换元法在代数中的应用

1、换元法在代数中的妙用A 层次材料：根底稳固换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，假设能根据问题的特点 , 进行巧 妙的换元，那么可以收到事半功倍的效果，现举例说明1. 用换元法分解因式例 1.分解因式 :(m ? n)2 -2(1 m ? n) _ 1 .解：设m ? n = y,贝U原式=y2 2(1 y) -1= y2 2 2y 1=y2 A2y 3=(y-3)(y1),从而 (m n -3)(m n 1) .点评 ：运用换元法分解因式 ，是将原多项式中的某一局部巧用一个字母进行代换 使原多项式的 结构简化 ，进而便于分解因式 .2. 用换元法解分式方程和无理方程 例

2、2. 解方程：2 27(1) 2x2 亍 - 7x 2 = 0 ；xx 3(x -2) 2 - 2 x2 -4x 7 1 = 0 .2 (x-丄)2 2 - x2=0 解:(1) 原方程可化为 ：1设X -1二y,那么方程化为：x2y2 7y 亠 6 = 0解方程 ，得力知 2 拧y1 =2 时,x -丄 =2.x解得，X =1 一 .2 .t 3 当 y2 =2 时，1 3x .x 21 解得 ， x 或 x = 2.2经检验 ,知 x1 = V , 2 , x 2 = . 2 ,2 所以，原方程的解为 Xj =1 ?、2 , x2 =1 - 2 , x3 = -1, x4 =2.2 点评

3、：运用换元法解分式方程 ，主要有三种情况 .一是原方程可化为关于某一个分式的. 次方程 如，本例题 ,这时 ,只须设这一分式为辅助元即可；二是原方程中含有未知数的几x 4 3x个分式，除数字系数外，互为倒数关系如，解方程：一 -AA=2，这时，只须x x -4设其中一个分式为辅助元即可；三是含有未知数的各个分式的分母都是关于未知数的二次三1 1 1项式，且二次项系数和一次项系数对应成比例如，解方程飞2，x+2x + 1 x+2x + 2 2这时，只须设二次项系数的绝对值最小的多项式为辅助元即可 2 原方程可化为 ：3x2- 4x 7一2 . x2-4x 7 一8 = 0 .设一 x2 - 4x

4、 ? 7 = y,那么方程化为：3y22y8 = 0 解万程 , 得屮=2,A2 二当 yi = 2时,解得,xA 1, X2 = 3.4当 y2 =一 3 时,3、x2 -4x 7 二此方程无解 .经检验，知& =1, x2 = 3都是原方程的解所以，原方程的解为xA = 1,X2 =3.点评：解比拟复杂的无理方程时 ，如果用两边平方的方法 ，将出现高次方程 ，增加解题难 度， 此时假设能根据方程的特点，灵活地应用换元法 ，那么可以实现化繁为简、化难为易的目的在采用换元法解无理方程时，一般设整个根式为辅助元 ，这样不仅能简化方程 ，而且往往能直接把无理方程化为有理方程?B 层材料：能

5、力提升3. 用换元法解高次方程例 3.解方程：(x 1)(x2)(x3)(x - 4) =3.解 : 原方程可化为 ：(x 1)(x 4) l(x 2)(x 3)1 = 3 .即(x2 5x 4)( x 2 5x 6) = 3 设 x2 5x y ， 那么方程化为 ：(y i)(y -1) =3 .解得 ， y = ： 2当y =2时，x2 5x 5=2 .解方程 ， 得-5 士x.2当 y 二-2 时，x2 5x 5 - -2.寫心 v 0 ，因此，原方程的根为Xi二二5 A, xA 卫.2 2 点评：解一元高次方程的根本思想是降次，而换元法是降次的一种根本方法4. 用换元法解方程组Jx y

6、 =18 ，例 4. 解方程组 :W'x3 訂 + 2 =3.解：设.x - 3二u, . y ? 2二v,那么原方程组可化为< 2 2u +v =17,(1)u -v = 3.由得，u = 3 V. (3)将代入(1),得(3 v)2v2 =17.解得,v1 =tvA - 4A._ y 2不能为负，舍去).=4.得彳,.y 2 =1.解得,/=19,经检验,知丿x =19是原方程组的解1的解为丿x = 19所以,原方程组点评：妙用换元法 单而熟悉的问题.y = -1，将无理方程组化为有理方程组，从而把繁杂而生疏的问题转化为简C层材料：拓展升华5.用换元法求值1 1例5.计算：(丄？ 1 ?23X1-(1 -1-200621 1 1 )( 2006 220O51 1解：设1 - 原式=(xf)(x1x,那么20061"2Oo5.x(x