(完整word版)高等代数北大版教学案_第6章线性空间

1、word 格式文档第六章线性空间§ 1 集合映射一 授课内容 : § 1 集合映射二 教学目的 : 通过本节的学习 , 掌握集合映射的有关定义、 运算 , 求和号与乘积号的定义 .三 教学重点 : 集合映射的有关定义 .四 教学难点 : 集合映射的有关定义 .五 教学过程 :1. 集合的运算 , 集合的映射 ( 像与原像、单射、满射、双射 ) 的概念定义 : ( 集合的交、并、差) 设 S 是集合 , A 与 B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的交集 , 记作 A B ；把 A 和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A与 B的并集, 记做 AB ；从集合 A

2、中去掉属于 B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与 B的差集,记做 A B.定义 : ( 集合的映射 ) 设 A 、B 为集合 . 如果存在法则 f , 使得 A 中任意元素 a 在法则 f 下对应 B 中唯一确定的元素 ( 记做 f (a) ), 则称 f 是 A 到 B的一个映射 , 记为f : AB, af (a).如果 f (a) b B , 则 b 称为 a 在 f 下的像 , a 称为 b 在 f 下的原像 . A的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为 A 在 f 下的像 , 记做 f ( A) , 即f ( A)f (a) | aA .若aa'A, 都有 f

3、(a)f (a' ),则称 f 为单射 . 若bB, 都存在a A, 使得 f (a) b , 则称 f 为满射 . 如果 f 既是单射又是满射 , 则称 f 为双射 , 或称一一对应 .2. 求和号与求积号(1) 求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练, 我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域 K 上 n 个数 a1 ,a2 , an , 我们使用如下记号 :专业资料整理word 格式文档nna1 a2anai , a1 a2 anai .i 1i 1当然也可以写成a1 a2anai , a1 a2 anai .1 in1 i n(2) 求和号的性质容易证明 ,nnnnnn

4、mmnaiai ,( ai bi )aibi ,aijaij .i 1i 1i 1i 1i 1i 1 j 1j 1 i 1事实上 , 最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:a11a12a1ma21a22a2man1an 2anm分别先按行和列求和, 再求总和即可 .§ 2 线性空间的定义与简单性质一 授课内容： § 2 线性空间的定义与简单性质二教学目的： 通过本节的学习 , 掌握线性空间的定义与简单性质.三教学重点： 线性空间的定义与简单性质.四教学难点： 线性空间的定义与简单性质.五 教学过程：1. 线性空间的定义(1) 定义 4.1 ( 线性空间 ) 设 V

5、 是一个非空集合 , 且 V 上有一个二元运算“ +” (V V V ) , 又设 K 为数域 ,V 中的元素与 K 中的元素有运算数量专业资料整理word 格式文档乘法“ ?” (K VV ) , 且“ +”与“ ? ”满足如下性质 :1、 加法交换律,V , 有；2、 加法结合律,V, 有 ()() ；3、 存在“零元” , 即存在 0V,使得V ,0；4、 存在负元 , 即V,存在V,使得0 ；5、 “1 律”1?；6、 数乘结合律k, lK ,V , 都有 (kl )k (l)l (k ) ；7、 分配律k,lK ,V , 都有 ( kl )kl；8、 分配律kK ,V , 都有 k(

6、)kk,则称 V 为 K 上的一个 线性空间 , 我们把线性空间中的元素称为向量 . 注意 :线性空间依赖于“ +”和“ ? ”的定义 , 不光与集合 V 有关 .(2) 零向量和负向量的唯一性 , 向量减法的定义 , 线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题 4.1 零元素唯一 , 任意元素的负元素唯一 .证明: 设 0 与 0 '均是零元素 , 则由零元素的性质 , 有 00'00' ；V ,设,'都是的负向量,则0(')'()0,于是命题得证 . 由于负向量唯一 , 我们用代表的负向量 .定义 4.2 ( 减法 ) 我们定义

7、二元运算减法“- ”如下 :定义为() .命题 4.2线性空间中的加法和数乘满足如下性质 :1、 加法满足消去律；2、 可移项；3、 可以消因子k且 k0 , 则1；k4、 0?0,k ?0 0,( 1).(3) 线性空间的例子专业资料整理word 格式文档例 4.1 令 V表示在 (a, b) 上可微的函数所构成的集合 , 令 K ? ,V 中加法的定义就是函数的加法 , 关于 K 的数乘就是实数遇函数的乘法 ,V 构成 K 上的线性空间 .线性空间中线性组合和线性表出的定义 , 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述 , 向量组的秩 , 向量组的线性等价；极大线性无关组 .定义 4.

