自动控制原理电子教案第四章

1、世界工厂自动原理第4章根轨迹法东北大学主编杨自厚 主审世界工厂世界工厂第4章根轨迹法主要内容根轨迹的基本概念根轨迹的绘则用根轨迹法分析系统的暂态特性小结2东北大学自动世界工厂世界工厂第4章根轨迹法学习重点v 了解根轨迹的基本特性和相关概念；v 了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则；v 掌握根轨迹的绘则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中；v 学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能；v 了解根轨迹形状的关系。性能指标之间3东北大学自动世界工厂世界工厂第4章根轨迹法根轨迹法一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。它是一种用图解方法表示特征根数值关系的方法。参数的全部1948

2、年，由（W. R. Evans）提出。根轨迹法的任务由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。4东北大学自动世界工厂世界工厂4.1根轨迹法的基本概念根轨迹系统开环传递函数的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在 S 平面上的变化轨迹。5东北大学自动世界工厂世界工厂4.1根轨迹法的基本概念例4.1闭环传递函数的根轨迹(1)2KW (s) =B+ 2s + 2Ks2D(s) = s2 + 2s + 2K = 0特征方程闭环极点s = -1+1- 2K1- 2K1s2 = -1-6东北大学自动世界工厂Ks0.5 s+世界工厂4.1根轨迹法的基本概念研究开环放大系数K与闭环

3、特征根的关系。当取不同K值时，算得闭环特征根如下：7东北大学自动世界工厂Ks1s200-20.5-1-11-1+j-1-j2-1+j 3-1-j 3¥-1+j¥-1-j¥世界工厂4.1根轨迹法的基本概念K由0变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。根轨迹直观地表示了参数K变化时，闭环特征根的变化，并且还给出了参数K对闭环特征根在S平面上分布的影响。8东北大学自动世界工厂世界工厂4.1根轨迹法的基本概念根轨迹方程系统结构图开环传递函数mg Õ(s+K)ziKN() sK)s=K1N()s(2 N=)si=1=gW K(21n

4、D(s )D()sD(s)Õ(sj=1+pj)129课程组理动世界工厂世界工厂4.1根轨迹法的基本概念式中： -zi 开环零点；- p j 开环极点。闭环系统特征方程式为+ sgK (N) =+ W ( s=)11KD(s)或可写作mÕ(si=1+zi)=N (s)1=-nD (s)KÕ(sj=1+pj)g10课程组理动世界工厂世界工厂4.1根轨迹法的基本概念这个方程式表达了开环传递函数与闭环特征方程式的关系，该方程的解即为闭环特征根，因此该式又称为根轨迹方程。令s=+j代入可得mÕ(s + zi ) i=1Õ(s + pj )j =1N (s

5、)D(s)1= -nKg11东北大学自动世界工厂世界工厂4.1根轨迹法的基本概念上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式，则根轨迹方程又可分别表示成mÕ(s + zi ) i=1ÕliN (s) D (s )= i=1幅值条件：Õ Lj j =1nÕj =1(s + p )j= 开环有限零点到s点的矢量长度之积 =1开环极点到s点的矢量长度之积Kg12东北大学自动世界工厂世界工厂4.1根轨迹法的基本概念辐角条件：（充分必要条件）Ð N (s) = åmnmÐ(s + p ) = åan- ååb

6、Ð(s + z ) -D (s)ijiji=1j =1i=1j =1= ±180o (1+ 2m )(m = 0,1, 2,"")式中：a ib j开环有限零点到s点的矢量辐角；开环极点到s点的矢量辐角；满足幅值条件和辐角条件的s值，就是特征方程式的根，也就是闭环极点。13东北大学自动世界工厂世界工厂4.1根轨迹法的基本概念因为 Kg在0范围内连续变化，总有一个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的依据是辐角条件。利用幅值条件计算 Kg 值比较方便，它可以作为计算 Kg 值的依据。14东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则绘制根轨迹的一般步骤（1）

