离散数学形成性考核作业

1、（绩效考核）离散数学形成性考核作业（三）离散数学图论部分综合练习辅导本次活动是本学期的第二次活动(2008.11.18)，主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式是通过讲解壹些典型的综合练习题目，帮助大家进壹步理解和掌握图论的基本概念和方法。图论作为离散数学的壹部分，主要介绍图论的基本概念、理论和方法。教学内容主要有图的基本概念和结论、图的连通性和连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图和汉密尔顿图、平面图、对偶图和着色、树和生成树、根树及其应用等。本次综合练习主要是复习这壹部分的主要概念和计算方法，和集合论壹样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题。这

2、样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这壹部分主要内容的学习。下面分别讲解。壹、单项选择题1 设图G的邻接矩阵为则G的边数为()A5B6C3D4正确答案：D上学期的作业中，有的同学选择答案Bo主要是对邻接矩阵的概念理解不到位。我们复习定义：定义3.3.1设G=<V,E>是壹个简单图，其中V=vi,V2,vn,则n阶方阵A(G)=(aj)称为G的邻接矩阵.其中各元素而当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的.即当结点Vi和Vj相邻时，结点Vj和Vi也相邻，所以连接结点Vi和Vj的壹条边于邻接矩阵的第i行第j列处和第j行第i列处各有壹个1,题中给出的邻接矩阵中共有

3、8个1,故有82=4条边。2 .设图G=<V,E>,则下列结论成立的是().Adeg(V)=2EBdeg(V)=ECD正确答案：C该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况。复习握手定理：定理3.1.1设G是壹个图，其结点集合为V,边集合为E,则3 图G如右图所示，以下说法正确的是()A. (a,d)是割边B. (a,d)是边割集C. (d,e)是边割集D. (a,d),(a,c)是边割集正确答案：C上学期许多同学选择答案A。主要是对割边、边割集的概念理解不到位。复习割边、边割集的定义：定义3.2.9设无向图G=<V,E>为连通图，若有边集EiE,使图G删除了Ei的所有边后

4、，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称Ei是G的壹个边割集若某个边构成壹个边割集，则称该边为割边(或桥)如果答案A正确，即删除边(a,d)后，得到的图是不连通图，但事实上它仍是连通的。因此答案A是错误的。4 设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=()Aev2Bve2Cev2Dev2正确答案：A该题主要是检查大家对平面图的欧拉定理的理解情况。定理4.3.2(欧拉定理)设连通平面图G的结点数为v,边数为e,面数为r,则下列欧拉公式成立v-e+r=25 无向图G存于欧拉通路，当且仅当()AG中所有结点的度数全为偶数8 G中至多有俩个奇数度结点CG连

5、通且所有结点的度数全为偶数DG连通且至多有俩个奇数度结点正确答案：D上学期许多同学选择答案Co主要是将题中的“欧拉通路”误认为“欧拉回路”了。其实应该运用定理4.i.i进行选择，才是正确的。复习定义和定理：定义4.1.1给定无孤立结点图G,若存于壹条路经过图G的每条边壹次且仅壹次，则该路称为欧拉路；若存于壹条回路经过图G的每条边壹次且仅壹次，于该回路称为欧拉回路；定理4.1.1无向图G具有壹条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或2个奇数度数的结点.推论壹个无向图具有壹条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，且且它的结点度数均是偶数.所以，正确答案应该是D.6.设G是有n个结点，m条边的连通图，必须

6、删去G的()条边，才能确定G的壹棵生成树.A.B.C.D.正确答案：A上学期许多同学选择答案Do主要是把定理5.1.1给出的图T为树的等价定义之壹是图T连通且e=v-1中的公式用错了.大家只要把m代入公式e=v-1中的e,把n代入公式e=v-1中的v,能够知道答案A是正确。定理5.1.1给定图T,则以下关于图T为树的定义等价.(1)无回路的连通图.(2)无回路且”-1,其中e是边数，v是顶点数.(3)连通且e=v-1.(4)无回路，但增加任壹新边，得到且仅得到壹个回路.(5)连通，但删去任壹边后图便不连通.(v>2)(6)每壹对顶点之间有且仅有壹条路.(v>2)定理5.1.1的六个