8、3 ( 线性组合 )给定 V 内一个向量组1, 2 ,L , s , 又给定数域 K内 s 个数 k1, k2 ,L , ks , 称 k1 1k22Lks s 为向量组1 ,2,L , s 的一个线性组合 .定义 4.4 ( 线性表出 )给定 V 内一个向量组1 , 2 ,L ,s , 设是 V 内的一个向量 , 如果存在 K 内 s 个数 k1 , k2 ,L , ks , 使得k1 1k22Lks s ,则称向量可以被向量组1, 2 ,L ,s 线性表出 .定义4.5 ( 向量组的线性相关与线性无关)给定V 内一个向量组1 ,2 ,L , s , 如果对V 内某一个向量, 存在数域K 内

9、不全为零的数k1, k2 ,L ,ks , 使得 k1 1k22Lks s0 , 则称向量组1,2 ,L , s 线性相关；若由方程 k1 1k22Lkss0 必定推出 k1k2Lks0 , 则称向量组1,2 ,L ,s 线性无关 .命题 4.3设1 , 2 ,LsV , 则下述两条等价 :1)1,2 ,Ls 线性相关；2) 某个 i 可被其余向量线性表示 .证明同向量空间 .定义 4.6 ( 线性等价 )给定 V 内两个向量组1 ,2 ,L,r1 ,2 ,L,s(),(),如果 ( ) 中任一向量都能被( ) 线性表示 , 反过来 ,( ) 中任一向量都能被 ( ) 线性表示 , 则称两向量

10、组 线性等价 .定义 4.7 ( 极大线性无关部分组 ) 给定 V 内一个向量组1,2 ,L , s , 如专业资料整理word 格式文档果它有一个部分组i1 ,i2 ,L , ir 满足如下条件 :(i) 、 i1 , i2 ,L , ir 线性无关；(ii)、原向量组中任一向量都能被i1 , i2 ,L , ir 线性表示 ,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组 .由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到K n 的一些特有的性质, 于是那些命题在线性空间中依然成立 .定义 4.8 ( 向量组的秩 )一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的

11、向量 , 其向量数目成为该向量组的 秩 .例 4.2求证 : 向量组 e 1x , e2 x 的秩等于 2( 其中12 ).证明 : 方法一 : 设 k1, k2 R, 满足 k1e 1 xk2 e 2 x0 , 则 k1e 1xk2 e 2x , 假若 k1 , k2 不全为零 , 不妨设 k10 , 则有 e( 12 ) xk2 , 而由于 12,等号左k1边为严格单调函数 , 矛盾于等号右边为常数 . 于是 k1 k20 .所以 e 1x ,e 2 x 线性无关 , 向量组的秩等于 2.证毕 .方法二 : 若在 (a, b) 上 k1e 1 xk2e 2 x0 ,两端求导数 , 得 k1

12、1e 1 xk2 2e 2 x0 ,以 x c(a,b) 代入 , 有k1e 1ck2e 2 c0,k1 1e 1ck2 2e 2 c0.而 e 1ce 2ce( 12 )c ( 21) 0,1e 2 c2e 2 c于是 k1k2 0 . 证毕 .专业资料整理word 格式文档§3 维数、基与坐标一 授课内容 :二 教学目的 :§ 3 维数、基与坐标通过本节的学习 , 掌握线性空间的基与维数, 向量的坐标的有关定义及性质 .三 教学重点 : 基与维数、向量坐标的有关定义.四 教学难点 : 基与维数、向量坐标的有关定义.五 教学过程 :1. 线性空间的基与维数 , 向量的坐标

13、设 V 是数域 K 上的线性空间 , 则有 :定义 4.9 ( 基和维数 ) 如果在 V 中存在 n 个向量1 , 2 ,L ,n , 满足 :1)1 , 2 ,L , n 线性无关；2)V 中任一向量在 K 上可表成1 , 2 ,L ,n 的线性组合 ,则称1,2 ,L , n 为 V 的一组基 .基即是 V 的一个极大线性无关部分组. 基的个数定义为线性空间的维数 .命题 4.4设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间 , 而1, 2 ,L , nV . 若 V中任一向量皆可被1,2 ,L , n 线性表出 , 则1, 2 ,L , n 是 V 的一组基 .证明 : 由1 , 2 ,L ,

