(完整word版)圆的知识点(最新),推荐文档

1、1第三章 圆一与圆相关的概念1. 圆： 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径. 【圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，圆心和半径确定了，圆就确定了】2. 圆弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，等于半圆的弧叫半圆 .等弧： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等） .等弧也可以通过它所对的圆心角、圆周角、弦来进行判断，具体地说：a. 在同圆或等圆中，所对的圆心角相等的两段弧是等弧。b. 在同圆或等圆中，所对的圆周角相等的两段弧是等弧。c. 在同圆或等圆中，所

2、对的弦相等的两段弧是等弧。【 温馨提示 ：半圆是弧，半圆形不是弧；弧的度数等于弧所对的圆心角的度数. 】3.弦： 连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆中最长的弦是直径.【 温馨提示 ：一条弦对着两条弧，对着两个圆心角（选择题），一般让求“弦所对的圆心角的度数”，指的是“弦所对的小于180 °的那个圆心角”（填空题）；一条弧对着一条弦，对着一个圆心角】4.圆心角 ：顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角. 【圆心角AOB的取值范围是0 ° AOB360 °】5.圆周角： 顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.6. 外心： 过三角形的三

3、个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做圆的内接三角形. 三角形外接圆的圆心（外心）到三角形三个顶点的距离相等.【 温馨提示：三角形三边垂直平分线的交点叫三角形外接圆的圆心; 三角形有且只有一个外接圆，但圆有无数个内接三角形】以下图为例O为外接圆的圆心，即外心.12温馨提示：锐角三角形外接圆的圆心（外心）在它的内部；直角三角形外接圆的圆心（外心）在它斜边的中点上(R= c ) ；钝角三角形外接圆的圆心（外心）在它的外部.27. 内心： 和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为三角形的内心；这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形内切圆的圆心（内心）到三

4、角形三边的距离相等.【 温馨提示：三角形 三条角平分线的交点叫内切圆的圆心; 三角形有且只有一个内切圆，但圆有无数个外切三角形】附注： 等边三角形的内切圆和外接圆设等边ABC的边长为a，内切圆的半径为r ，则有r3 a ，外接圆半径 R= 3 a63直角三角形内切圆设 Rt ABC两直角边分别为a、 b，斜边为c ，内切圆半径为r ，则有r1 (a b c) 或 rab，其中2abc四边形IDCB 为正方形，边长ID=r.三角形的外接圆和内切圆比较名称确定方法图形性质1.OA=OB=OC(即圆心到三角形三个顶外心：三角形外接三角形三边中垂线点的距离相等).圆的圆心的交点 .2. 外心不一定在三

5、角形的内部.231. 圆心到三边的距离相等 .内心：三角形内切三角形三条内角平2.OA 、 OB、 OC分别圆的圆心分线的交点.平分 BAC、 ABC、 ACB.3. 内心在三角形内部 .等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为2:1 （如图 1）直角三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为c : ab c = c : ( a b c) （如图 2）22等腰三角形的内心和外心虽然不同，但都在底边的垂直平分线上.三角形外接圆半径的求法abR【即三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商】2h三角形内切圆半径r 的求法 S ABC1(a b c)r22S ABC rbca二圆的确

6、定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。过不在同一条直线上的三点作圆的做法：34三与圆相关的位置关系1. 点与圆的位置关系（ 1）点在圆内dr点 C 在圆内；2dr点B在圆上；（ ）点在圆上（ 3）点在圆外dr点 A 在圆外；2. 直线与圆的位置关系（ 1）直线与圆相离dr无交点；（ 2）直线与圆相切dr有一个交点；（ 3）直线与圆相交dr有两个交点；rd=rrdd三与圆相关的性质和定理1. 圆的对称性： 圆是轴对称图形, 对称轴是任意一条经过圆心的直线（或直径所在的直线）, 它有无数条对称轴. 圆也是中心对称图形, 它的对称中心就是圆心.45圆的旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,

7、 都能与原来的图形重合. 2.垂径定理垂径定理 ：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论： （ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。3. 圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。EFODADCCB4. 圆周角定理（ 1）圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。（ 2）圆周角定理的推论：BOA推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；推论

8、2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径.推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（ 3）圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 ：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等（补充） 平行弦定理： 圆的两条平行弦所夹的弧相等.C5. 圆内接四边形（ 1）性质定理：性质定理 1：圆内接四边形的对角互补BD即：在 O 中，AE四边形 ABCD 是内接四边形 CBAD 180BD18056DAEC性质定理 2：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角（ 2）判定定理：（很

