ñ- Ñkr2c l veP mÑ - Ñ2acT 3l 2 S ead =( m )Ñ - Ñ3kr2c vdVePm至此，为寻求五个未知量Frad，Fcon，v，Ñ 和Ñe，得五个方程，了。只要其中各个局部的物理量如压强P，温度T，密度r，以及定压比热c ，物质质量m(r)，总

22、光度l (r)，绝热温度梯度Ñ ad，辐射温度梯度Ñ rad和重力度g能够预先给定，则可以来求解，其中混合程长度 lm 则完全是假定的可调参量。28混合长理论的基本方程组Ñ= Pdadc TrPÑ=3klPrad16pacG mT 4H= -drPd ln p24acG T 4m(r)Ftot = Frad + Fcon = l(r) 4pr=3kP r2Ñrad4acG T 4m Frad =srad Ñ =3kP r2 Ñv = lméë gd(Ñ - Ñ ) / H ù

23、1/ 222ep û3/ 2l 2-3/ 23/ 2Fcon =scon (Ñ - Ñe )= rcpTgd m HP(Ñ - Ñe )42Ñ - Ñ6acT 3 ead =Ñ - Ñkr2c l veP m小结求解方法可以借鉴讨论logW-logU图极限情形混合长方程的解对流效率构造太复杂无量纲方程组和各特征物理量的求解方法和步骤混合长理论的基本方程组Fcon的表达式混合长理论的基本图象对流传能的混合长理论为简化问题，引入两个无量纲量：W º Ñrad - Ñad9 s3a

24、cT 38HU = rad P gd8 sc r2kl 2conpm其中 W 表示辐射温度梯度与绝热温度梯度的差值(超出)。在对流区，W总为正值。U 的意义后面叙述。 注意：只要给定混合长lm，利用给和W。置处的局部物理量就可以来计算出U303/ 2l2-3/ 23/ 2Fcon = s con (Ñ - Ñe )= r cpTgdmHP(Ñ - Ñe )424acG T 4m Frad = s rad Ñ =3k P r2 Ñ无量纲方程组和各特征物理量的求解方法和步骤将对流元平均运动速度gd (Ñ - Ñ ) /

25、 H1/ 2lmv =ep22代入基本方程中的一个Ñ - Ñ6acT 3= ead Ñ - Ñkr2c l veP m中，并利用U的定义，得更简洁的方程v约掉31Ñe - Ñad= 2UÑ - Ñe3acT 38HU = P c r 2kl 2gdpm利用星体满足的静力学平衡方程即标高的定义式将代入32Ñe - Ñad = 2U Ñ - Ñe4acG T 4mFrad + Fcon =3k P r2 Ñrad2F= r c Tgd lm H -3/ 2 (Ñ

26、; - Ñ )3/ 2conp42Pe4acG T 4mFrad =3k P r2 ÑHº -dr= -P drpd ln PdPH -1 = gr PpdP = -r Gm = -r g drr 29 s3acT 38H U =rad =P8 sc r 2k l2gdconpm可得另一个简明方程推！极易这样，从混合长理论的基本方程组的5个方程中约去了Frad，Fcon和涉及Ñ 和Ñe的两个方程。v，得到仅。3333Ñe - Ñad = 2U Ñ - Ñev =lmgd (Ñ - Ñ

27、) / H 1/ 222ep2F= r c Tgd lm H -3/ 2 (Ñ - Ñ )3/ 2conp42Pe4acG T 4mFrad =3k P r2 Ñ接下来将通过做适当的变量变换，将方程分离开来进行求解(Ñ 和Ñe)(Ñ - Ñ )3/ 2 = 8 U (Ñ- Ñ)e9radÑe - Ñad= 2UÑ - Ñe求解(Ñ 和Ñe)。在（1）式的左端。可改写为Ñe - Ñad = Ñ - Ñad-

28、(Ñ - Ñe ) ，另外从各种温 度梯度大小间关系式可知， Ñ - Ñ ad 0 和 Ñ - Ñe 0。这样，方程（1）可看为(Ñ - Ñe )1/2的二次代数方程()2Ñ -Ñe+ 2UÑ -Ñe - (Ñ -Ñad ) = 0其解为Ñ - Ñe º -U +x其中x 2= U 2 + Ñ - ÑadÑe - Ñad = 2UÑ - Ñe（1）(Ñ -

29、Ñ )3/ 2 = 8 U (Ñ- Ñ)（2）e9radÑrad > Ñ > Ñe > Ñad 可将 x 作为一个新的将变量, 且只能取正根。代入（2）变量 x 的三次代数方程可得到关于新的8U (-W )= 0()3x -U+x-U229要从这个三次方程中寻求满足条件：x - U > 0，即使x > 0有意义的解。35Ñ - Ñe= -U + xx 2 = U 2 + Ñ - ÑadW º Ñrad -Ñad(Ñ

