高等数学下考试题库附答案

1、高等数学试卷1（下）一 .选择题（ 3 分10）1.点 M12,3,1到点 M 2 2,7,4的距离 M1M 2（） .A.3B.4C.5D.62.向量 ai2 jk ,b2ij ，则有（） .A. a bB. a bC. a,b3D. a,b43.函数 y2x2y 21的定义域是（） .x 2y21A.x, y 1 x2y 22B.x, y 1 x 2y22C.x, y 1 x2y 22Dx, y 1 x 2y 224.两个向量 a 与 b 垂直的充要条件是（）.A. a b 0B. ab 0C. a b 0D. a b 05.函数 zx3y 33xy 的极小值是（） .A.2B.2C.1D

2、.16.设 zxsin y ，则z（） .y 1,4A.2B.2C.2D.2227.若 p 级数1收敛，则（） .n 1 n pA. p 1B. p1C. p1D. p18.幂级数xn的收敛域为（） .n 1 nA.1,1B1,1C.1,1D.1,1xn9.幂级数在收敛域内的和函数是（） .n 02A.1B.2C.2D.1xxxx121210.微分方程 xyy ln y0 的通解为（）.A.ycexB. yexC. ycxexD. yecx二 .填空题（ 4 分5）1.一平面过点 A 0,0,3且垂直于直线AB ，其中点 B 2, 1,1 ，则此平面方程为 _.2.函数 zsin xy 的全微

3、分是 _.3y23xy3xy 1 ，则2 z3.设 z x_.x y4. 1 的麦克劳林级数是 _.2 x三 .计算题（ 5 分 6）1.设 zeu sin v ，而 uxy, v xy ，求z ,z .xy2.已知隐函数 zz x, y由方程 x 22 y 2z24 x2z5 0 确定，求z ,z .xy3.计算sin x2y 2 d，其中 D:2x2y242 .D4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径） .四 .应用题（ 10 分2）1.要用铁板做一个体积为2 m3 的有盖长方体水箱，问长、 宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？.试卷 1 参考答案一 .选择题 C

4、BCAD ACCBD二 .填空题1. 2xy2 z6 0.2.cos xyydxxdy .3.6x 2 y9 y 21 .4.1 nn.2n 1 xn 05. y C1C2 x e 2 x .三 .计算题1.zexyy sin xycos x y ，zexy x sin x y cos x y .xy2.z2x ,z2 y.xz1yz 122sind6 2 .3.0d4. 16R3 .35. ye3 xe2 x.四 .应用题1.长、宽、高均为32m时，用料最省.2. y1 x2 .3高数试卷2（下）一 .选择题（ 3 分10）1.点 M14,3,1 ， M 27,1,2的距离 M1M2（） .

5、A. 12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为x2y2 z10和xy 50，则两平面的夹角为（） .A.B.C.3D.6423.函数 zarcsin x 2y 2的定义域为（） .A. x, y 0 x2y21B. x, y 0 x 2y21C. x, y 0 x 2y 22D.x, y 0 x 2y224.点 P1, 2,1 到平面 x2 y2z50 的距离为（）.A.3B.4C.5D.65.函数 z2xy3x22 y 2的极大值为（） .A.0B.1C.11D.z26.设zx23xyy2，则1, 2（） .xA.6B.7C.8D.97.若几何级数n 0ar n是收敛的，则（） .

6、A. r1B.r1C. r1D. r18.幂级数n1 x n 的收敛域为（）.n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,19.级数sin na是（） .n1n4A. 条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定二 .填空题（ 4分5）x3t1.直线 l 过点 A 2,2,1且与直线yt平行，则直线 l 的方程为 _.z12t2.函数 zexy 的全微分为 _.3.曲面 z2x 24y2在点2,1,4处的切平面方程为 _.三 .计算题（ 5 分6）1.设 ai2 j k ,b2 j 3k ，求 a b.2.设 zu 2 vuv 2 ，而 ux cos y, vx sin y ，求z ,z .xy3.

