(完整word版)椭圆离心率求法总结,推荐文档

1、椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图， O为椭圆的中心， F 为焦点， A 为顶点，准线 L 交 OA于 B，P、Q在椭圆上， PF QFAOPD L 于 D， QF AD于 F, 设椭圆的离心率为e，则 e=PD e= BF e= BO AF FOe= BA e= AOPDQBAFO评： AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。 AO =a, OF =c, 有； AO=a, BO =a2c 有。x2y2题目 1：椭圆 a2+ b2 =1(ab 0) 的两焦点为F1 、 F2 ，以 F1F2 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？ABF

2、1F2思路： A 点在椭圆外，找a、b、 c 的关系应借助椭圆，所以取AF2已知条件放在椭圆内，构造F1BF2分析三角形的各边长及关系。的中点B，连接BF1 ,把解： F1F2 =2c BF1=c BF2 =3ccc+3c=2a e=a=3-1x2y2变形 1：椭圆+=1(ab 0) 的两焦点为F1 、 F2 ，点 P 在椭圆上，使OPF1 为正a2b2PF2F1O三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2 , 则 OF2 =OF1 =OP , F1PF2 =90图形如上图，e=3-1变形 2:x2y2=1(ab 0) 的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点， P 是椭圆上一椭圆+a2b2点，且

3、 PF1 X 轴， PF2AB,求椭圆离心率？BPF1F2OAb2 F2 F1 =2c OB =b OA =a解： PF1 =a PF1bPF2 AB F2 F1 = a又 b= a2-c2a2=5c2 e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与 c 的 方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目 2：椭圆 x2+y2=1(ab 0) ，A 是左顶点， F 是右焦点， B 是短轴的一个顶点，a2b2ABF=90，求 e?BAOF解： AO=a OF =cBF =a AB =a2+b2a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2a

4、2-c2-ac=0两边同除以 a2-1+ 5e=-1-5e2+e-1=0 e=22(舍去)x2y2-1+5变形：椭圆 a2+ b2=1(ab 0) ， e=2, A 是左顶点， F 是右焦点， B 是短轴的一个顶点，求 ABF？点评： 此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案： 905-1引申：此类e=2的椭圆为优美椭圆。性质： 1、 ABF=90 2、假设下端点为 B1 , 则 ABFB1 四点共圆。 3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结： 焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示， 结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。x

5、2y2题目 3：椭圆 a2+ b2=1(ab 0) ，过左焦点F1 且倾斜角为点，若 F1A =2 BF1 , 求 e?解：设 BF1 =m则 AF2 =2a-am BF2=2a-ma2 c2=m(2a-c)在 AF1F2 及 BF1F2 中，由余弦定理得：2(a2-c2)=m(2a+c)60的直线交椭圆与AB两： 2a-c两式相除2a+c12=2e=3x2y2题目 4：椭圆 a2+ b2 =1(ab 0) 的两焦点为F1 （ -c ， 0）、 F2 (c,0)， P是以 F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，且 PF1F2 =5 PF2F1 , 求 e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应

6、用。 F1F2F1P PF2解：由正弦定理：sin F1PF2=sin F1F2P=sin PF1F2根据和比性质： F1F2 F1P + PF2sin F1PF2=sinF1F2P+sin PF1F2 F1F2sin F1PF2变形得： PF2+ F1P =sin F1F2P +sin PF1F2=2c= =e2a PF1F2 =75 PF2F1 =15sin90 6e= sin75 +sin15 = 3点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知sin F1PF2e=sin F1F2P +sin PF1F2变形 1：椭圆 x2+y2=1(ab 0) 的两焦点为 F1（-c ， 0）、F

7、2 (c,0)， P 是椭圆上一点，a2b2且 F1PF2 =60，求 e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设 F1F2P=，则 F2F1P=120- sin F1PF2sin60 =e= - )sin F1F2P +sin PF1F2sin +sin(1201 1 1 e0) F1F2为椭圆两焦点， M为椭圆上任意一点（M不与1 1长轴两端点重合） 设 PF1F2 = , PF2F1 =若 3 tan2 tan2 2 , 求 e 的取值范围？分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。2sin + +sin F1PF22cos2sin( + )解; 根据上题结论 e=sin F1F2P

8、+sin PF1F2=sin +sin = + - 2sin2cos2coscos-sin2sin=222coscos+sinsin22221- tantan=22=e1- tantan2211-e111 3 1+e2 3eb 0) ，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于 A、 B题目 5：椭圆a2+b2 两点，OA OBa=(3,-1) 共线，求+ 与A(X 1 ,Y1)OB(X 2,Y 2)e?法一：设A(x1,y1) ,B(x2,y2)b2x2+a2y2=a2b2y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2=2a2cy1+y2=2a2c-2b2ca2+

9、b2-2c=a2+b2a2+b2 OA OB与（ 3， -1 ）共线，则+=(x1+x2,y1+y2)- （ x1+x2 ）=3(y1+y2)既 a2=3b26e=3 ON OA OB法二：设 AB的中点 N，则 2 =+x12y12a2 +b2=1x22y22-得：+=1a2b2y1-y2b2x1 +x2b26x1-x2=- a2y1+y2 1=-a2 (-3)既 a2=3b2 e=3四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。x2y2题目 6：椭圆 a2+ b2=1(ab 0) 的两焦点为F1 （ -c ， 0）、 F2 (c,0)，满足MFMF12 =0的点 M总在椭圆内部，则e 的