30、- Ñ )3/ 2 = 8 U (Ñ- Ñ)e9radÑ - Ñe= -U + x三次方程必定有一个实根，但它必须满足 x > U 才是有物理意义的解。当满足条件x > U的上面三次方程的解求出后，可以计算给出Ñ 和ÑeÑ = Ñad + x-U22Ñe = Ñ - (x - U )= Ñ+ 2U (x - U )2adÑ是对流区介质的平均温度梯度，由上式明显可见Ñ Ñe Ñad 。至此，对流区的辐射能流和对流传能速率和对流

31、元的平均运动速度都可以求解出来。4acG T 4m Frad = s rad Ñ =3k P r2 Ñv = lm gd (Ñ - Ñ ) / H 1/ 22 2ep2F= s(Ñ - Ñ )3/ 2 = r c Tgd lm H -3/2 (Ñ - Ñ )3/ 2conconep4 2PeÑ - Ñe = -U + xx 2 = U 2 + Ñ - Ñad(x -U )3 + 8U (x 2 -U 2 -W )= 0937讨论logW-logU图极限情形混合长方程的解对流效

32、率无量纲方程组和各特征物理量的求解方法和步骤混合长理论的基本方程组Fcon的表达式混合长理论的基本图象W º Ñrad -Ñad9 s3acT 38H U =rad = P Ñ = Ñ+ x 2 -U 28 sc r 2kl 2gdadconpmÑe = Ñ - (x - U ) = Ñ ad + 2U (x - U )24acG T 4m Frad = s rad Ñ =3k P r2 Ñv = lm gd (Ñ - Ñ ) / H 1/ 22 2ep2F= s(Ñ

33、; - Ñ )3/ 2 = r c TgdlmH -3/2 (Ñ - Ñ )3/ 2conconep4 2Pe(x -U )3 + 8U (x 2 -U 2 -W )= 09对流传能的混合长理论对于给定了温度梯度差W = Ñrad - Ñad后，对流状况完全取决于无量纲 参量U 。从U的定义知U实质上是两种能量转输方式的“传导率”的比值。138F= s(Ñ - Ñ )3/ 2concone9 s3acT 38H U = rad = P 8 sc r 2kl 2gdconpmF= sÑ1radrad对流效率(x -U

34、 )3 + 8U (x 2 -U 2 -W )= 09对于给定了温度梯差W = Ñrad - Ñad后，对流状况完全取决于无量纲 参量U 。从U的定义此外，U 还可近似理解为另一种比值。 用tff 表示质元自由下落，通过距离HP， 即2标高的所需时间。如果在 Hp范围内把重力度 g 近似看为不变，则这个运动，它通过的路程满足HP = ½ g t2，自由下落为匀ff于是有tff = (2 HP / g) ½ 。 将它同对流体元在运动过程中向周围介质因辐射或热传导散发热量的热调节时标tadj相比较， 有39trVcp DTkr c d流体元过多的热量22=p

35、= tadjL16acT 3流体元的光度KH e¶(DT ) = - DT¶tt adj9 s3acT 38H U = rad =P8 sc r 2kl 2gdconpm对流效率t ffd 23U =d tl 28adjm通常d 1（量级，理想气体为1），d lm， 则tU fftadjU的定义式和上式都显示出无量纲参量U表示着对流传能方式的效率。如果U << 1，表示通过辐射方式传递的能量流很少，或散热速率很慢，热调节时标很长，绝大部分的能流是通过对流方式来进行的，即这时为高效率对流。反之，若U>>1则表示对流效率非常低。40U = 9 s rad

36、8 s cond = -æ ¶1nr öç ¶1nT ÷èøP,m is often called “the efficiency of convection”, it is related to the Peclet number Pe 人们引入另一个与U 有关，但更为直接反映对流效率的无量纲量 G，其3定义为(Ñ - Ñ)1/ 2Ñ - ÑG º=e eÑe - Ñad2U很容易分析上面第二个等式右端的与分母的意义。对于一个半径约为lm /l

37、m / v 的球形对流元。其所含热能为eth2，截面为 A，体积为 V，= rVcpT，由为 tl= Letl HP= (Fcon A)tl× 4HPÑ-ÑÑ -Ñeadeee3lthmthm41æ DT ö = 1 é¶(DT ) ù × lm = (Ñ - Ñ ) lm1ç T÷T êë¶rúû2e2 HèøPÑ - Ñ=Le H peadrVc vTP