14、n 与 V 的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.命题 4.5设 V 为 K 上的 n 维线性空间 ,1 , 2 ,L ,nV , 则下述两条等价 :1)1 , 2 ,L , n 线性无关；2)V 中任一向量可被1 , 2 ,L ,n 线性表出 .定义 4.10 ( 向量的坐标 ) 设 V为 K上的 n 维线性空间 ,1 , 2 ,L , n 是它的一组基 . 任给V , 由命题 4.4,可唯一表示为1, 2 ,L , n 的线性组合 ,即! aiK ,(i1,2,L , n) , 使 得a1 1a2 2Lan n , 于 是我 们 称a1 ,a2 ,L , an 为在基1, 2 ,L , n

15、 下的坐标 .易见 , 在某组基下的坐标与V/K 中的向量是一一对应的关系.专业资料整理word 格式文档§4 基变换与坐标变换一 授课内容 :二 教学目的 :§ 4 基变换与坐标变换通过本节的学习 , 掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算,坐标变换公式 .三 教学重点 : 基变换与过渡矩阵的定义、运算,坐标变换公式 .四 教学难点 : 坐标变换公式的应用 .五 教学过程 :1. 线性空间的基变换 , 基的过渡矩阵设 V/K 是 n 维线性空间 , 设 1,2 ,L,n 和1 ,2 ,L, n 是两组基 , 且1t11 1t21 2Ltn1 n ,2t12 1t22 2 Ltn

16、2 n ,LLLLLLLLLLLnt1n 1t2 n 2 Ltnn n .将其写成矩阵形式t11t12Lt1n( 1, 2 ,L , n )( 1 , 2 ,L , n )t21t22Lt2n.MMMtn1t n2Ltnn定义 4.11我们称矩阵t11t12Lt1nTt21t 22Lt2 nMMMtn1tn 2Ltnn为从 1, 2,L ,n 到 1 , 2 ,L ,n 的过渡矩阵 .命题 4.6设在 n 维线性空间 V/K 中给定一组基1, 2 ,L , n .T 是 K 上一个 n 阶方阵 . 命( 1, 2 ,L , n )( 1 , 2 ,L , n )T .专业资料整理word 格式

17、文档则有 1,2,L ,n 是 V/K 的一组基 , 当且仅当 T 可逆 .证明: 若 1, 2,L ,n 是线性空间 V/K 的一组基 , 则 1, 2 ,L ,n 线性无关 .考察同构映射: VK n ,在1 ,2 , n下的坐标 , 构造方程k1( 1)k2( 2 )Lkn ( n ) 0,其中 kiK ,( i1,2,L, n) ,(k1 1k2 2 Lkn n )0k1 1 k2 2Lkn n0 ,k1k2Lkn0( 1),( 2),L ,( n ) 线性无关 .( 1 ),( 2 ),L ,( n ) 构成了过渡矩阵的列向量, 所以过渡矩阵可逆；反过来 , 若过渡矩阵可逆 , 则构

18、造方程k1 1k2 2Lkn n0 , 其中 kiK ,( i1,2,L , n) ,两边用作用 ,得到 k1( 1 )k2( 2 )Lkn( n )0 ,k1k2Lkn0.证毕.2. 向量的坐标变换公式； K n 中的两组基的过渡矩阵(1) 向量的坐标变换公式设 V/K 有两组基为1, 2 ,L , n 和 1 , 2 ,L , n , 又设在 1, 2 ,L , n 下的坐标为a1 , a2 ,L , an , 即a1( 1, 2 ,L , n ) a2,Man在1 , 2 ,L , n 下的坐标为 (b1, b2 ,L , bn ) , 即b1( 1, 2 ,L , n ) b2.Mbn

19、现在设两组基之间的过渡矩阵为T, 即 ( 1 , 2 ,L , n )( 1 , 2 ,L , n )T .记专业资料整理word 格式文档a1b1Xa2, Yb2 ,MManbn于是( 1 , 2 ,L , n ) X( 1, 2 ,L , n )Y( 1 , 2 ,L , n )T Y( 1, 2 ,L , n )(TY) .于是 , 由坐标的唯一性 , 可以知道 XTY , 这就是坐标变换公式 .(2) K n 中两组基的过渡矩阵的求法我们设 K n 中两组基分别为12L LnL, a1n ),1(b11, b12 ,L,b1n ),(a11 , a12 ,(a21 , a22 ,L,