7、已知隐函数 zz x, y 由 x33xyz2确定，求z ,z .xy4.如图，求球面 x 2y 2z24a 2 与圆柱面 x 2y 22ax （ a0 ）所围的几何体的体积 .四 .应用题（ 10 分2）1.试用二重积分计算由yx , y2x 和 x4 所围图形的面积 .试卷 2 参考答案一 .选择题 CBABA CCDBA.二 .填空题x2y2z11.1122. exy ydx xdy .3. 8x8 yz4.4. 1 n x 2n .n 05. y x3 .三 .计算题1.8i3 j2k .2.z3x 2 sin y cos y cos y sin y , z2 x 3 sin y co

8、s y sin y cos yx 3 sin 3 y cos3 y .xy3.zxyyz 2 ,zxz2 .xzyxy z4.32a32.3 2 35. y C1 e 2 x C 2 e x .四 .应用题161.31 gt 22. xv0t x0 .2高等数学试卷3（下）一、选择题（本题共10 小题，每题3 分，共 30 分）2、设 a=i+2j-k,b=2j+3k，则 a 与 b的向量积为（）A 、i-j+2kB、8i-j+2kC、 8i-3j+2kD、 8i-3i+k3、点 P（ -1、 -2、 1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（）A 、2B、 3C、 4D、 54、函数 z=x

9、siny 在点（ 1，）处的两个偏导数分别为（）422B、22C、2222A 、,2,22D 、,222225、设 x2+y 2+z2 =2Rx ，则z ,z 分别为（）xyA 、 xR , yB 、xR , yC、x R , yD、 x R , yzzzzzzzz6、设圆心在原点，半径为R，面密度为x2y2 的薄板的质量为（）（面积 A=R2 ）A 、R2AB、 2R 2AC、 3R2AD、 1R2A27、级数(1) n x n的收敛半径为（）n 1nA 、2B、1C、 1D、 328、 cosx 的麦克劳林级数为（）A 、(1) nx2nB、( 1) n x 2nC、( 1) nx 2 n

10、D、( 1) n x2n1n 0( 2n)!n 1(2n)!n0(2n)!n 0( 2n1)!二、填空题（本题共5 小题，每题4 分，共20 分）x1y31、直线 L 1： x=y=z 与直线 L 2：z的夹角为 _。21直线 L 3： x1y2z 与平面 3x 2y6z 0之间的夹角为 _ 。2122、（ 0.98） 2.03 的近似值为 _,sin100 的近似值为 _。3、二重积分d, D : x 2y 21 的值为 _。D4、幂级数n! x n的收敛半径为 _ ，x n 的收敛半径为 _。n 0n 0 n!三、计算题（本题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分）2、求曲线 x=t,y

11、=t 2,z=t3 在点（ 1，1， 1）处的切线及法平面方程 .3、计算xyd，其中 D由直线 y 1, x 2及yx围成 .D4、问级数(1) n sin1 收敛吗 ？若收敛 ，则是条件收敛还是绝对收敛？n 1n5、将函数f(x)=e 3x 展成麦克劳林级数四、应用题（本题共2 小题，每题10 分，共 20 分）1、求表面积为a2 而体积最大的长方体体积。参考答案一、选择题1、 D2、C3、 C4、A5、 B6、 D7、 C8、 A9、 B10,A二、填空题1、 ar cos28, arcsin2、 0.96， 0.1736518213、4、0，+x215、 y ce 2,cx 1y三、计

12、算题2、解：因为x=t,y=t2,z=t 3,所以 xt =1,y t =2t,z t =3t 2，所以 xt | t=1 =1, y t | t=1 =2, z t | t=1 =3故切线方程为：x1y1z1123法平面方程为： （ x-1 ） +2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因为D由直线 y=1,x=2,y=x围成，所以D：1 y 2y x 22223xydy ) dy11故：1 xydx dy(2 yDy1284、解：这是交错级数，因为Vnsin 10，所以 ， Vn 1 Vn, 且 lim sin10， 所以该级数为莱布尼兹型级数 ，故收敛 。nn1111

13、sin发散 ，从而sin发散 。又当 x趋于 时 ， xx，所以 ，n1，又级数nn5sin0sinlim1n 1n1nnn 1n所以 ，原级数条件收敛 。ew1 x1 x 21 x31 x n、解：因为2!3!n!x(,)用 2x 代 x，得：e2 x1(2x)1( 2x) 21(2x) 31(2 x) n222!233!2nn!1 2xx 2x 3x n2!3!n!x (,)四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为x， y， z则 2（xy+yz+zx ）=a2构造辅助函数F（ x,y,z） =xyz+( 2xy2 yz2zxa 2 )求其对 x,y,z 的偏导，并使之为0，得：yz+2(