38、Fcon = rvcp DTÑe - Ñad = 2U Ñ - Ñe于是4FA对流传输的能量G =»con3Le辐射(或热传导)损失能量即，对于平均的对流元来说， G 表示对流的效率。对于密度很高的流体， G 值非常大，U值很小，此时辐射能量损失远远低于对流传能。（主要对应恒星内部区域）在低密度区域，辐射能量损失相当可观，以至于即使是非常剧烈的对流，对于能量传输而言也是无效的。对流泡中过多的热量几乎全部都是在运动的路途上通过辐射散失在周围介质中，而冷却到DT 0。此时 G 值非常小，U值很大。尽管此时对流对于能量转移不重要，但对于内外物质成分的

39、交换，仍是非常重要的，它可以把在恒星内部核变光球的大气成分。产生的重元素带到表面附近，改42Fcon = rvcp DTÑ -Ñ= Let l HP eadethl m(FA)t4HÑ -Ñe =conl ×Peth3lm(Ñ -Ñe )Ñ -Ñ1/ 2G º=e2UÑe -ÑadU = 9 s rad8 s conU t fft adj9 s rad3acT8H3U =P8 sc r 2kl2gdconpmÑ>Ñe 对 流Variation of

40、the convective efficiency = Pe / 6 in the outer solar layersPeclet numberThe convective efficiency tends toward zero at the surface44完成The acoustic flux is significant only in a limited zone close to the surface, where the convective velocity is the highest. In the envelopes of red supergiants, the

41、acoustic flux is much more important; in this case the pressure of turbulence needs to be accounted for in the mechanical equilibrium. 与U类似，也可以表述为对流元的两种特征时标之比。一个时标为对流元t，另一个时标为对流元与周围介质的热调节时标tadj。从的得= 2 t adjÑ - ÑeG =t lÑe - Ñ ad推导略！tl = lm / vkr 2c d 2rVc DTt=p=padj16acT3Leæ

42、DT ö = 1 é¶(DT ) ù × lm = (Ñ - Ñ ) lm 1ç T ÷T êë¶rúû 2e 2 HèøPÑ -Ñ = (Fcon A)tl × 4HP ee3lthmÑ -Ñ= Letl HP eade lth mFcon = rvcp DTU << 1，高效率对流。U>>1 ， 对流效率非常低。G >> 1，高效率对流。G <

43、;< 1 ， 对流效率非常低。46讨论logW-logU图极限情形混合长方程的解对流效率无量纲方程组和各特征物理量的求解方法和步骤混合长理论的基本方程组Fcon的表达式U = 9 s rad8 s cont ffU tadjG = Ñ - Ñe= 2 t adjÑe - Ñ adt l混合长理论的基本图象对流传能的混合长理论U 值（或 值）取非常大和非常小时的极限情况。注意：所有温度梯度都是有限的，除Ñrad 之外，其它温度梯度都小于1。另外，按照绝热过程热力学量间变化关系有，对于整体处于平衡态的恒星， 2 1，于是有= G2 -1 &l

44、t; 10 < ÑadG2另外利用 的定义，可将47(Ñ - Ñ )3/ 2 = 8 U (Ñ- Ñ)e9radÑ - Ñe = -U + x(Ñ -Ñ )1/ 2 Ñ -ÑG ºe=e2UÑe -Ñad极限情形混合长方程的解U = 9 s rad8 s con改写为( Ñ - Ñe ) = (Ñe - Ñad)9Ñrad- Ñ =G(Ñ - Ñe )4由此可见 和 U，

45、实质上是等价。讨论两种极限情形：1）U0（或 ）：此时，对应于Ñe Ñad和Ñ Ñad 。此时，虽然流场(周围介质)的温度梯度Ñ仅略微高于绝热温度梯度Ñad，但它已足以输送恒星内部发出来的全部能量（光度）。在恒星内部密度非常高的中心部分就是这种情形。此时不必求解混合长方程， Ñ Ñad ，已经求出 ，因而也引起理论的不确定性。也就是说，如果恒星存在对流，这种非常简单的混合长理论也就足够了。应用：完全对流的恒星Ñrad > Ñ > Ñe > Ñad(Ñ

46、; -Ñe )Ñ -Ñ1/ 2G º=e2UÑe -Ñad(Ñ - Ñ )3/ 2 = 8 U (Ñ- Ñ)e9radÑ - Ñe = -U + xG = 2 t adjt(Ñ -Ñ )1/ 2Ñ -ÑG ºe=e 2UÑe -ÑadU = 9 s rad8 s conU t fft adj2 ）U （或 0）：有Ñ Ñrad（以及Ñe Ñrad ）。此时，对流的效率