20、a2 n ),和2(b21,b22,L, b2 n ),LLLLLLLLLLLLLL( an1, an 2 ,L, ann ).n(bn1 ,bn 2 ,L, bnn ).而( 1, 2 ,L ,n )( 1 , 2 ,L , n )T .按定义 ,T 的第 i 个列向量分别是i 在基 1, 2 ,L , n 下的坐标 .将 1 , 2 ,L , n 和 1 , 2 ,L , n 看作列向量分别排成矩阵a11a12La1 nb11b12L b1nAa21a22La2 n ； Bb21b22L b2n,MMMMMMan1an 2L annbn1bn 2L bnn则有 BAT , 将 A和 B拼成

21、 n2n 分块矩阵 A | B , 利用初等行变换将左边矩阵 A 化为单位矩阵 E, 则右边出来的就是过渡矩阵T, 示意如下 :(A|B)行初等变换(E|T) .专业资料整理word 格式文档§5线性子空间一 授课内容 :二 教学目的 :三 教学重点 :§ 5 线性子空间通过本节的学习 , 掌握线性子空间的定义、判别定理.线性子空间的定义、判别定理.四 教学难点 : 线性子空间的判别定理 .五 教学过程 :1. 线性空间的子空间的定义定义 4.12 ( 子空间 ) 设 V 是数域 K 上的一个线性空间 ,M 时 V的一个非空子集 . 如果 M关于 V 内的加法与数乘运算也组

22、成数域 K 上的一个线性空间, 则称为 V 的一个子空间 .命题 4.7设 V 是 K 上的线性空间 , 又设一个非空集合 WV , 则 W 是子空间当且仅当下述两条成立:i) W 对减法封闭； ii) W 对于 K 中元素作数乘封闭 .证明 : 必要性由定义直接得出；充分性 : 各运算律在 V 中已有 , 所以 W满足运算律的条件 .只需要证明 0W 且对于任意W ,W , 且对加法封闭即可 .事实上,由于W关于数乘封闭 ,则0?0W；( 1)?W ,于是对于,W ,()W ,W关于加法封闭 . 于是 W是 V的一个子空间 .证毕 .事实上 ,W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.命题 4

23、.8设 W是 V 的一个有限维子空间 , 则 W的任一组基可以扩充为 V的一组基 .证明 : 设 dimVn , dimW r , (rn) , 若 rn , 则命题为真；若 r n , 对 nr 作归纳 : 设 1, 2 ,L ,r 为 W 的一组基 , 取 r 1VW ,则L线性无关. 于是令W ' k r 1 |W , k K ,易1, 2 , r , r 1见 ,W是 V 的一个子空间 , 且 dim W 'r1 , 此时 n dim W ' nr1 , 对其用归纳假设即可 .专业资料整理word 格式文档§ 6 子空间的交与和一 授课内容 :

24、67; 6 子空间的交与和二 教学目的 : 通过本节的学习 , 掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式 .三 教学重点 : 子空间的交与和的定义及维数公式.四 教学难点 : 子空间的交与和的性质及维数公式.五 教学过程 :1. 子空间的交与和 , 生成元集定义 4.13设 1, 2 ,L , tV , 则k11k2 2 Lktt | kiK , i1,2,L,t是 V 的一个子空间 , 称为由 1 ,2,L ,t 生成的子空间 , 记为 L (1, 2,L, t ) .易见 , 生成的子空间的维数等于1, 2,L ,t 的秩 .定义 4.14 ( 子空间的交与和 ) 设 V1,V2为线性空间

25、 V/K 的子空间 , 定义V1 IV2vV1且 vV2 , 称为子空间的 交；V1V2 v1v2 | v1V1, v2V2 , 称为子空间的 和 .命题 4.9V1 I V2 和V1 V2 都是 V的子空间 .证明 : 由命题 4.7,只需要证明 V1 I V2和 V1V2 关于加法与数乘封闭即可 .事实上 ,V1 IV2,则,V1 ,V2. 由于 V1,V2 均是 V的子空间, 则V1 ,V2, 于是V1 IV2 ,V1 I V2 关于加法封闭；V1I V2, kK ,kvV1 ,kvV2 , 于是 kvV1 IV2, V1 I V2 关于数乘封闭 .,V1V2,则由V1V2的定义,1,

