基础物理学第五章(静电场)课后习题答案

1、第五章 静电场 思考题5-1 根据点电荷的场强公式，当所考察的点与点电荷的距离时，则场强，这是没有物理意义的。对这个问题该如何解释？答:当时,对于所考察点来说,q已经不是点电荷了,点电荷的场强公式不再适用.5-2 与两公式有什么区别和联系？答：前式为电场（静电场、运动电荷电场）电场强度的定义式，后式是静电点电荷产生的电场分布。静电场中前式是后一式的矢量叠加，即空间一点的场强是所有点电荷在此产生的场强之和。5-3 如果通过闭合面S的电通量为零，是否能肯定面S上每一点的场强都等于零？答：不能。通过闭合面S的电通量为零，即，只是说明穿入、穿出闭合面S的电力线条数一样多，不能讲闭合面各处没有电力线的穿

2、入、穿出。只要穿入、穿出，面上的场强就不为零，所以不能肯定面S上每一点的场强都等于零。5-4 如果在闭合面S上，处处为零，能否肯定此闭合面一定没有包围净电荷？答：能肯定。由高斯定理，E处处为零，能说明面内整个空间的电荷代数和，即此封闭面一定没有包围净电荷。但不能保证面内各局部空间无净电荷。例如，导体内有一带电体，平衡时导体壳内的闭合高斯面上E处处为零，此封闭面包围的净电荷为零，而面内的带电体上有净电荷，导体内表面也有净电荷，只不过它们两者之和为零。5-5 电场强度的环流表示什么物理意义？表示静电场具有怎样的性质？答：电场强度的环流说明静电力是保守力，静电场是保守力场。表示静电场的电场线不能闭合

3、。如果其电场线是闭合曲线，我们就可以将其电场线作为积分回路，由于回路上各点 沿环路切向，得，这与静电场环路定理矛盾，说明静电场的电场线不可能闭合。5-6 在高斯定理中，对高斯面的形状有无特殊要求？ 在应用高斯定理求场强时，对高斯面的形状有无特殊要求？如何选取合适的高斯面？高斯定理表示静电场具有怎么的性质？答：在高斯定理中，对高斯面的形状没有特殊要求；在应用高斯定理求场强时，对高斯面的形状有特殊要求，由于场强的分布具有某种对称性，如球对称、面对称、轴对称等，所以要选取合适的高斯面，使得在计算通过此高斯面的电通量时，可以从积分号中提出来，而只需对简单的几何曲面进行积分就可以了；高斯定理表示静电场是

4、有源场。5-7 下列说法是否正确？请举例说明。（1）场强相等的区域，电势也处处相等；（2）场强为零处，电势一定为零；（3）电势为零处，场强一定为零；（4）场强大处，电势一定高。答：（1）不一定。场强相等的区域为均匀电场区，电力线为平行线，则电力线的方向，是电势降低的方向，而垂直电力线的方向，电势相等。例如无限大均匀带电平行板两侧为垂直板的均匀场，但离带电板不同距离的点的电势不相等。（2）不正确。，E=0，电势U是常数，但不一定是零。例如均匀带电球面内部场强为零，若取无穷远为电势零点，其球内电势。（3）不一定。，U=0，但U的变化率不一定为零，即场强不一定是零。（4）不一定。，场强大处，电势不一

5、定高。例如负电荷产生的电场，离电荷越近的点场强的值越大，但电势越低（取无穷远处为电势零点）。5-8 设一带电导体表面上某点附近面电荷密度为s ，则紧靠该处表面外侧的场强，若将另一带电体移近，该处场强是否改变？这场强与该处导体表面的面电荷密度的关系是否仍具有的形式？答：该处场强将会改变；但场强与该处导体表面的面电荷密度的关系仍具有的形式，只不过大小变了。5-9 为什么带电的胶木棒能把中性的纸屑吸引过来？答：带电的胶木棒使中性的纸屑发生极化，表面出现极化电荷，而纸屑质量很小，所以能够把纸屑吸引过来。5-10 电势与场强的关系式有积分形式和微分形式，在怎样的情况用积分形式计算较方便？又在怎样的情况用