47、非常低，不能够明显输运能量，所以F Frad。由于Ñ已经求出，也无需再求解混合长方程，这情形对应于恒星光球附近的区域。在两种极限均不适用的场合，问题比较难处理。如恒星的外部对流包层的上部（接近光球区），此时必须求解混合长方程， 而且求出的解一般为Ñrad Ñ Ñad ，这时称为超绝热对流（Super-adiabatic convection）。49( Ñ - Ñe ) = (Ñe - Ñad)Ñ - Ñe = -U + xÑ- Ñ = 9 G(Ñ - Ñ

48、)(Ñ - Ñ )3/ 2 = 8 U (Ñ- Ñ)eradrad4e9U = 9 s rad8 s conU t fft adj(Ñ -Ñe )Ñ -Ñ1/ 2G º=e2UÑe -Ñad9 sU =rad两种极限情形解8 s con4FA对流传输的能量G =»con U0（或 ）3Le辐射(或热传导)损失能量Ñ Ñad恒星内部密度非常高的中心部分，完全由对流传能。 U （或 0）Ñ Ñrad恒星光球附近的区域，完全由辐射传能。51G

49、 = 2 t adjt lt ffU tadj The Hayashi Line (HL) is defined as the locus in the H-R diagram of fully convective stars of given parameters (such as mass M and chemical composition) Typical temperature Teff » 3000- 5000 K, very steep lines in the right of H-R diagram The Hayashi line gives a lower l

50、imit for the Teff of stars in hydrostatic equilibrium. To the right of the Hayashiline there is no hydrostatic equilibriumconfiguration for stars. i.e. HL represents a borderline between an “allowed” and a “forbidden” region in the H-R diagram for all stars. Parts of the early evolution of stars may

51、 coincide with HL. The later evolution of stars sometimes clearly reflects the features of HL.52Hayashi track林忠四郎线(The Hayashi Line)示例 153参考Fully convective stars如质量小于0.3 M 的恒星, 恒星晚期在巨星支演化阶段(RG, AGB)以及恒星形成过程中的某些阶段(T Tauri star)，可以近似认为星体内部完全对流传能，绝热过程。Ñ = d ln T= Ñ= 0.4add ln P忽略星体内部分电离区对绝热温

52、度梯度影响，内部物质组成简化为完全电离的理想气体。 星体内部物质的状态方程完全确定了P = K rgad= K r1+1/ n ,g ad= 5 / 3,n = 3 / 2K M 1/3R知量纲分析也可以给出(Â / m )1+n T 1+nP = K -nµ T 5 / 2 R-3/ 2 M -1/ 2代入理想气体状态方程54完成推导完全类似于基于理想气体 + 完全对流恒星所得到的星体内部压强与密度的关系P = K -n (Â / m)1+n T 1+nµ T 5/ 2 R-3/ 2 M -1/ 2请补充完成星体的内部解。注意：实际上这些恒星表面存在有

53、辐射区，且外层结构直接决定了恒星的光度。56取改进后的恒星外边界(光球, 有 t = 2/3) 条件：不取幂率形式k = k0 P Tab于是光球层的压强为ö1 a+1æ MT -bP µç÷0eff2èRø57We just need to match the interior solution of fully convective ms to boundary conditions. (P = P0, T = Teff at photo-sphere)P(r = R) = GM 1 2R2k 3T =1 T021/ 4

54、effP µ T 5 / 2 R-3/ 2 M -1/ 2So, we get the relation between M, Land Teff.7-n+ b-43-n - 11n-1+µ MTeffa+1a+1 L 2a+1写为书上的形式(取 n =3/2,完全对流)= A lg L + B lg M + constant3 - n ×(a +1) -1 (n -1)×(a +1) +10.5a +1.5A =2= 0.75a - 0.25B = (7 - n)×(a +1) + b - 4 = b + 5.5a +1.5重要(7 - n)

55、×(a +1) + b - 4b + 5.5a +1.5对于恒星大气, T < 5103 K, H-不58k = k0P Tab 如取 a »1, b » 3, 有 A = 0.05, B =0.2 如取 a »1/2, b » 17/2, 有 A = 1/102, B =7/51,可见这类天体：1） 有效温度对天体光度极度不敏感 (H-R图上演化将非常陡,几乎垂直攀升);2） 对质量的依赖也非常弱,随着质量增加在H-R图上稍稍左移.All fully convective stars will therefore fall in the same cool area of the HR diagram. To the right, there is no mechanism that can adequately transport the To the left, radiation and convection transport energy.59luminosity out of the star atthose low temperature.= A lg L + B lg M + constantpre-main-sequence star(T Tauri Phase)61The importanc