7、出 Kg =0 和Kg = 时的特征根Kg（2）根据绘草图则大致画出0<<时的根轨迹（3）利用辐角条件，对根轨迹的某些重要部分精确绘制15东北大学自动世界工厂世界工厂4.2 根轨迹的绘则4.2.1绘制根轨迹的一般法则1起点（ Kg= 0）= 0时，闭环系统的特征方程式等效为KgnÕ(j=1)s=s+)p=D(0j上式即为开环系统的特征方程式。所以，当闭环极点也就是开环极点。Kg =0时，16东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则2.终点（Kg=）=时，闭环系统的特征方程式等效为m当 KgÕ()s=+s)z =N(0ii=1上式表明，当 Kg=时，闭环极点

8、也就是开环有限零点。今设N(s)为m阶方程，故有m个开环有限零点决定了闭环极点的位置，尚有n-m个闭环极点，随着 K=g ，它们（无限零点）。都趋17课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则3.根轨迹分支数和它的对称性根轨迹分支数取决于闭环系统的特征方程式中s的最高次项，即为max(n,m)条。闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根，故根轨迹都对称于实轴。18东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则4实轴上的根轨迹根轨迹左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角总为零；复平面上的所有零、极点是共轭的，它们到 实轴上根轨迹的矢量辐角之和也总为零。根轨迹右侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角均为1

9、80。结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，开环零、极点数目的总和为奇数。19东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则证明：设Nz为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目，N p为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目，由辐角条件mnåai - å b j = Nzp - Npp = ±p (1+ 2m )i=1j=1整理得(Nz + Nz - Nz )p - Npp = 2Nzp - (Nz + Np )p = ±p (1+ 2m )所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足+mm =01+Np2=N(,1",2 ",)20z东北大学自动世界

10、工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则例如下图所示，对于根轨迹A，N+Np=1（N p=1，N =z0）；z+对根轨迹BN，z是奇数。+Np=3；对根轨迹C，NNp=5。它们都z21课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则5 分离点和会合点两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点（或会合点）。在下图上画出了两条根轨迹。我们把a点叫做分离点，b 点叫做会合点。它们表示当时，特征方程式会出现重根。22东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则分离点（会合点）的坐标sd由下列方程所决定ì1+ WN (s) = 0(s) = 1+ KïKgD(s)整理得

11、íï1+ W(s)¢ = KN ¢(s) + D¢(s) = 0îKg-=( D )D '( s )N()s'N() ss023东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则说明：用分离点方程式求解后，需将所求结果代入特征方程式中验算。只有当与之对应的 Kg 值为正值时，这些分离点才是实际的分离点或会合点。24东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则n 如果实轴上相邻开环极点之间存在根轨迹，则在此区间上必有分离点。n 如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则在此区间上必有会合点。25东北大学自动世界工厂世界工厂4

12、.2根轨迹的绘则例4-2 已知开环传递函数为Kg (s + z1 )(s) = Kg N (s) =WK(s + p )(s + pD(s)12> 0 , z1 > p1 > p2> 0式中，Kg，求分离点和会合点。解由已知：( s )=( s+s+N(zN ¢(s) = 1D¢(s) = (2s + p1 + p2 )11p )(+ s 2Ds )p)26东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则代入分离点和会合点方程，有D '(s)N (s) - N '(s)D( s)= (2s + p1 + z 2 )(p + s1 )+

13、(s - p1 )(s + p2 ) = 0由此得分离点和会合点分别为s =s=-z-z1+(1-(1-p)(1-p)(-2 )pz11 z1-2 )pz11 z227课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则该系统的根轨迹图如下图所示28东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则6 根轨迹的渐近线研究根轨迹是按什么趋向无穷远。当 n>m 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近 线由与实轴的夹角和交点来确定。29东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则（1）渐近线的倾角j无穷远处的特征根，到S平面上所有开环有限零点和极点 的矢量辐角都

14、相等，均为 j ，即ai= b= jj代入辐角条件得mnåa i- å b= mj - nj = ±180° (1 + 2m )ji =1j =1即渐近线的倾角为+1 m2oj 1=8m0()0m =,(1 ",2,")-nm的渐近线只有（n-m）条30东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则（2）渐近线的交点-s k由幅值条件mmmÕ(s+ å z"+Õ z+ms-1+"mz )siiiN (s)1= i=1 i=1i=1nÕnånD(s)KgÕ(