26、1V1, 2, 2V2,使得12 ,12,而 11V1,22V2,则( 12) (12)(11)(22) V1 V2,V1 V2 关于加法封闭；V1V2 , kK ,1V1 ,2V2, 使得12 ,由于 k 1 V1, k 2 V2 , 则 kk ( 12 )k 1 k 2V1 V2, V1 V2 关于专业资料整理word 格式文档数乘封闭 . 证毕 .命 题 4.10 设 V1,V2 ,L ,Vm 是 V 的 子 空 间 , 则 V1 I V2 I L I Vm 和 V1 V2 L Vm 均为 V 的子空间 .2. 维数公式 .定理 4.1设 V 为有限维线性空间 , V1,V2为子空间 ,

27、 则dim( V1V2 )dim V1dim V2dim( V1 I V2 ) .这个定理中的公式被称为 维数公式 .证明 : 设 dim V1s , dim V2t , dim( V1V2 )n ,dim( V1 I V2 )r , 取V1 I V2 的一组基 1,2 ,L,r ( 若 V1I V2 =0, 则 r0 , 基为空集 ), 将此基分别扩充为 V1,V2 的基1 , 2 ,L , r , 1, 2 ,L , s r ,1, 2,L, r , 1, 2 ,L, t r ,只需要证明1 ,2 ,L,r ,1,2,L,s r ,1,2 ,L, tr 是 V1V2 的一组基即可 .首 先

28、 ,易见V1V2中的任一向量都可以被1, 2,L, r , 1 ,2 ,L,sr ,1 ,2 ,L,t r 线性表出 . 事实上 ,V1V2,则12,其中 1V1, 2V2,而1k1 1k2 2Lkr rkr 1 1kr 2 2Lks s r ,2l1 1l2 2Ll r rl r 1 1 lr 2 2Lltt r . ki ,l jK于是12可被 1,2 ,L,r ,1, 2,L,lr ,1,2,L ,t r 线性表出 .只要再证明向量组1 ,2,L,r , 1 ,2 ,L, l r ,1,L,t r线性无关即可 .2 ,设 k1 1k2 2 L kr ra1 1a2 2L as r s r

29、b1 1b2 2L bt r t r0,其中 ki ,a j , bhK . 则k1 1 k22 Lkrra11a22Lasr s rb11b22Lbt rt r(*)于是k1 1k2 2L kr ra1 1a2 2Las r s rV1 ,b1 1b22L bt rt rV2 ,专业资料整理word 格式文档于是 k1 1k2 2 Lkr ra1 1a2 2Las r s rV1I V2,记为 .则可被1,2 ,L, r 线性表示 ,设h1 1h2 2L hr r ,代入 (*),有h1 1h2 2L hr rb1 1b2 2L bt rt r0 ,由于 1,2 ,L, r ,1, 2,L,

30、t r 是 V的一组基 , 所以线性无关 , 则2h1h2Lhrb1b2Lbt r0 ,代回 (*),又有 k1k2Lkra1a2Lasr0 ,于是向量组1 , 2L2 ,L,s r ,1,2,L,t r线性无关 . 证毕 ., , r , 1 ,推论 2.1 设V1,V2,L,Vt都是有限为线性空间 V 的子空间 , 则:dim( V1 V2 LVt )dim V1dim V2Ldim Vt .证明 : 对 t 作归纳 .§ 7 子空间的直和一 授课内容 : § 7 子空间的直和二 教学目的 : 通过本节的学习 , 掌握子空间的直和与补空间的定义及性质 .三 教学重点 :

31、 子空间的直和的四个等价定义.四 教学难点 : 子空间的直和的四个等价定义.五 教学过程 :1. 子空间的直和与直和的四个等价定义定义 设 V 是数域 K 上的线性空间 , V1 ,V2 ,L,Vm 是 V 的有限为子空间 .m若对于Vi 中任一向量 , 表达式i 112 Lm,iVi , i1,2,L , m .专业资料整理word 格式文档m是唯一的 , 则称Vi 为直和 , 记为i1mV1V2LVm 或Vi .i1定理 设 V1 ,V2 ,L ,Vm 为数域 K 上的线性空间 V 上的有限为子空间 , 则下述四条等价 :1) V1 V2 L Vm 是直和；2) 零向量表示法唯一；3)Vi