9、重要）如果一个四边形的对角互补 ,那么它的四个顶点共圆 .推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.附注： 圆的内接平行四边形是矩形；圆的外切平行四边形是菱形. 6. 切线的判定定理与性质（ 1）切线的判定定理 ：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件 ：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可O即： MNOA 且 MN 过半径 OA 外端MAN MN 是 O 的切线（ 2）性质定理： 切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个

10、条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。7. 切线长及切线长定理（ 1）切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.(2) 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： PA 、 PB 是的两条切线 PAPBPO 平分BPA（ 3）圆外切四边形两组对边的和相等.6710. 圆的内正多边形（ 1）正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.（ 2）正多边形与圆的有关定理把圆分成 n(n 3) 等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点

11、的多边形是这个圆的外切正n 边形；任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆.注意： 依据正多边形与圆的有关定理、，只要能将一个圆分成n(n 3) 等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正 n 边形 .(3) 正多边形的其它性质正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.边数相同的正多边形相似，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆.(4) 正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆 )的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心

12、距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.正 n 边形的有关计算公式每个内角180（ n 2） 180- 360 ；每个外角360nnn正 n 边形边长 a2R.sin180，内切圆半径 r180nR.cosn正 n 边形面积 Sn. 1 r.a1 Pr nR2 .sin 180.cos18022nn，正 n 边形周长 Pn.a注意： 同一个圆的内接正n 边形和外切正n 边形是相似形，相似比是圆的内接正n 边形边心距与它的半径之比180n 边形的内切圆和外接圆的相似比180cos. 这样，同一个正cosnn781 边长构成的直角三角形集中反映了正多边形各常用辅助线：连半径，作

13、边心距，由正多边形的半径、边心距和2元素间的关系，是解计算问题的基本图形，并且正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形 .附注：（ 1）正三角形在 O 中 ABC 是正三角形（如图 1），有关计算在 Rt BOD 中进行： OD : BD : OB1: 3:2（ 2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE 中进行（如图2）， OE : AE:OA1:1:2（ 3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB 中进行（如图3）， AB:OB:OA1:3 : 211. 扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式（ 1）扇形： 弧长公式： ln R ；扇形面积公式：Sn R21 l

14、R1803602n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积（ 2）圆柱：圆柱侧面展开图：S表S侧2S底 = 2 rh2 r 2圆柱的体积：Vr 2 h（ 2）圆锥侧面展开图:819 S表S侧S底 = Rrr 2圆锥的体积： Vr 2h3一选择题1. 与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是()A. 圆的外部 ( 包括边界 ) ； B. 圆的内部 ( 不包括边界 ) ； C. 圆； D.圆的内部 ( 包括边界 )2. 已知 O的半径为 6cm,P 为线段 OA的中点 , 若点 P 在 O上 , 则 OA的长 ( )A. 等于 6cmB.等于 12cm；C.小于 6cmD.

15、大于 12cm3. O的半径为 5, 圆心 O的坐标为 (0,0), 点 P 的坐标为 (4,2), 则点 P 与 O 的位置关系是 ( ) A.点 P在O内； B. 点 P的O上； C. 点 P在O外； D. 点 P在O上或O外4. 下列命题：直径所对的角是900 ；直角所对的弦是直径；相等的圆周角所对的弧相等；对同一弦的两个圆周角相等 . 正确的有（）A.0 个B.1个 C.2个 D.3个5. 下列语句中，正确的是（）直径是弦；弧是半圆；长度相等的弧是等弧；?经过圆内任一定点可以作无数条直径；两个半圆是等弧；优弧比劣弧长；面积相等的圆是等圆；菱形的四个顶点在同一个圆上；能够互相重合的弧是等

16、弧；直径是圆中最大的弦，也就是过圆心的直线，其中正确的是 （） A.B.C.D.6. 下列语句中，不正确的是（）A圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形B圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C当圆绕它的圆心旋转89°57时，不会与原来的圆重合D圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个97. 如果两条弦相等，那么（10）A这两条弦所对的弧相等B这两条弦所对的圆心角相等C这两条弦的弦心距相等D以上答案都不对8. 下列语句中，正确的是（）A. 如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等B. 如果两条弦相等，那么它们所对的弧相等C. 如果两条弧相等，那么它们所对的圆周角相等D. 如果两条弦的弦心距相等