15、s+n-1s+""+npj) sp jp jj=1j=1j=1当s= ¥ 时，z i= ssk=pj，k即得111=(s + s)n-mæöKnm+ çzå- åi=1-÷ sn-m 1ø-kn m+""pgsjièj =131课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则令上式中等式两边的项系数相等，即得渐近线的交点nmååiz-pjj-=1i=1s-=k-nmzi 是实数或共轭复数，故s k必为实数，由于p j 和因此渐近线交点总在实轴上。32

16、课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则例4-3 设开环传递函数为Kg)s=W (Ks+1s+( s)(4)试确定其根轨迹渐近线。解（1）计算渐近线倾角。因为m=0, n=3, 所以可得渐近线倾角为j = m180 (1+ 2m ) = m180 (1+ 2m ) = -ooooo60,60 ,180n - m3 - 033东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则（2）计算渐近线交点。p0 = 0, p1 = 1, p2= 4;n=3, m=0；因为所以渐近线交点为nmå p j - å zi1+ 4 - 053j =1i=1-s= -= -= -kn - m3

17、- 034东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则7根轨迹的出射角和入射角§ 出射角 bsc ：根轨迹离开S平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。§ 入射角asr ：根轨迹进入S平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。35东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则例4-4 已知开环传递函数为+s 2K (g)s=W (K+s3s2+2 s +( s)(2)试计算起点（-1+j1）的斜率。36课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则解 令sk稍为增大，在（-1+j1）附近的特征根 sk 应满足辐角条件，即a1 - (b1 + b2 + b3 + b4 ) = 

18、7;180 (1+ 2m )oa1 = 45 , b = 135 , b= 26.6 ，b = 90oooo123解得把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角为b =26-.o6437东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则通过这个例子，可以得到计算出射角的公式为- æö÷øn-1mç ååi =1bba= 180o-scjièj =1同理可得入射角的计算公式为+ æö÷øm-n1ç ååi=1aba= 180o-srji&#

19、232;j =138东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则8根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根 s = ± jw ，此时系= Kl 。由此可计算对应的Kg统处于临界稳定状态，令此时的Kl临界放大系数值。确定交点的方法：（1）把 s = ± jw 代入特征方程式；（2）利用判据。39东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则例4-5设有开环传递函数为KK2KKW (s) =Ks(s +1)(0.5s +1)s(s +1)(s + 2)试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。解方法（1）根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为F (s) =

20、s3 + 3s2 + 2s + 2K= 0K时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中 s = jw= Kl假设KK40东北大学自动世界工厂世界工厂4.2则( 得F )根轨迹的绘则=jw2- Kw3w2+ wj (-3) =20lìï2K- 3w 2 = 0lí亦即ïî2w - w 3 = 0解得：w = 0，KK = 0，对应根轨迹的起点；，KK = 3 ，对应根轨迹与虚轴相交。w = ±2交点处的（临界放大系数）为Kl = 341东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则方法（2）用判据计算交点和临界放大系数F (s) = s3+ 3s

21、2+ 2s + 2KK= 0特征方程表s3s2s1 s01232KK2 - 2KK32KK42东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则s1在第一列中，令行等于零，则得临界放大系数KK = Kl = 3根轨迹与虚轴的交点可根据 s2 行的辅助方程求得，即3s2 + 2K= 0KKK = 3令上式中，即得根轨迹与虚轴的交点为s = ± j243东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则9 根轨迹的如果特征方程的阶次n 另一些根轨迹必左行 。-m³ 2，则一些根轨迹右行时，说明：把特征方程式改为n()Õj =1s+ a sn-1 +"" +

22、 a= 01+ Ws=(s +=nR )kj1nn= å式中：aRj是一个，它是各特征根之和。这表明，1j=1随着K g值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减小。44东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则根轨迹绘（1）起点（2）终点（则归纳如下：= 0）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点Kg（包括Kmg 个= ¥有限零点和（n-m）个无限零点）。（3）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为，根轨max(n, m)迹对称于实轴。（4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。45东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨

23、迹的绘则（5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程)s-) s=( D )D '( s )N('N(s0（6）根轨迹的渐近线。m+1oj 1=8m0(2)m =(0,1 ",2,")渐近线的倾角n-mnmååiz-pjsj-=1i=1-=渐近线交点k-nm46课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则（7）根轨迹的出射角与入射角。æ n-1öm180- ç åba å-i=1b=sc÷øo出射角jièj=1æöm-1n180+ 