7、等价定义，大家应该熟记的.最主要的是：无向简单图G是棵树，当且仅当G连通且边数比结点数少1.二、填空题1 .已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点,则G的边数是.应该填写：15主要检查大家对握手定理掌握的情况。定理3.1.1(握手定理)设G是壹个图，其结点集合为V,边集合为E,则因为图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点,即，所以边数有问：若无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各壹个，那么T的树叶数为多少？2 .设给定图G(如右图所示)，则图G的点割集是应该填写：f,c,e上学期许多同学填错答案主要对点割集的概念理解不正确。定义3.

8、2.7设无向图G=<V,E>为连通图，若有点集ViV,使图G删除了Vi的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了Vi的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称Vi是G的壹个点割集.若某个结点构成壹个点割集，则称该结点为割点.上学期许多同学填写的f,c,主要是没有完全理解定义327,因为f是f,c的真子集，而删除f后，图是不连通的。3 .设无向图G=<V,E>是汉密尔顿图，则V的任意非空子集Vi,均有Vi.应该填写：W(G-Vi)因为具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图.而由定理4.2.i若图G=<V,E>中具有壹条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S均

9、有W(G-S)|S|成立，其中W(G-S)是(G-S)中连通分支数.因此应该填写：W(G-Vi).4 .设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度.应该填写：等于出度如果大家记住“具有欧拉回路的图称为欧拉图”和定理4.i.2:壹个有向图具有单向欧拉回路，当且仅当它是连通的，且每个结点的入度等于出度.大家壹定能填写出正确答案的。5 .设完全图K有n个结点(n2),m条边，当时，K中存于欧拉回路.应该填写：n为奇数上学期许多同学填错答案主要对完全图的概念理解不正确。定义3.i.6简单图G=<V,E>中，若每壹对结点间均有边相连，则称该图为完全图.有n个结点的无向完全图记为Kn.由定义可

10、知，完全图Kn中的任壹结点v到其它结点均有壹条边，共有n-i条边，即每个结点的度数是n-i,当n为奇数时，n-i为偶数。由定理4.i.i的推论可知，应该填写：n为奇数。6 .给定壹个序列集合i,0i,i0,ii,00i,000，若去掉其中的元素,则该序列集合构成前缀码.应该填写：i因为于二进制中i是i0和ii的前缀。而前缀码的定义是(定义5.2.i0):给定壹个序列集合，若没有壹个序列是另壹个序列的前缀，该序列集合称为前缀码.填写该题答案时大家壹定要对前缀码的定义理解非常清楚。问：若扪5序列集合中的1换成0,应该去掉哪个元素？三、判断说明题1.给定俩个图Gi,G2（如下图所示）：（1）试判断它

11、们是否为欧拉图、汉密尔顿图？且说明理由.（2）若是欧拉图，请写出壹条欧拉回路.分析：先复习欧拉图的判别定理和汉密尔顿图的定义：定理4.1.1的推论：壹个无向图具有壹条欧拉回路，当且仅当该图是连通的,且且它的结点度数的是偶数.定义4.2.1:若存于壹条回路经过图G的每个结点壹次且仅壹次，则该回路称为汉密尔顿回路；具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图.解：（1）图G1是欧拉图.因为图G1中每个结点的度数均是偶数.图G2是汉密尔顿图.因为图G2存于壹条汉密尔顿回路（不惟壹）：a（a,b）b（b,e）e（e,f）f（f,g）g（g,d）d（d,c）c（c,a）a问题：请大家想壹想，为什么图G1不是汉密尔

12、顿图，图G2不是欧拉图。（2）图G1的欧拉回路为：（不惟壹）：V1（V1,V2）V2（V2,V3）V3（V3,V4）V4（V4,V5）V5（V5v2）V2（V2,V6）V6（V6,V4）V4（V4,V1）V1（上学期的学生于书写欧拉回路时不规范，大家要按照正确的方法写法。）2.判别图G（如右图所示）是不是平面图，且说明理由.分析：平面图的定义是定义4.3.1设G=<V,E>是壹个无向图，如果能把G的所有结点和边画于平面上，且且使得任何俩条边除端点外没有其他的交点，则称G是壹个平面图（也称可平面图）.V5V4显然平面图的边和边只于结点处相交.解：图G是平面图.因为只要把结点V2和V6