32、 I(V1L?LVm )0,i1,2, L, m ；Vi4)dim( V1V2LVm )dim V1dim V2Ldim Vm .证明 :1)2)显然 .2)1) 设12Lm12Lm, 则( 11)(22 ) L( mm ) 0 .由 2) 知, 零向量的表示法唯一 , 于是i i , i 1,2,L ,m ,即的表示法唯一 . 由直和的定义可知 , V1V2LVm 是直和 .2)3)假若存在某个 i ,1im , 使得 Vi I(V1?LVm ) 0 ,L Vi则存在向量0 且VI (VL?LV) , 于是存在jVj , 使得Vi1im1L?iLm .由线性空间的定义 ,Vi I (V1?L

33、 Vm ) ,L Vi则 1L() Lm()0 , 与零向量的表示法唯一矛盾 , 于是Vi I (V1L?LVm )0, i1,2, L , m .Vi3) 2)若 2)不真,则有01 LiLm ,其中 j Vj ( j1,2,L,m) 且i0. 于是i1 L?iLm Vi I (V1?L Vm ) ,L Vi专业资料整理word 格式文档与 3)矛盾,于是 2)成立.3) 4) 对 m作归纳 . m =2 时 , 由维数公式得到dim( V1 V2 )dim V1dim V2dim( V1 I V2 ) dim V1dim V2 .设 m1(m 3) 已证 , 则对于 m ,dim(V1 V

34、2L Vm)dimVmdim(V1V2LVm 1 ) dim(Vm I (V1V2 L Vm 1)dimVmdim(V1V2LVm 1),而 i,1 i m 1 , 都有ViI(V1 L垐Vm 1)Vi I(V1L ViL Vm )0 ；Vi L由归纳假设 , 可以得到 dim( V1 V2LVm)dim V1dim V2Ldim Vm .4)3)i ,1im , 都有dim(Vi I (V1 L垐LVm)dim(V)i dim(V1L Vi L Vm) dim(V1V2 LVm) 0,Vi于是 Vi I(V1LV?iLVm ) 0,i1,2,L , m . 证毕 .推论设 V1,V2 为 V

35、 的有限维子空间 , 则下述四条等价 :i) V1 V2 是直和；ii) 零向量的表示法唯一；iii)V1I V20 ；iv) dim( V1V2 )dim V1dim V2 .2. 直和因子的基与直和的基命题设 VV1V2LVm , 则 V1,V2 ,L ,Vm 的基的并集为V 的一组基 .证 明 :设 i, i,L , i 是 Vi 的 一 组 基 , 则 V中任一向量可被12rimmU i1 , i2 ,L, iri 线性表出 . 又 dim Vdim Vi r1 r2L rm , 由命题 4.5,i 1i 1它们线性无关 , 于是它们是 V 的一组基 .证毕 .3. 补空间的定义及存在

36、性定义设V1为 V的子空间 , 若子空间 V2 满足 VV1V2 , 则称为 V1的补专业资料整理word 格式文档空间 .命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明 :设 V1 为 K 上的 n 为线性空间 V 的非平凡子空间 , 取 V1 的一组基1, 2 ,L , r, 将 其 扩 为V的 一 组 基1 , 2 ,L , r , r 1 , r 2 ,L , n 取V2L( r 1, r 2 ,L , n ) , 则有VV1V2 , 且 dim V1dim V2ndim(V1V2 ) ,于是 VV1V2 , 即V2是 V1的补空间 . 证毕.§ 8 线性空间的同构一

37、 授课内容 : § 1 线性空间的同构二 教学目的 : 通过本节的学习 , 掌握线性空间同构的有关定义及线性空间同构的判定 .三 教学重点 : 线性空间同构的判定 .四 教学难点 : 线性空间同构的判定 .五 教学过程 :1. 线性映射的定义定义设 U ,V 为数域 K 上的线性空间 ,: UV 为映射 , 且满足以下两个条件 :i)()()(),(,U)；ii)( k)k(), (U , kK ) ,则称为(由U 到V 的)线性映射 .由数域 K 上的线性空间 U 到 V 的线性映射的全体记为Hom (U ,V ) , 或K简记为 Hom(U ,V ) .定义中的 i) 和 ii)二条件可用下述一条代替:(kl)k ()k (), (,U , k,lK ) .专业资料整理word 格式文档例 M m n ( K ) 是 K 上的线性空间 , M s n (K ) 也是 K 上线性空间 , 取定一个 K 上的 s m 矩阵 A , 定义映射: M m n (K )M s n ( K ),x aAX .则是由 M m n ( K ) 到 M s n (K ) 的线性映射 .例 考虑区间 (a,b) 上连续函数的全体 , 它是 R 上的线性空间 , 令UL (1,sin x,sin2x,L ,sin