17、，那么这两条弦相等9. 下列命题中错误的命题有（）（ 1）弦的垂直平分线经过圆心；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）垂直于弦的直径平分弦；（4）圆的对称轴是直径 A 1个 B2个 C 3 个D 4个10. 下列说法正确的是（）A顶点在圆上的角是圆周角B两边都和圆相交的角是圆周角C圆心角是圆周角的2 倍D圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半11下列说法错误的是（）A等弧所对圆周角相等B同弧所对圆周角相等C同圆中，相等的圆周角所对弧也相等D 同圆中，等弦所对的圆周角相等12. 下列命题不正确的是 ( )A. 三点确定一个圆B.三角形的外接圆有且只有一个C. 经过一点有无数个圆D.经过两点有无数个圆

18、13. 三角形的外心是 ( )A. 三条中线的交点B.三条边的中垂线的交点C.三条高的交点D.三条角平分线的交点14. 若 ABC的外接圆的圆心在ABC的外部，则 ABC是（）A. 锐角三角形B.直角角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形15. 一个三角形的外心在它的内部 , 则这个三角形一定是 ( )A. 等腰三角形B.直角三角形 ;C.锐角三角形D.等边三角形16. 一个三角形的外心在它一边的中点上, 则这个三角形一定是 ( )A. 锐角三角形B.直角角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形17.在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（）A. 三角形三条角平分

19、线的交点B.三角形三边垂直平分线的交点C. 三角形中位线与高线的交点D.三角形中位线与中线的交点18.如图 1，在半径为 2cm 的圆 O内有长为23 cm 的弦 AB，则此弦所对的圆心角AOB为（ ?）A 60° B 90° C 120° D 150°19.如图 2,A是半径为 5 的 O内一点 , 且 OA=3, 过点 A 且长小于8的弦有 () A.0条 B.1条 C.2条 D.4条20.如图 3,D是弧 AC的中点 , 则图中与 ABD相等的角的个数是 () A.4个 B.3个C.2个D.1 个21.如图 4， AOB=100° , 则

20、 A+ B 等于 () A.100°B.80 °C.50 °D.40°22. 如图 5,A 、B、C三点都在 O上 , 点 D 是 AB延长线上一点, AOC=140° , CBD 的度数是 () A.40°B.50°1011C.70 °D.110°23. 如图 6,MN 所在的直线垂直平分线段 AB, 利用这样的工具 , 最少使用（ ）次就可以找到圆形工件的圆心 . A.1 B.2 C.3 D.424. 平面上不共线的四点 , 可以确定圆的个数为 ( )A.1个或 3个B.3 个或 4个C.1个或 3个

21、或 4个D.1个或 2个或3个或 4个25. 给出下列命题: 任意三角形一定有一个外接圆, 并且只有一个外接圆;任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形; 任意一个三角形一定有一个内切圆, 并且只有一个内切圆; 任意一个圆一定有一个外切三角形 ,并且只有一个外切三角形, 其中真命题共有()A.1个B.2个C.3个D.4个26. 设 O的直径为 m,直线 L 与 O相离 , 点 O到直线 L 的距离为 d, 则 d 与 m的关系是 ( )mmA.d=mB.d>mC.d>D.d<2227. 在平面直角坐标系中 , 以点 (-1,2) 为圆心 ,1 为半径的圆必与 (

22、 )A.x 轴相交B.y轴相交C.x轴相切 D.y轴相切28.如图 7,AB、AC为 O的切线 ,B 、C 是切点 , 延长 OB到 D, 使 BD=OB,连接 AD,如果 DAC=78° , 那么 ADO等于 ( )A. 70°B.64° C.62°D.51 °29.边长分别为3、 4、 5 的三角形的内切圆与外接圆半径之比为（） A.1:5 B.2:5C.3:5 D.4:530. 如图 8， O内切于 ABC，切点为 D、 E、 F，若 B 500， C 600，连结 OE、 OF、 DE、 DF，则 EDF等于（ ）A.45 0B.550