13、的连线（V2,V6）拽到结点V1的外面，把把结点V3和V6的连线（V3,V6）拽到结点V4,V5的外面，就得到壹个平面图.注意：定理4.3.3设G是壹个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v>3,贝e03v-6.会用于判断不是平面图。四、计算题1.设图GV,E,其中Vai,a2,a3,a4,a5,Eai,a2,a2,a4,a3,ai,a4,a5,a5,a2(1)试给出G的图形表示；(2)求G的邻接矩阵；(3)判断图G是强连通图、单侧连通图仍是弱连通图？解：(1)图G是有向图：(2)邻接矩阵如下：a2a3(3)通图，也是弱连通图.关于强连区、单N连熊是弱连通图的判断,希望大家掌握图论综合作

14、业单项选择就中的第4回a12.图G=<V,E>,其中V=a,b,c,d,e,f,E=(a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(b,e),(c,e),(d,e),(d,f),(e,f),对应边的权值依次为5,2,1,2,6,1,9,3及8.(1)画出G的图形；(2)写出G的邻接矩阵；(3)求出G权最小的生成树及其权值.解：(1)因为V=a,b,c,d,e,fE=(a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(b,e),(c,e),(d,e),(d,f),(e,f),权值依次为5,2,1,2,6,1,9,3及8所以，G的图形如右图所示：(2)分析：定义3.3.1设G=<

15、V,E>是壹个简单图，其中V=v1,V2,，vn,则n阶方阵A(G)=(aj)称为G的邻接矩阵.其中邻接矩阵：(3)用避圈法：第1步：选(a,e)和(c,e)边；第2步：选(b,d)边；(为什么不选(a,c)?)第3步：选(d,f)边；第4步：选(a,b)边.这样，得到了最小的生成树，如右图中粗线所示最小的生成树的权为1+1+5+2+3=12上学期作业中的最小的生成树求的不对，主要是没有把握“取权数最小的边，且和前面取到的边不构成圈”，常常是只注意取权数最小的边了，而忽略“不构成圈”的要求。问：如果结点集是V=a,b,c,d,e，边集E=(a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(

16、b,e),(c,e),(d,e)，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，那么会求吗？3设有壹组权为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试(1)画出相应的最优二叉树；(2)计算它们的权值解：(1)最优二叉树如右图所示：方法(Huffman)：从2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31中选2,3为最低层结点，且从权数中删去，再添上他们的和数，即5,5,7,11,13,17,19,23,29,31；再从5,5,7,11,13,17,19,23,29,31中选5,5为倒数第2层结点，且从上述数列中删去，再添上他们的和数，即7,10,11,13,17,19,

17、23,29,31；然后，从7,10,11,13,17,19,23,29,31中选7,10和11,13为倒数第3层结点，且从上述数列中删去，再添上他们的和数，即17,17,24,19,23,29,31；(2) 权值为26+36+55+74+114+134+173+193+233+293+312=12+18+25+28+44+52+51+57+69+87+62=505讲评：作业中最优二叉树均画对了，但计算总权值时把有些权的层数计算错了，导致总权值计算错误。问：如果壹组权为2,3,6,9,13,15,能否画出最优二叉树？五、证明题证明题上学期的学生做的很不好，原因是他们对证明题方法没有掌握，也是对壹些概念不清楚所造成的。因此，希望大家认真学习课件和老师讲课中的证明方法，且通过作业逐步掌握做证明题的方法。1 若无向图G中只有俩个奇数度结点，则这俩个结点壹定是连通的证明：用反证法.设G中的俩个奇数度结点分别为u和v.假设u和v不连通，即它们之间无任何通路，则G至少有俩个连通分支Gi,G2,且u和v分别属于G1和G2，于是G1和G2各含有壹个奇数度结点这和定理3.1.2的推论矛盾因而u和v壹定是连通的2 设G是壹个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数证明图G和它的补图中的奇数度顶点个数相等证明：设，则是由n阶无向完