24、1; åba å-÷øa=sro入射角jièj=1i=1（8）根轨迹与虚轴交点。把 s = ± jw 代入特征方程式 ，即K值g可解出交点处的临界和交点坐标。（9）根轨迹。-m³ 2 ，则一些根轨迹如果特征方程的阶次n右行时，另一些根轨迹必左行。47课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则4.2.2自动系统的根轨迹1.设的结构图如下图所示。它的开环传递函数为KgKKW (s) =Ks(1+ Ts)s(s + 1 )T48东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则的根轨迹图如右图所示。1如果要使得系统的阻尼比为 x =

25、则从原点作阻尼线0R,交根轨迹于R（见右图）。开环放大系数KK 应为21K=K2T上式和第三章第三节用分析法所得的工程最佳参数相同49东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则2开环具有零点的。示所下图图如结构增加一个零点g( s+s+)a K)a)s=K(它的开环传递函数为=W(K0s (5s+0.2( s1)s.2)50课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则由下图知，复平面上的根轨迹是一个圆（证明详见这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点：）。s =-a+. -2a20a1s =-a-. -2a20a2a = 1时的根轨迹图本例说明：正向通道内适当引进零点，将使根轨迹向左偏移，能系

26、统动态品质。51课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则3.三阶系统附加一个极点的系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为KKW (s) =Ks(s +1)(Ts +1)Kg=s(s +1)(s + a)在 a = 4 时，分离点为s10= -.s2 =2 -.46和7。87因为在-1-4之间不可能有根轨迹，故分离点应为 s10= -.东北大学自动世界工厂467。52世界工厂4.2根轨迹的绘则当a = 4 时，根轨迹与虚轴交点为w = ±2对应的根轨迹放大系数为Kg= 20= 4考虑到KKl，临界开=5g20K =环放大系数为l4根轨迹绘于右图。本例说明：在中附加一个极点，随着

27、Kg增大，根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。53东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则4 具有时滞环节的系统假设, 时滞系统的结构,其开环传递函数为KN() s-ts)s=gW (eKD(s)闭环系统的特征方程式为nmÕ(+j=1g Õi=1+N (s) =e-ts-ts )s)+pK ( +z=Ds()Ks0egji54课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则假设特征根s = s + jw，则满足特征根的幅值和辐角条件为mÕ(s+zi)1e-ts= i=1nKÕ(sj=1+pj)gnm( å+ sj=1å(

28、Ði=1z m( =m1tw2+Ð) p-)+i-s)j与前面介绍的根轨迹绘法则要有所变化。则相对比可知，时滞系统的根轨迹绘制55课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则时滞系统的根轨迹绘（1）起点（Kg = 0）。当则：= 0 时，除开环极点- p jKg是起点外，s = -¥也是起点。（2）终点（ Kg = ¥ ）。当Kg = ¥时，除开环有限零是终点外，s = ¥-zi点也是终点。（3） 根轨迹数目及对称性。根轨迹有无限多条分支。根轨迹对称于实轴。（4） 实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的开环零、极点之和为奇数。东北大学自动

29、世界工厂56世界工厂4.2根轨迹的绘则（5）分离点与会合点。-ts -e-tsN )' s = (D'( s)N (s)e(D)s 0（6）渐近线。水平线，与虚轴交点为±Npw=tì N = 2m ,n - m为奇数K= 0时，í N = 1 + 2m， n - m为偶数gîKg = ¥时，N = 1 + 2m57东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则（7）出射角与入射角。æ n-1öm-çåå-i=1÷øbp =tswc(-ba )jièj

30、=1æöm-1n+çåå-i=1÷øap =tswr(+ba )jièj=1（8）根轨迹与虚轴交点。arctan warctan wnåj =1m- åi=1-mp 1(=w2) m+tp jzinÕ(j w +j=1pj)K=临界根轨迹放大系数lmÕ( j w +i=1zi)58课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则（9）复平面上的根轨迹。由辐角条件，假设 m = 0 得nmå +( sÐå(p=0m twÐp-) j+i=-s

