应力与应变分析(20211109140652)

1、2 2 2I :n'm :n-n 1y22231第十三章应力与应变分析一、内容提要1. 三向应力状态在一平衡物体内任意位置上取单元体， 这里仅讨论主应力状态时得情形图13.1a 假设三个主应力为，求单元体内任意斜截面ABC上的应力即一点任一方向上的 应力。斜截面截出的四面体如图13.1b所示，设斜截面的法线为n，法线与x、y、z坐 标轴的夹角余弦分别为cosN,x=l， cosN,y=m， cosN,z=n，它们应满足关系式(a)-b图 1 3. 1把斜截面上的总应力P分解成与斜截面垂直的正应力Cn和相切的切应力n 图13.1c,那么其与主应力的关系为2 2 2 +cr2m +cr3n

2、 13.1i匸 ln为由三个主应力所确定的三个圆所围成区域图13.2中阴影中的一点。由图13.2显见2在以匚n为横坐标、n为纵坐标的坐标系中，由上式所确定的任意斜截面上的正应力G和切应力2.平面应力状态下的应变分析一点的应变状态的概念与应力状态的概念相似，在受力构件内，应变不但随点的位置而变化，而且在同一点也随方向而改变。即一点的应变与点的位置和方向都有关系。同一点不同方向的应变 分量之间应满足微单元体在线弹性小变形条件下的几何关系。一点的应变状态即指通过一点不同方向上的应变的情况。应变分析平面应力状态下，一点的应变分量；x、:y、xy，欲求与水平方向成逆时针：角方向上的线应变和切应变,由于应

3、变分量；x、利用叠加原理，即可得到1可根据弹性小变形的几何条件，分别找出微单元体长方形 丫xy在此方向上引起的线应变 咕及切应变丫 图13.3，在(13.3)1 1 .=(:X 亠 Ty)' _( ；x .：y) cos 2 ：xy sin 2 ：2 2 2(13.4)图 13. 3.-_(核-“)sin 2二：；gy cos 2：确定主应变主应变为正应变的极值，由条件d ；：./d =0，即可得平面内主应变为J1；2212(13.5)假设主应变“方向与x轴得夹角为：o，那么有tan 2% 二-13.6"Sy3.应变得测量与应力的计算在实验应力分析中，常常使用应变仪来测量受力

4、构件外表上某点处的应变，然后运用应力、应变分析的知识，就可以确定构件的应力情况。在应变测量中，由于切应变xy 不易测量，所以一般先测定测点处沿几个方向的线应变，利用测定的结果，根据公式13.3、公式13.5和公式13.6就可进行应变分析，确定测点的主应变。如图13.5 所示直角应变花，可测出三个方向上的应变；0.、右和；90 ,利用公式13.5和公式13.6,tan 2 ： °2 ；45°-；9°：得主应变的大小和方向为假设测点为二向应力状态，由广义胡克定律公式5.12,可解出两个主应力为门E ；9°，. ：2E-321 -;： 一 21 '.(

5、13.8)(13.9)(13.11)图 1 3. 51图 13. 6假设使用60"角应变花图13.6，那么得(13.12)主应力的方向由13.9式确定。-'60二 12 0-(13.13)假设测点为二向应力状态，同理可解出两个主应力为E3(1 一、.)("0 ' -6 0 "1203(1 ，.)(13.14)主应力的方向由13.13式确定二、根本要求1 掌握平面应变状态分析的解析法2. 掌握通过某点测量的应变值来确定该点主应变、主应力的大小及方向的方法。三、典型例题分析例题13.1习题13.7用直角应变花测得受力构件外表某点处的应变值为：乍二二6

6、71f ,；45:. = -5 7 0 1 0 - ,；90：' =79 10 -。 假设材料为 Q235 钢， E = 2 0 0 G P 戶=0.3 ,k- I-160M Pa。试计算测点主应力的大小与方向，并用第三强度理论校核强度。解：由公式13.11计算主应力的大小为(G _ E( ；0；90.)962001 0 ( 一267 - 79)10 -2(1 _0.3 )-3 2(1 -、.)2001 09 J 2；22/*;(一267 - 570)(-570 -79)1 0 -=2(1 0.3 )'66( 5 1.0 6 M Pa-26.8 610 士77.9 21 0=-

7、1 04.7 8M Pa:2 =0由公式13.9计算主应变的方向，也即主应力的方向ta n 2、f0902(-570)267792.7 5267 -792：0 =70 或 250，:- 0=35 或 1 25'由第三强度理论可得CTr3 =6 兀 =5 1.0 6 ( 一1 0 4.7 8) =155.8 4M Pa < fcr J满足强度条件例题13.2习题13.8用等角应变花测得受力构件外表某点处的应变值为：4 0 010，0 7k- .1-1 60M Pa。试计算测点主应力的大小与方向，并用第四强度理论校核强度。解：由公式13.14计算主应力的大小为二 331 一、.(“ W 云 560-1 20-2)'(；12d9200 10 6 (400 -300250)1 0 一 3(1 -0.3 )、2 200 1092 2 2 6400 - 300) - ( -300 -250)(2 50 4 00)1 0 -3(1 - 0.3 )63 3.3 310665.4 7109 8.8 M Pa-3 2.1 4M Pa；2 = 0由公式13.13计算主应变的方向，也即主应力的方向tan 2 ： 020、3(_300 _ 250)二 1.1 22400300 2502： 0 = -48.2 5 或 1 31. 74，:- 0 = _2 4.1 3 或 6