辽宁师范大学计算机与信息技术学院

1、计算机科学与技术专业研究型课程计算机科学与技术专业研究型课程辽宁师范大学计算机与信息技术学院数字图像处理的信号基础 宋传鸣第三章 连续和离散时间傅里叶变换Page 2辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础连续时间信号的傅里叶变换定义连续时间信号xa(t)的频域表示由CTFT给出:CTFT通常也称为傅里叶谱.xa(t)可由其CTFT通过逆变换得到,即其中, 表示连续时间的角频率变量,量纲为弧度.由于 称为幅度谱, 称为相位谱连续时间傅里叶变换(CTFT)()()j taaXjxt edt+ - W- W =()(

2、)12j taaxtXjedp+ W- =WWRW ()()( )( )()()argajaaaaXjXjeXjqqWW =WW =W()aXjW( )aqWPage 3辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础连续时间信号的傅里叶变换定义CTFT存在的条件(狄利克雷Dirichlet条件)在任何一个有限的区间内,信号具有有限个不连续点,且极值数目有限信号绝对可积例1:令 ,求其CTFT.由于 ,它的傅里叶变换为连续时间傅里叶变换(CTFT)()()()0,000taetxttaa-=()01taxt dtedta

3、a+ + - =()22211122xaXjddeppa+ + - - =WW =W+ W蝌()21121/dpaaa+ - 骣 W=桫+ W111arctan222ppaapaa+ - 骣 W=桫ggPage 7辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础带限连续时间信号理想带限信号在有限频率范围 之外为0,即 理想带限信号是不可能产生的.实际中只能保证带限信号在其频率范围之外的能量足够小根据绝大部分能量集中的频率段分类:低通: , 称为信号的带宽高通:带通:连续时间傅里叶变换(CTFT)pW()1,00,aabX

4、j W WW =W W + 0p W W + abW W W0p W W + 0LH W W W + Page 8辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础能量密度谱与自相关序列令 根据傅里叶变换的定义,有自相关函数与能量密度谱构成一个傅里叶变换对当 时,互能量密度谱连续时间傅里叶变换(CTFT)0l =()() ()( ) ( )( )1212j lxxj lxxrlf t f tl dtFFedSedwwwwpp+ + - - + W- =-= =WW蝌( )()j lxxxxSrl ed+ - W- W =W

5、( )( )102xxxxrSdp+ - =WW()() ()() ()121212j lxyrlft ftl dtFjFjedp+ + W- - =-=WWW蝌Page 9辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础正变换序列xn的DTFT 的定义如下: 例:计算指数序列 的DTFT 是 的连续函数,与CTFT不同, 是一个周期为 的周期函数离散时间傅里叶变换(DTFT)w() jj nnX ex n eww+ -= - =() 011jnj nnj njnnX en eeewwwwa maa+ + -= - =-

6、邋()jX ew ()1nx nna ma=()() ()22jkj nj k njnX ex n eeX ewpwpw+ +-= - =()jX ew()jX ew2pPage 10辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础逆变换 的逆DTFT 定义如下: 积分范围也可以是0,2基本性质极坐标形式: ,其中 称为幅度谱, 称为相位谱直角坐标形式:离散时间傅里叶变换(DTFT)()jX ew ()12jj nx nX eedpwwpwp-=()jX ew()()( )jjjX eX eeq www=( )()arg

7、jX ewq w=( )q w()()()jjjreimX eXejXewww=+示例示例Page 11辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础收敛条件DTFT 是一个无限求和的级数,可能收敛也可能不收敛只要 ,则有 xn的DTFT收敛的充分条件是序列绝对可和一致收敛若 ,则级数一致收敛对于一个绝对可和的序列,其DTFT的无穷级数对所有 都是一致收敛的离散时间傅里叶变换(DTFT)()()limjjkkXeX eww + = nx n+ = - + w() jj nnnX ex n ex nww+ + -= -

8、= - = + 邋Page 12辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础收敛条件有限长序列绝对可和,所以一致收敛 无限长的序列不一定收敛例: 当 时绝对可和,存在DTFT;当 时,序列的DTFT不存在绝对可和序列与有限能量序列绝对可和序列必定是能量有限的能量有限序列不一定是绝对可和的例:离散时间傅里叶变换(DTFT)1a nx nna m= 22nnx nx n+ + = - = - 骣 ()()2111/111,016nnnnx nnnnp+ + =骣= = 桫 邋Page 13辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机

9、算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础收敛条件对满足平方可和,但不满足绝对可和的一类信号,若其DTFT满足 ,则称 是在均方意义下收敛的满足均方收敛的DTFT有可能不满足一致收敛例:设 ,求其逆DTFT n0时, n=0时,离散时间傅里叶变换(DTFT) ()()1122sin12ccccjj nj nLPLPjnjnchnHeededneejnjnnpwwwwpwwwwwppwpp-=骣 =-= 桫蝌()()2lim0jjkkX eXedpwwpw- + -=()()()100cjLPcHewwwwwp= ()jX ew()11022ccj

10、LPLPhHeddpwwpwwwwppp-=蝌Page 14辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础收敛条件由于 是能量有限的,但不是绝对可和的 的DTFT只在均方收敛意义下达到令 在 的邻域存在波纹,并与求和项无关当k逐渐增大,波纹数量增加,但是最大波纹的高度对所有k值却保持一致当k趋近于无穷大, 均方收敛到吉布斯(Gibbs)现象离散时间傅里叶变换(DTFT)()(),sinkcjj nLP knknHeenwwwp-= -=()jLPHew ()221122ccjcLPLPnhnHeddpwwpwwwwpp