14、y+z)=0xz+2(x+z)=0xy+2(x+y)=0与 2(xy+yz+zx)-a 2=0 联立，由于 x,y,z 均不等于零可得 x=y=z6a代入 2(xy+yz+zx)-a 2=0 得 x=y=z=6所以，表面积为a2 而体积最大的长方体的体积为Vxyz6a3362、解：据题意dMdtM其中0为常数初始条件 M t 0M 0对于 dMM 式dtdMdtM两端积分得 ln Mt ln C所以 ，Mcet又因为 M t0M 0所以，M0C所以 ，MM 0 e t由此可知 ，铀的衰变规律为 ：铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减 。高数试卷4（下）一选择题：31030下列平面中过点（, ,

15、1）的平面是（） （） （） （） 在空间直角坐标系中，方程x2y22 表示（）圆（）圆域（）球面（）圆柱面二元函数 z (1 x)2(1 y )2的驻点是（）（ ,）（）（ ,）（）（ ,）（）（ ,）二重积分的积分区域是 1x 2y 24 ，则dxdyD（）（） 4（） 3（） 15交换积分次序后1x0 dx 0 f ( x, y) dy11111yx1（） 0 dyy f (x, y)dx（） 0 dy0 f (x, y)dx（） 0 dy 0f (x, y)dx（） 0 dy 0 f (x, y)dx 阶行列式中所有元素都是，其值是（）（）（）！（）下列级数收敛的是（）(1)n1n（）

16、3n（）(1)n 1（）1n 1n 1n 1 2nn 1nn 1 n正项级数un 和vn 满足关系式 un vn ，则n1n1（）若un 收敛，则vn 收敛（）若vn 收敛，则un 收敛n1n1n1n1（）若vn 发散，则un 发散（）若un收敛，则vn 发散n1n1n1n1已知：11xx2，则1的幂级数展开式为1x1x2（） 1x2x4（） 1 x2x4（）1x2x4（） 1x2 x4二填空题：4520数 zx2y 21 ln( 2x2y2 ) 的定义域为若 f (x, y)xy ，则 f ( y ,1)x已知xy是 f (x, y) 的驻点，若 fxx(x, y)3, fyy( x, y)

17、12, fxy(x, y) a则(0,0 )0 ,00000当时， (x0, y0 ) 一定是极小点级数un 收敛的必要条件是n1三计算题 ( 一)： 6530已知： zxy ，求：z ， z xy计算二重积分4 x2 d ，其中 D ( x, y) | 0 y4 x2 ,0 x 2 D123已知： ，其中 121，012，求未知矩阵 201010求幂级数( 1)n 1 x n的收敛区间n 1n求f (x)e x 的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）四计算题 ( 二)：10220求平面 和 的交线的标准方程参考答案一；二 ( x, y) |1x 2y 22 y 6 a 6 lim un 0xn四

18、1解：zyxy1zxy ln yxy24 x22x322解：4 x2 d4 x2 dydx0(4 x2 ) dx4xD003 01631271023解： B 1012,AB1.2415001解： R1, 当|x| 1 时，级数收敛，当x=1 时，得( 1)n 1收敛，nn1当 x1 时，得(1) 2n11发散，所以收敛区间为(1,1.nnn 1n 1解： .因为 exx nx( ,) ,所以e x(x)n( 1)nx ( , ) .0 n!n!xnnn 0n0 n!ijk四 1解： .求直线的方向向量 :s121i3jk即交点为 (2,0.0),所5 ,求点 :令 z=0,得 y=0,x=2,

19、211以交线的标准方程为 :. x 2yz135高数试卷5（下）一、选择题（3 分/题）1、已知 a ij ， bk ，则 ab（）A 0BijCijDi j2、空间直角坐标系中x 2y 21表示（）A圆B圆面C圆柱面D球面sin xy）3、二元函数 zx在（ 0，0）点处的极限是（A1B0CD不存在11f ( x, y )dy =（4、交换积分次序后dx）0x1111dydyAf ( x, y )dxBf ( x, y )dx00x0111ydydyCf ( x, y )dxDf ( x, y )dx0y005、二重积分的积分区域D 是xy 1，则dxdy （）DA2B1C0D410、正项级数un和vn