10、取值范围？MF1OF2分析：MFMF12 =0 以 F1F2 为直径作圆， M在圆 O上，与椭圆没有交点。解： c2c220eb 0) 的两焦点为F1 （ -c ， 0）、 F2 (c,0)， P为右准线 L 上一点， F1P的垂直平分线恰过F2 点，求 e 的取值范围？PMF1F2O分析：思路1, 如图 F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找思路 2：根据图形中的边长之间的不等关系，求ea2a2c -c解法一： F1（ -c ， 0） F2 (c,0)P(c ,y0 ) M(2b2y0a2既(,)则PF+c, y0 )1 =-(2c2ca、 b、 c 的不等关系。y0, 2)b2y0MF2

11、c -c,2 )PFMF2 =-(12 =0(a2b2y0+c, y0 ) (-c,)=0c2c2(a2b2y02+c) (-c)+=0c2c2a2-3c2 0 3 e13解法 2： F1F2 = PF2 =2ca2则a2a2 PF2 -c2c -c 3cccc3c2 a2则3 eb0）的两顶点为 A（ a,0 ）B(0,b), 若右焦点 F 到直线 AB 的距离a2b 2等于 1 AF，则椭圆的离心率是6 。2314. 椭圆 x2y21（ ab0）的四个顶点为A、B、 C、 D，若四边形 ABCD的内切圆恰好过a2b 2焦点，则椭圆的离心率是51215. 已知直线L 过椭圆 x2y 21（

12、ab0）的顶点A（a,0 ）、 B(0,b),如果坐标原点到直a2b2线 L 的距离为 a ，则椭圆的离心率是62316. 在平面直角坐标系中，椭圆 x2y21(ab0) 的焦距为 2，以 O为圆心， a 为半径a2b2作圆，过点a2,0 作圆的两切线互相垂直，则离心率e = 2c2二、构造 a 、 c 的齐次式，解出 e根据题设条件，借助a 、 b 、 c 之间的关系，构造a 、 c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于 e 的一元方程，从而解得离心率e 。2x2y21（a0, b0）的两焦点，以线段F1 F2 为边作正22例 ：已知 F1、 F2 是双曲线ab三角形 MF1F2 ，若边

13、MF1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.423B.31C.31D.312c解： 如图，设 MF 1 的中点为 P ，则 P 的横坐标为，由焦半径公式PF1expa ，2ccc2c即 c220 ，解得aa ，得2aac13 （ 13 舍去），故选Dea变式练习 1：设双曲线 x2y21（0ab ）的半焦距为 c ，直线 L 过 a,0， 0,b 两a2b2点.已知原点到直线的距离为3 c ，则双曲线的离心率为()4A. 2B.3C.223D.3解： 由已知，直线L 的方程为 bxayab0 ，由点到直线的距离公式，得abb 23c ，a 24又 c2a2b2, 4ab3c 2,两边平

14、方，得 16a 2c2a 23c4 ，整理得3e416e2160 ，24 或 e242c 2a 2b 21b22， e24 ，得 e，又 0 ab ， ea 2a 2a23 e2，故选 A变式练习 2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为 F1 、 F2 ，F1MF 2120 0 ，则双曲线的离心率为（）A3B66D32C33解： 如图所示，不妨设M0, b ， F1c,0 ， F2 c,0 ，则MF1MF2c2b2 ，又 F1 F22c ，MF1222在F1 MF2 中， 由余弦定理，得 cosF1MF 2MF 2F1 F2,2 MF1MF 2即1 c 2b2c2b24c2， b2c21

15、，22 c 2b2b 2c22 b2c 2a 2 ，a 21 ， 3a 22c2 ， e23， e6，故选 B2c2a 22221已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是352以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、 N 两点，椭圆的左焦点为 F1，直线 MF1 与圆相切，则椭圆的离心率是313以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆， 使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果 MF=MO，则椭圆的离心率是314设椭圆的两个焦点分别为F1 、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是215已

16、知 F1、F2 是椭圆的两个焦点， 过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B 两点，若 ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是336设 F1、 F2 分别是椭圆x2y 21 ab0 的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3ca2b2（ c为半焦距）的点，且F1 F2F2 P ，则椭圆的离心率是22三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为F1 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若F1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。解： ec2c2c2c121a2aPF1PF2 22c2c21四、根据圆锥曲线的统一定义求解例 4：设椭圆 x 2y 2

17、1 （ a0, b0 ）的右焦点为F1 ，右准线为 l1，若过 F1a 2b 2且垂直于 x 轴的弦的长等于点F1 到 l1 的距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示， AB 是过 F1 且垂直于 x 轴的弦， ADl1 于 D ， AD 为 F1 到准线 l1 的AF11 AB距离，根据椭圆的第二定义，e21ADAD2变式练习： 在给定椭圆中， 过焦点且垂直于长轴的弦长为2 ，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A 2B2C1222D4AF22 22解： e12AD五、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。uuuuruuuur1已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点，满足MF1MF2

18、 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(0,2 )22已知 F1、 F2 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且F1PF 290 ，椭圆离心率e 的取值范围为2 ,123已知 F1、 F2 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且F1 PF260 ，椭圆离心率e 的取值范围为1 ,124设椭圆 x2y21（ab0）的两焦点为 F1、F2，若椭圆上存在一点 Q，使F1QF2=120o，a2b26椭圆离心率e 的取值范围为e135在 ABC 中， ABBC ， cos B7 若以 A，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭3 18圆的离心率 e86设 F1，F2 分别是椭圆x2y21（ ab 0 ）的左、右焦点，若在其右准线上存在 P,a2b2使线段PF1 的中垂线过点3，F2 ，则椭圆离心率的取值范围是13配套练习x2y21 （ a0,b0 ）的离心率为3 ，且它的一条准线与抛物线1. 设双曲线2b 2ay24x 的准线重合，则此双曲线的方程为（）x