微分方程与差分方程知识网络图内容与要求了解常

1、第六章微分方程与差分方程、知识网络图亠定义微分方程的根本概念方程的阶解与通解，初始条件与特解'可别离变量方程-阶微分方程一阶齐次微分方程 一阶线性微分方程-可降阶的二阶微分方稗才=fxf刀型二阶微分方劉lx = f(y,力型二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 仁阶常系数非齐决线酬分方程差分及差分方程的定义差分方齊一阶常系数线性差分方程£齐次方程yt+1 7耳=0的解陆 .非齐次方程yf+1 -yt = /W的解法二、内容与要求i了解常微分方程及其阶、解、通解、初始条件、特解等概念.2. 能正确判断一阶微分方程的类型，熟练掌握可别离变量方程、齐次方程和一阶线性微分

2、方程的解法.3. 能用降阶法解特殊类型的高阶微分方程包括的解法4. 熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，掌握高阶常系数齐次线性微分方程的解法.5. 理解二阶线性方程的通解结构，掌握自由项形如J <近丨址；的二阶常系数非齐次线微分性方程的解法.6. 会对一些简单的经济、几何等问题建立微分方程模型并求解.7. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.8掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法.9.会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题.重点微分方程与差分方程的概念；可别离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分 方程的解法；一阶常系数线性差分方程的解法.难点二阶常系数非齐次

3、线性微分方程的求解；一阶常系数非齐次线性差分方程的求解；微分方程与 差分方程的应用.三、概念、定理的理解与典型错误分析1根本概念(1) 微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微分方程.(2) 微分方程的阶微分方程中未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.(3) 微分方程的解代入微分方程能使其成为恒等式的函数，称为微分方程的解.(4) 微分方程的通解如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分 方程的阶数相等，那么这样的解称为微分方程的通解通解有两种：一种称显式通解，一种称隐式通解.(5) 微分方程的特解微分方程的解如果是完全确定的(即不含有任何

4、参数)，称为微分方程的 特解.微分方程的特解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.(6) 微分方程的初值问题求满足一定条件的微分方程的特解，这个问题称为微分方程的初值问题，这个条件称为微分方程的初始条件.(7) 阶差分(8)阶差分-丫 '为原数列的一阶差分.1 .二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.(9) 差分方程含有自变量未知函数I或求知函数I的差分的方程称为差分方程.(10) 差分方程的阶差分方程中所含未知函数差分的实际最高阶数或方程中未知函数的最大下标 与最小下标的差数称为此差分方程的阶.(11) 差分方程的解满足差分方程的函数，称为差分方程的解.(12) 差分方程的通解假设

5、解中所含相互独立的任意常数个数与差分方程的阶数相同， 那么这个解称为此差分方程的通解.(13) 差分方程的特解确定了任意常数的解，称为此差分方程的特解.(14) 差分方程的初始条件用来确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件.2、主要定理(1) 对二阶常系数齐次线性微分方程我们有定理1假设是方程的两个解，那么y - 1/1+C仍 也是方程的解，其中是任 意常数.特别地，当线性无关时，那么 ?二C仍+C仍是方程的通解.(2) 对二阶常系数非齐次线性微分方程我们有定理2假设是方程的一个特解，是其对应的齐次方程的通解，那么=/ + / = / + ?1+2 是方程的通解，其中 C沁是任意常数.定理3

6、设分别是非齐次线性微分方程:叮门=中二I和：匕的特解，那么 为+旳 是方程 才+用+卵恥)+朋) 的特解.3、微分方程和差分方程的类型及解法形如的方程.(1) 一阶微分方程及其解法解法别离变量(即把含有(i )可别离变量的微分方程x的放在一边，把含有 y的放在另一边)，将方程变为酌)两边积分厂得.这是方程的隐式通解，假设化简方便，那么化简为的方程.血(ii )齐次微分方程形如 二. .u= -T 5!| _ = u + i 解法 作变量代换，令，代入方程得u+x-=/(u), BP- = -(jtKCR I代入，即得原方程这是一个变量u关于变量x的可别离变量的方程， 求岀U的通解，再用的通解.

7、(iii )一阶齐次线性微分方程的方程.解法别离变量法.(iv ) 阶非齐次线性微分方程dy形如的方程.解法常数变易法或公式法.常数变易法先解对应齐次方程一，-"J 1''的通解，然后将通解中的常数C变易为待定函数通解公式法dx + c代入原方程求出待定函数(二，便得方程的通解.(v)贝努利方程形如:丁(n工0, 1 )的方程."厂"那么J(l Q厂卑解法作变量代换，令一代入方程得嘤+(j)甲 1(1")妙解.(2)高阶微分方程及其解法(i )可降阶的高阶微分方程解法经过n次积分，就可得方程的通解.这是一个变量z关于x的一阶线性微分方程.