11、p+ -= - =蝌 LPhn LPhn()jLPHewcww=()jLPHew(),jLP kHewPage 15辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础JPEG中的吉布斯现象离散时间傅里叶变换(DTFT)Page 16辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础JPEG中的吉布斯现象离散时间傅里叶变换(DTFT)Page 17辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的

12、信号号基基础础基于小波的视频编码中的吉布斯现象离散时间傅里叶变换(DTFT)Page 18辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础DTFT定理:假设线性定理:时间反转定理:时移定理:频移定理: 频域微分定理: 卷积定理: 调制定理: 帕斯瓦尔关系: 离散时间傅里叶变换(DTFT) () (),FFjjg nG eh nH eww ()()Fjjg nh nG eH ewwabab+ ()FjgnG ew-()00Fj njg nneG eww- ()()00jFjneg nG ewww- ()jFdG eng n

13、jdww () ()Fjjg nh nG eH eww* ( )()()12jFjg n h nG eH edpwqqpqp- ()()12Fjjg n h nG eHedpwwpwp*-反反转转示例示例时时移示例移示例频频移示例移示例卷卷积积示例示例调调制示例制示例Page 19辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础常用的DTFT变换对 离散时间傅里叶变换(DTFT) ()121jknkewmpd wp+ -= - +- ()()()()()10sin0ccjLPLPcnhnnHenwwwwpwwp=- =

14、1nd()0022jnkekwpd wwp+ = - -+ ()()11 1njnewa maa-()()122knkpd wp+ = - - +Page 20辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础特征函数考虑一个输入序列 ,单位脉冲响应为hn的系统输出为:定义则有其中 称为系统的特征函数, 称为系统的频率响应离散时间系统的频域表示 ()j nx nenw=- + () jj kkH eh k eww+ -= - = () jn kj nj kkky nh k eeh k ewww+ + -= - = - =邋

15、 ()j njy neH eww=j new()jH ewPage 21辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础特征函数例:理想延迟系统 的频率响应 由于该系统的单位脉冲响应为 ,则频率响 应为离散时间线性时不变系统的频率响应总是频率的周期函数,且周期为2*PI一般在区间 给出 特性,低频为在零处的频率,高频为靠近于 的频率离散时间系统的频域表示() dj njj kj kdkkH eh k enneewwwwd+ + -= - = - =-=邋 dh nnnd=- dy nx nn=-()jH ew(,p p-

16、pPage 22辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础LTI离散时间系统的频域特征设 和 表示输出序列yn和输入序列xn的傅里叶变换,则有 ,因此有LTI FIR离散时间系统的频率响应一个FIR系统的输入输出关系为由DTFT的线性和时移性质变换到频域,则有离散时间系统的频域表示()() ()jjjY eH eX ewww=()jY ew 21NkNy nh k x nk=-() ()21Njj kjkNY eh k eX ewww-=()jX ew()()()jjjY eH eX ewww=() 21Njj k

17、kNH eh k eww-=Page 23辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础LTI IIR离散时间系统的频率响应用线性常系数差分方程描述对上式做DTFT,则有离散时间系统的频域表示()()()00Mjj kkjkNjj kkkY ep eH eX ed ewwwww-=-=00NMkkkkd y nkp x nk=-=-邋()()00NMj kjj kjkkkkd eY ep eX ewwww-=邋Page 24辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处

18、处理的信理的信号号基基础础例:滑动平均滤波器的频率响应滑动平均滤波器的冲激响应为依据FIR离散时间系统的频率响应,有幅度响应为相位响应为离散时间系统的频域表示 1/,010,MnMh nOtherwise-= ()()()()11/20sin/ 211sin/ 2Mj Mjj nnMH eeeMMwwwww-=()()()sin/ 21sin/ 2jMH eMwww=( )()/21122MkMkMwpq wpm w犏臌=-骣= -+-桫Page 25辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础让输入序列中的某种频率

19、分量没有任何失真(若可能的话)地通过,同时阻止其它频率分量通过,这样的系统称为数字滤波器考虑一个实系数LTI离散时间系统的幅度函数为输入 ,其输出为根据滤波系统的定义,有滤波的概念()1,00,cjcH ewwwwwp ()()()1212coscos, 0cx nAnBnwwwwwp=+ ()( )()()( )()121122coscosjjy nA H enB H enwwwq wwq w=+ ()( )()111cosjy nA H enwwq w+Page 26辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础例

20、:一个简单数字滤波器的设计输入信号为角频率分别为0.1弧度/样本和0.4弧度/样本的两个正弦序列的和.要求设计一个高通滤波器拦截低频分量假设滤波器是长度为3的FIR滤波器,其滤波器的频率响应为幅度响应和相位响应分别为当 时, 当 时,滤波的概念()()()220100101012cosjjjjjjjjjjH ehheheeeeeeeewwwwwwwwwwaaaaaawa-=+=+ =+= 2+0102,1hhhaa=()() ( )01cos,jH ewawaq wwb= 2+= -+()01cos0awa2+0;b=()01cos0awa2+;bp=Page 27辽辽宁宁师师范大范大学计学计算机算机与与信息技信息技术学术学院院 宋宋传传鸣鸣数数字字图图像像处处理的信理的信号号基基础础例:一个简单数字滤波器的设计为了使高频分量无任何衰减地通过滤波器,必须满足解上面的方程,则有根据系统的输入输出关系,有即滤波的概念 0100112212y nhx nhx nhx nx nx nx naaa=+-+- =+-+-()( )01