31、)zj=1i=1例4-6设系统的开环传递函数为-etsKN() sKe-tsgg=s+(D )试绘制其根轨迹。ss (1)59课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则= 0)为：p0解 （1）起点 (Kg= 0, - p1 = -1；其他起点为=s-¥，其渐近线为w = ±(1+ 2m )p(m = 0, 1, 2,"")tKg = ¥ 为)（2）终点(：s = ¥，其渐近线同上。（3） 在实轴的 0 -1区间有根轨迹。（4） 分离点位置按式（4-25）计算，得+( Nt)s' -( N )= s( t D+)2 t+(

32、s 2 +)='D()s( N )s ss 1060东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则s 1-(2+t)t±=24+由此算得2t当t = 1 时，得 s1= -0.382，s2 = -2.618 。因根轨迹位s1 = -0.382。于0 1间，故分离点是t = 1，得（5）根轨迹与虚轴交点。当m = 0，p2arctan+w= pmw-由此得 w = 0.86对应的临界根轨迹放大系数为K1l =.134m ¹ 0Kl同理可计算时的和值。根据以上计算结果作的根轨迹如下图所示。61课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则当滞后时间很小时，根轨迹与虚交点的

33、值将很大，临界根轨迹放大系数K 也是很大。这时时滞环节的影响减弱。因此，对于滞后时间 t 为毫秒级l11 + ts-ts»e的，我们常把它的传递函数近似地认为，即把它等效成为一个惯性。62东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则4.2.3零度根轨迹+1 m 而2 ， )零度根轨迹：根轨迹的辐角条件不是18±0是 ± 360°m 的情况。图示系统有一个零点在S 右半平面，它的传递函数为° (g(s-(k1 - Ta = s) Kz)K)s=-1W K(s (1 + T1s)s ( s +1p)63课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则

34、它的闭环特征方程式为- N(g)s=(s + s1)- p-(=Ds () KK1)s0z1gN (s)=s - 1z亦即=)sss ( + p1D()Kgs - 1z s ( + p1N (s) =1幅值条件=D() s)Kgmnå Ð(i + z)åÐ辐角条N 件-( s) ÐD(=)s-( j sÐ)p +si=1mj=1j -b360=n= åm= åam(°,012"")ii=1j =1由于辐角条件是偶数个p ，故名为零度根轨迹。64课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘

35、则零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有关的规则：（1）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和 应是偶数。（2）根轨迹的渐近线。倾角 j = m2mp ,(m = 0,1, 2,"")n - m（3）根轨迹的出射角与入射角。- æa ön-1mç ååbb= 360o-i ÷出射角scjèøj =1i=1æöm-1n= 360 + ç å b j- åai ÷asro入射角èøj =1i=165东北大学自动世界工

36、厂世界工厂4.2根轨迹的绘则例4-7试绘制下图示系统的根轨迹。解1-（1）二个开环极点：p一个有限零点-：= 0 -，p =；10T11z1 = -Ta和一个无限零点。66东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则（2）实轴上根轨迹。确定这一系统实轴上轨迹的原则是，它右侧的零、极点数目之和应是偶数。因为只有这样， 才能满足辐角条件。因此在实轴的0 - 1 和¥ - 1 区间存在根轨迹。T1Ta（3）分离点与会合点N ' -( s )s)=(+ s 1 +p-)(1s -s +)z1=(D's (N)(s)D(ss)p0分离点与会合点分别为s= 1 æ1

37、+ös = 1 æ1 -ö1 + Ta1 + Taç÷ç÷21TTTTèøèøa1a167东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则根轨迹如下图所示。不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零11 + Taz =点，半径为。1TT1a68东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则4.2.4参数根轨迹参数根轨迹（或广义根轨迹）：以Kg 以外的参数作为变量的根轨迹，称为参数根轨迹。1. 一个参数变化的根轨迹假设系统的可变参数是某一时间T，原特征方程式变Kg N (s) = TN

38、T (s)为D(s)DT (s)式中，NT (s)、DT (s) 分别为等效的开环传递函数、分母多项轨迹放大系数 K g完全相同。式，T的位置与69东北大学自动世界工厂世界工厂4.2给定根轨迹的绘系统的开环传递函数为则例4-9(s) =s + a,a ³ 0WKa(2 s- s)试作出以为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取闭环系统稳定。解 闭环特征s方-程2as+2s- 1+s)= 0(a2=s 1 +)s(-s)0=a 11 - a(改写为s+( s 21)s- 1-a()(=)sW等效的开环传递函数为eqs+( s 21)该系统在绘制以为 a 参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的