23、C.650D.70031. 如图 9，已知 O过边长为 2 的正方形 ABCD的顶点 A、B，且与 CD边相切，则圆的半径 ( )A4B5C5D134232. 一个扇形的弧长是 20 cm, 面积是 240 cm2, 那么扇形的圆心角是 ( )A.120 °B.150°C.210°D.240°33. 如图 10, 在平面直角坐标系中, 已知 D 经过原点O,与 x 轴、 y 轴分别交于A、 B 两点 ,B 点 坐标为 (0,23 ),OC与 D 相交于点 C, OCA=30°, 则图中阴影部分的面积为()A.223B.43C.423;D.233

24、4. 如图11,Rt ABC 中 , ABC=90° ,AB=BC=2,以 BC 为直径的圆交AC 于点D, 则图中阴影部分的面积为()A.2B.1C.1D.2241112二填空题35. 已知 O的周长为 8 cm,若 PO=2cm,则点 P 在 _; 若 PO=4cm,则点 P 在 _; 若 PO=6cm,则点 P 在 _.36. 平面上有两点 A、 B, 若线段 AB的长为 3cm, 则以 A 为圆心 , 经过点 B 的圆的面积为 _.37.点 A 的坐标为 (3,0),点 B 的坐标为 (0,4) , 则点 B在以 A 为圆心 , 6为半径的圆的 _.38.在半径为 5cm 的

25、 O上有一点 P, 则 OP的长为 _.39.圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分 , 如果圆的半径是 2cm, 则这条弦的长是 _cm.40. 如图 12, O的直径为 10, 弦 AB=8,P 是弦 AB上的一个动点 , 那么 OP长的取值范围是 _.41. 如图 13,D 、 E 分别是 O 的半径 OA、 OB 上的点 ,CD OA,CE OB,CD= CE, 则弧 AC 与弧 CB 弧长的大小关系是_.42. 如图 14, 在 O中 ,AB 、AC是互相垂直且相等的两条弦,OD AB,OE AC,垂足分别为D、E, 若 AC=2cm,则 O 的半径为 _cm.43. 如图 15，点 A

26、、 B、 C、 D在 O上，点 O在 D 的内部，四边形OABC为平行四边形，则OAD OCD=44.如图 16, 四边形 ABCD的四个顶点都在 O上, 且 AD BC,对角线 AC与 BC相交于点 E, 那么图中有 _对全等三角形 ;_ 对相似比不等于 1 的相似三角形 .45.如图 17， A、 B、C 为 O上三点，若 OAB=46° , 则 ACB=_度 .46.如图 18,AB 是 O的直径 , 弧 BC=弧 BD, A=25° , 则 BOD的度数为 _.47. 如图 19,AB 是半圆 O的直径 ,AC=AD,OC=2,CAB= 30 °, 则点

27、O 到 CD 的距离 OE=_.48. 如图 20， PA、 PB是 O的切线，点 A、 B 为切点， AC是 O的直径， BAC 200，则 P 的大小是 _度 .49. 已知 O的直径为2, 则 O的内接正三角形的边长为_.121350.边长为 6cm 的等边三角形的外接圆半径是_.51.等边三角形 ABC的内切圆面积为 9，则 ABC的周长为 _.52.正三角形的内切圆半径等于外接圆半径的_.53.在 Rt ABC中, C=90° ,AC=12cm,BC=5cm,以点 C为圆心 ,6cm的长为半径的圆与直线AB的位置关系是 _.54.如图 21, 在 ABC中 ,AB=AC,

28、BAC=120° , A 与 BC相切于点D,与 AB 相 交于点 E, 则 ADE等于 _ 度.55. 已知 O的半径为 4cm, 直线 L 与 O相交 , 则圆心 O到直线 L 的距离 d 的取值范围是 _.如图 22,PA、PB 是 O的切线 , 切点分别为A、B, 且 APB=50° , 点 C 是优弧 AB上的一点 , 则 ACB的度数为 _.56. 如图 23, O为 ABC的内切圆 ,D 、E、F 为切点 , DOB=73° , DOE=120°,则 DOF=_度 , C=_度 , A=_度 .57. 正方形 ABCD的外接圆圆心 O叫做正方形 ABCD的 _58. 正方形 ABCD的内切圆 O的半径 OE叫做正方形 ABCD的 _59. 若正六边形的边长为 1，那么正六边形的中心角是 _度，半径是 _，边心距是 _，它的每一个内角是 _60. 正 n 边形的一个外角度数与它的_角的度数相等61. 半径为9cm 的圆中 , 长为12cm 的一条