6、微分形式计算较方便？5-11 试把这一章的内容小结一下。本章是如何研究场的？习 题§5-1库仑定律 §5-2 静电场 电场强度5-1 两个电量都是+q 的点电荷，相距2a ，连线的中点为O。今在它们连线的垂直平分线上放另一点电荷，与O点相距r 。（1）求所受的力；（2）放在哪一点时，所受的力最大？qqaa+q+qrFF解：（1） （2）令，解得：故放在离o点处时，所受的力最大。5-2 若电量q 均匀地分布在长为L的细棒上，求证：（1）在棒的延长线上，离棒中心为a 处P点的场强为（2）在棒的垂直平分线上，离棒为a 处Q点的场强为若棒为无限长时（即），将结果与无限长带电直线的场

7、强相比较。证明：（1）以棒中心为坐标原点，建立如图所示坐标系。（2）以棒中心为坐标原点，建立如图所示坐标系。由于Q点位于棒的垂直平分线上，由对称性可知，棒在Q点水平方向上场强为零。现只须求其竖直方向上场强分量。*（要用到的不定积分公式）*若棒为无限长时，则上式变为:结果与无限长带电直线的场强相同5-3 一半径为R的半细圆环，均匀地分布+Q电荷。求环心的电场强度大小和方向。解：在圆周上任取电荷元，它的场强大小为 由于电荷相对于y轴对称，知合场强应沿y方向，故因为，故上式中“-”表明：当Q>0时，E的方向与图中y轴的正方向相反，而Q<0时，E的方向同y轴的正方向。qdq5-4 一半径为

8、R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为s 。求球心处电场强度的大小。解：将半球面无限分割成小圆环，另设圆环所带的电荷为电荷元dq根据书本P132上带电圆环在轴线某点产生场强的公式5-5 一无限大平面，开有一个半径为R的圆洞，设平面均匀带电，电荷面密度为 s ，求这洞的轴线上离洞心为r 处的场强。解：不妨将平面看成一个无洞的大平面和带负电且半径为R的圆盘的叠加。无洞的无限大平面所产生的电场为匀强电场，带负电、电荷面密度为s ，半径为R的圆盘在轴线上离轴心距离为r 处的场强为：故，方向在圆洞的轴线上。§5-3 高斯定理5-6 大小两个同心球面，小球半径为R 1 ，带电q1 ，大球半径为

9、R 2 ，带电q 2 。求空间电场强度的分布。问电场强度是否是坐标r （即离球心的距离）的连续函数？解：当时，以半径为r作球面， 由高斯定理当 时，以r为半径作球面，由高斯定理当时，以r为半径作球面，由高斯定理综上所述可知电场强度在两球面处不连续。5-7 两个无限长同轴圆柱面，半径分别为R1 和R2 （R2 > R1），带有等值异号电荷，每单位长度的电量为l （即电荷线密度）。求距轴为r处的场强（1）r < R1 ，（2）r >R2 和（3）R1 < r <R2。解：（1）在半径为R1的圆柱面内作半径为r（r<R1），高为l的同轴圆柱面，作为高斯面。通过高斯

10、面的通量各点E垂直于轴线，上下地面电通量为零 （2）半径为R1 和R2的两圆柱面间作半径为r（R1 < r <R2），高为l的同轴圆柱面作为高斯面，由高斯定理 （3）同理，在r >R2 的区域5-8 一无限长的半径为R的圆柱体内，电荷是均匀分布的。圆柱体单位长度的电荷为 l 。用高斯定理求圆柱体内距轴线的距离为r 一点的场强。解：圆柱无限长，且电荷分布均匀，电场是轴对称且垂直于轴。所以上下表面磁通量为0。方向垂直于轴线。5-9 均匀带电的圆环，半径为R =5.0cm，总电量q =5.0×10-9 C.（1）求轴线上离环心距离为 x =5.0 cm 处的A点的场强；（