39、绘制规则。70课程组理动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则相应的根轨迹绘于右图。a = 1由图可知，当处于临界稳定状态。闭环系统稳定的范围：0 <a< 1例4-9 系统的根轨迹轨迹，但是在绘制参数根本例说明，尽管在许多情况下，都是绘制轨迹、研究正反馈系统、处理非最小相位系统时，都有可能遇到绘制零度根轨迹的情形。71东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则2.几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇）在某些场合，需要研究几个参数同时变化对系统性能的影响。例如在设计一个校正装置传递函数的零、极点时，就需研究这些零、极点取不同值时对系统性能的影响。为此， 需要绘制几个参数同时变化时的根轨迹，

40、所作出的根轨迹将是一组曲线，称为根轨迹簇。72东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则，试绘制以K和 a例4-10一反馈系统为参数的根轨迹。解系统闭环特征方程为+ as + K = 0s2+ K = 0先令a = 0，则上式变为s21+ K = 0或写作s273东北大学自动世界工厂世界工厂4.2令根轨迹的绘则W(s) = KK1s2据此作出WK1 (s) 对应的根轨迹，如下图a所示。这是a = 0 时，以K为参变量的根轨迹。其次考虑 a ¹ 0，把闭环特征方程改写为as1+= 0+ Ks2令asW(s) =K 2s2+ K74东北大学自动世界工厂世界工厂4.2根轨迹的绘则as例

41、如令K=9，则W(s) =K 2s2+ 9它的极点为，零点为0。不难证明，对应特征方程的根轨迹s 2+ w 2 = 32为一圆弧，其方程为下图b为K取不同值时所作的根轨迹簇。75东北大学自动世界工厂世界工厂4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性根轨迹绘出以后，对于一定的Kg 值，即可利用幅值条件，确定相应的特征根（闭环极点）。如果闭环系统的零点是已知的，则可以根据闭环系统零、极点的位置以及已 知的输入信号，分析系统的暂态特性。系统的步骤:用根轨迹法分析1. 画的根轨迹图2. 在根轨迹上确定闭环零、极点的位置3. 根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能76东北大学自动世界工厂世界工厂4.3用根轨迹法

42、分析系统的暂态特性4.3.1在根轨迹上确定特征根根据已知的 Kg值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可以采用试探法。1.取试验点 s02.连接 s0与开环零极点77东北大学自动世界工厂世界工厂4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性对于 n - m ³ 3 的系统，可先在实轴上选实验点，找出闭环实极点后再确定闭环复极点。例4-11系统开环传函为KW(s ) = gs (s +1)(s + 4)K试确定Kg = 10的闭环极点。解闭环特征方程为1+ WK (s ) = s (s +1)(s + 4) + Kg= 078东北大学自动世界工厂世界工厂4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性由图可知：在

43、- ¥有一实根，设其为:R1 = -s1实根求法：1.试探法2.作图法-4由s (s +1)(s + 4) + Kg= 0Kg = 10求得的一个特征根为-R1=s14.679东北大学自动世界工厂世界工厂4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性-R2 = -s 2 + jw-R3 = -s 2 - jw设另外两个复根为：由特征方程得:s (s +1)(s + 4) + Kg = s + 5s32= (s + R1 )(s + R2 )(s + R3 )+ 4s + Kg根据代数方程根与系数的关系有：R1 + R2 + R3 = s1 + 2s 2 = 5,- s 2 = -0.2R1R2

44、R3 = 4.6 (0.2 + jw )(0.2 - jw ) = Kg ,w = 1.46可求得二共轭复根:-R= -0.2 ± j1.462,380东北大学自动世界工厂世界工厂4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性4.3.2用根轨迹法分析系统的性能用根轨迹法分析系统：定性分析稳定性分析。定量分析暂态响应分析，定量计算性能指标。系统的性能是由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的最大优点就是可以直观地看参数变化时，闭环极点的变化。选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系统性能。81东北大学自动世界工厂世界工厂4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按第三介绍的方法来分析系统的暂态品质。(1)闭环系统有两个