8、求出通解，再用-代入即得原微分方程的通型(不显含)解法设M止心工； ，'.，代入方程得 C ' “ ，这是一个p关于x的一阶微分方程，求出通解，再积分就可得原方程的通解.型(不显含)解法设"八，'，代入方程得V，这是一个p关于y的一阶微分方程,求岀通解，再别离变量，积分就可得原方程的通解.(ii )二阶常系数齐次线性微分方程形如的方程(其中p ,q为常数)解法第一步：写岀特征方程'1 ；第二步：计算特征根一；第三步：根据 一 .!的不同情况，按下表写出方程的通解.特征根Z方程的通解两个不同的实根卩工勺尹之谭+巾尹1两个相同的实根r-r-ry - (c1

9、-c2x)en!一对共純复根q ,勺二O士工0y = eaif(tji cos + sin 岳)(iii )二阶常系数非齐次线性微分方程形如-.py'-r:,二的方程(p ,q为常数)解法 先求出对应齐次微分方程- 的通解 J ;，再求出原方程的一个特解，那么原方程的通解为y(© = y(E +y "(Q.下面以表格形式列岀的两种不同类型时，特解的形式然后代入方程用待定系数法求岀特解./w的形式条件特解丿匕)的形式A不是特征方程根严=2尹兄杲特征片程单根宀讹如灵是特征方程重根宀畑(如f (x)=严 pi (兀)cos 伽 +p a (jr) sin dtrA 土i

10、Q不是 特征芳程根+应賊(x) sin伽 (聊二 max(Zf)込土id)是 特征方程根+ Rm (x) sin 处3 (3) 阶常系数线性差分方程的解法(i )一阶常系数齐次线性差分方程 形如的方程解法 写岀特征方程八一，得特征根，二匸，那么差分方程的通解为'二 其中为任意常数.(ii ) 一阶常系数非齐次线性差分方程形如 片+1 一叭=/W 的方程解法先求岀对应齐次差分方程的通解'，再求出原方程的一个特解人，那么原方程的通解为；'几)"E© 帖0)其中 P北 是的：次多项式，那么方程 片+i叭=/W 的特解形式为*甘QJD*跡是特征棍?，&quo

11、t;护a 堤特征检4、典型错误分析(1)注意方程有漏解的情形在求解方程过程中，有时会岀现漏解，特别是有分式运算时，要注意分母为零的情形.例如求VI】的通解.解别离变量得.两边积分，得通解J1-于=arcsin x + C此外一 也是方程的解，这不能由 一'确定，此解易被漏掉.(2)作变量替换后，注意代回原来变量j - 4y = ;?尹耳例如求一t的通解.1H 二一解 这是伯努利方程，1，令，竺=1+空- 一二，代入原方程得dz 2xz 二一.V.上1 .由一阶线性方程求解公式，得通解J紐r%寸树.小 Ji 1JJ2匕丿I此题到此并未解答完毕，最后应代回原变量 ?:，得(3)求通解时，注

12、意任意常数在求一阶微分方程通解时，其任意常数是必须有的，且岀现在适当的运算位置上，不能随意添加或 删去，否那么会岀错.= 2dx例如求方程；的通解.两边积分2dx得通解训二2x或y = +C . 上述讪二2x是解，但不是通解；而I - "'随意加任意常数，不是方程的通解.丄 dy=2dx 1& 广此题正确的解法是，由丿得血A -山十5，得通解(4) 对二阶线性微分方程通解的理解错误例如 给出二阶线性微分方程的两个解_!，那么该方程的通解为尸C仍+C仍解 上述结论是错误的，因为a. 没有明确所给方程是“齐次还是非齐次；，那么该方程的通解为b. 没有明确所给的两个解是“线

13、性相关还是“线性无关.如果把问题改为给岀二阶线性齐次方程的两个线性无关的特解' i '(其中一 1为任意常数)成立.(5) 对二阶线性非齐次微分方程叠加原理(定理 1)的理解错误例如容易验证 71 = -1)3 和 >2=(x+l)a 都是微分方程丨 和的解，那么两个解的叠加(其中为任意常数)都满足上述两个方程.解 上述结论是错误的，可以验证 y = G(-l)2+C 总+1F只满足前一个方程而不能满足后一个方程，其原因在于：上述两个微分方程在本质上有差异，前一个方程是线性齐次微分方程，后一个方程是非线性微分方程我们知道解的叠加原理(定理1 )只适用于线性齐次方程，而非线性方程不具有此性质，因此两个解的叠加只满足第一个方程，而不满足第二个方程.例如 设；二 为一连续函数，且满足方程 J (")，求门解 这是一个含有变上限的积分方程，可改写为/(z) = sm i- xjQ两边对求导，得/f(x)