11、2）轴线上哪些点处的场强最大？量值为多大？解：（1）在圆环上取一小段，则§5-4 电势 电势差§5-6 静电场中的导体5-10 用不导电的细塑料棒弯成半径为50.0cm的圆弧，两端间空隙为2.0cm。电量为3.12×10-9C的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处场强的大小和方向。解：有补偿法可知：E0=E圆+E空=E空设孔隙长为a，显然a<<R，所以孔隙上的假象电荷可以看成为点电荷。5-11 一半径为R的长棒，其内部的电荷分布是均匀的，电荷体密度为 r 。求棒的轴线上一点与棒表面的之间的电势差。解：圆柱体内电场强度为方向垂直于轴线所以，棒的轴线上一点与棒表

12、面的之间的电势差为5-12 有两根半径均为a ，相距为d 的无限长平行直导线（d>>a），带有等量而异号的电荷，单位长度上的电量为 l 。求这两根导线的电势差（每一导线为一等势体）。（提示：先计算两导线连线上任一点的场强）。解：令A点在两平行导线连线上的任意一点，且距离导线1的距离为r，则导线1在A点处产生的场强为导线2在A点处产生的场强为又因为E1，E2方向相同，两者相加5-13 参看题5-2，求该题中P点和Q点的电势。能否从电势的表示式，由电势梯度算出P点和Q点的场强？解：（1）取坐标如图所示，设P点到原点的距离为x，在距原点O为l处取长dl 的线元，则相应的电荷元为，以dq作

13、为电荷元，则它在P点的电势为：（2）取坐标如图所示，设Q点到原点的距离为y，在距原点O为l处取长dl 的线元，则相应的电荷元为，以dq作为电荷元，则它在Q点的电势为：能从电势的表示式，由电势梯度算出P点和Q点的场强, 结果与5-2一致。5-14 已知半径为R的均匀带电球体，带电q ，处于真空中。（1）用高斯定理求空间电场强度的分布；（2）用电势定义式求空间电势的分布。解： 因为电荷呈球对称分布的带电球体产生的电场也具有球对称的场强分布。所以可用真空中的高斯定理进行求解。（1） 当r>R时，取半径为r的球面作为高斯面 （2）由电势的定义式来求解当r>R时，5-15 两块无限大的导体平

14、板A、B，平行放置，间距为d ，每板的厚度为a ，板面积为S。现给A板带电QA，B板带电QB，如：（1）QA、QB均为正值时，（2）QA为正值、QB为负值，且 |QA| < |QB| 时，分别求出两板各表面上的电荷面密度以及两板间的电势差。解：设静电平衡时，1、2、3、4各表面的电荷面密度分别为。此时两导体板内任意两点处的电场强度；而这两点的电场强度都是由四个带电表面的电场强度叠加而成的。建立如图所示的坐标，则有: 又 联立，可得 5-16 大小两个同心球面，小球半径为R1，带电，大球半径为R2，带电，试求空间电势的分布。解：带电球面的电势分布：球面内：球面外： 由叠加原理可以计算各区域

15、的电势分布§ 5-7 电容 电容器5-17 一电容器为“10mF 300V”，另一电容器为“30mF 450V”，若将两电容器并联使用，等效电容的容量是多少？耐压是多少？若将两电容串联使用，等效电容的容量和耐压又各是多少？解：（1）并联 因为并联后每个电容器两端的电势差相等，且不能超过每个电容器的耐压值，所以耐压值取较小值。(2) 串联 因为串联后每个电容器所带的电量都等于等效电容器的电量，根据公式，则分别计算两电容器可带电量的最大值，取其中较小值作为q。5-18 C1、C2两个电容器，分别标明为“200pF 500V”和“300pF 900V”，把它们串联起来后，等值电容多大？如果

16、两端加上1000V的电压，是否会击穿？解：等效电容值 会被击穿§ 5-7 电容 电容器 §5-8 静电场中的电介质5-19 一平行板空气电容器，空气层厚度1.50cm ，所接电压为39.0kV时，这电容器是否会被击穿？（设空气的击穿场强的大小为30.0kV·cm-1）现将一厚度为0.30cm的玻璃片插入电容器，玻璃片表面与电容器极板平行，已知玻璃的相对介电系数为7.00，击穿场强的大小为100kV·cm-1，问这时的电容器是否会被击穿？解：（1） 所以不会被击穿（2） 会被击穿，所以先是空气部分导通，接着玻璃部分，也被击穿。5-20 在两板相距为d 的平

17、行板电容器中，插入一块厚d/2 的金属大平板（此板与两极板相平行），其电容变为原来电容的多少倍？如果插入的是相对介电系数为e r 的大平板，则又如何？解： 设和分别为插入前和插入后的电容（1）金属片的安放位置对电容值无影响。可把金属大平板安放在最下端。，电容变为原来电容的2倍；（2）插入后，相当于两个电容器串联，所以，电容变为原来电容的倍；5-21 一导体球带电q ，半径为R，球外有两种均匀电介质，一种介质（e r）的厚度为d ，另一种介质为空气，充满其余整个空间。（1）求离球心O为 r 处的电强度和电位移；（2）求离球心O为 r 处的电势U；（3）说明第一介质边界面上的极化电荷分布情况。解：

18、（1）由于导体球内外的电场具有球对称性，由介质中的高斯定理和公式求得当r<R时： 当R<r<R+d时： 当r>R+d时： (2) 用电势的定义式来求当r<R时： 当时： 当时： （3）由电极化强度公式 来求：在介质内部， 极化电荷面密度在数值上满足 所以 5-22 半径为R的导体球，带有电荷Q，球外有一均匀电介质的同心球壳，球壳的内外半径分另别为a 和b ，相对介电数为e r ，求：（1）介质内外的电场强度和电位移；（2）介质内的电极化强度和介质表面上的极化电荷面密度；（3）求离球心O为 r 处的电势U；（4）如果在电介质外罩一半径为b 的导体薄球壳，该球壳与导体

19、球构成一电容器，这电容器的电容多大？解：（1）由于同心金属球和球壳周围的电场具有球对称性，由介质中的高斯定理和公式求得当r<R时： 当R<r<a时： 当a<r<b时： 当r>b时： （2）由电极化强度公式 来求：在介质内部， 极化电荷面密度在数值上满足 所以 而介质内部没有极化电荷。(3) 用电势的定义式来求当r<R时： 当时： 当时： 当时： （4）此时，导体薄球壳内、外两表面上的感应电荷为,半径为b的导体薄球壳内表面和半径为a的金属球表面将形成一球形电容器。电势差为：所以这电容器的电容为：§5-9 静电场的能量5-23 一平行板电容器的两

20、极板间有两层均匀电介质，一层电介质的 =4.0，厚度d1 =2.0mm，另一层电介质的=2.0，厚度d2 =3.0mm。极板面积为S =50cm2。两极板间电压为200V。计算：（1）每层介质中的电场能量密度；（2）每层介质中的总能量；（3）用公式计算电容器的总能量。解：当真空中场强大小为，如充满相对介电常数为的电介质时，电介质中的场强削弱为真空中的，即。已知： （1） （1）又因为 （2）联立方程（1）和（2）得电场能量密度公式为： 所以根据电介质中的高斯定理，可知两层介质中的电位移通量是相等的。（2）介质的总能量是将能量密度对整个体积求积分由于两层介质中的电场都为匀强电场，所以（3）此时，两极板所带自由电荷分别为,用电介质中的高斯定理来求。 5-24 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，