保险精算损失模型课件

1、1第十章第十章 损失模型损失模型 2第一节第一节 风险与保险风险与保险 l 保险公司在其经营过程中，必须认识到风险与保险的下述基本关系： （1）保险是将风险从被保险人向保险人的转移；（2）保险人也需要对其所承保的超额风险寻求保险保障；（3）风险集合包含的个体风险越多，其相对风险越小；（4）不同的被保险人具有不同的风险水平；（5）在很多情况下，少数巨灾风险所造成的损失将占到总损失的很大比重。 3第二节第二节 损失模型的基本概念损失模型的基本概念 一、随机变量一、随机变量l随机变量是指其取值依赖于随机现象的观察结果的变量。l在非寿险精算中，最常见的随机变量就是损失金额（用X表示）和损失次数（用N表

2、示）。l离散型随机变量：只能取有限个或可列个值的随机变量，如保单的索赔次数N就是一个离散型随机变量，因为它只能取有限个值。l连续型随机变量：其取值布满一个区间的随机变量，如损失额X的取值范围是区间（0，）。4二、随机变量的数字特征二、随机变量的数字特征1、数学期望、数学期望l数学期望描述了随机变量的平均取值，代表着其取值的平均水平。l随机变量X的数学期望通常用E(X)表示。如果X为离散型随机变量，其取值为xi的概率为pi（i =1, 2, ），则其数学期望为1)(iiipxXE5l如果X为连续型随机变量，则其数学期望为 l密度函数f (x)与分布函数F(x) 具有下述关系：l两个随机变量X和Y

3、的数学期望具有下述关系：（1）E (kX) = k E(X)，其中k为常数（2） （3）若X与Y相互独立，则 dxxxfXE)()(xxfxF)()()()()(YEXEYXE)()()(YEXEXYE62、方差、标准差和变异系数、方差、标准差和变异系数 l两个随机变量X和Y的方差具有下述关系：（1） （2）若X与Y相互独立，则 （3） 2)()(XEXEXVar)()(Var2XVarkX )(Var)(Var)(VarYXYX22)()()(XEXEXVar7l标准差是其方差的平方根，即 l变异系数是标准差与数学期望的比率，即ln个独立同分布的随机变量之和的变异数是单个随机变量的变异系数的

4、1/n，即)(XVarX)()(VarXEXcv 11nXnVar xxncvE xxnE xn83、原点矩和中心矩、原点矩和中心矩 4、偏度系数、偏度系数l随机变量X的偏度系数被定义为ln个独立同分布的随机变量之和的偏度系数为 )(kkXEkkXEXE)(333333ninnn nnVarX9三、概率母函数和矩母函数三、概率母函数和矩母函数 随机变量X的概率母函数被定义为：PX (z) = E (zX)（1）随机变量X的分布函数由其概率母函数惟一确定。（2）随机变量的概率可以通过概率母函数的各阶导数来确定，即（3）n个相互独立的随机变量之和的概率母函数等于它们各自的概率母函数的乘积，即( )

5、(0), 1,2,!kkPpkk11( )( )( )nnXXXXPzPzPz10l随机变量X的矩母函数MX(t)是关于实数t的函数，即 l如果随机变量X的矩母函数在原点的某个邻域有定义，则其矩母函数具有下述性质：（1）随机变量X的分布函数由其矩母函数惟一确定。（2）如果X的k阶原点矩存在，则矩母函数M(t)可微分s（s k）次，且其k阶原点矩可以表示为 （3）n个相互独立的随机变量之和的矩母函数等于它们各自的矩母函数的乘积，即 ( )()tXXMtE e)0()()(kkkMXE)()()(11tMtMtMnnXXXX11l概率母函数和矩母函数之间存在下述关系：( )( )( )(ln )t

6、XXXXMtPePzMz12四、条件期望和条件方差四、条件期望和条件方差l对于二维随机变量（X，Y），当Y给定时计算X的数学期望即得X的条件期望 。l当Y给定时计算X的方差即得X的条件方差为l如果允许Y可以随机取值而不是给定取值，则E (X|Y)和Var（X|Y）都是随机变量。（1）E (X ) = EE (X |Y )（2）Var(X) = EVar(X|Y )+VarE(X|Y ) 22Var(| )(| ) (| )X YE XYE X Y(|)E X Y13第三节第三节 损失次数模型损失次数模型 一、泊松分布一、泊松分布 ,0,1,2,.!kkepkk()()E NVar N14l泊松

7、分布具有下述性质：1. 可加性。2. 可分解性。3. 泊松分布的众数int（），int表示取整数。如果参数为整数，则其众数也等于-1，此时泊松分布具有双众数。4. 当参数很小时，泊松分布可以近似二项分布。5. 如果保险事故发生的时间间隔服从指数分布，则在一个固定的时间区间内发生的保险事故次数服从泊松分布。6. 当参数较大时，泊松分布可以用正态分布近似。 15二、负二项分布二、负二项分布 ()1,0,1,2,.( ) (1) 11rkkkrpkrk ()E Nr()(1)Var Nr16l负二项分布具有下述性质：1. 方差大于均值。2. 负二项分布是一种混合泊松分布。3. 负二项分布 的众数，i

8、nt表示取整数 int1r17三、二项分布三、二项分布 ，k0，1，2，m，其中m为整 数，0 q 1 (1)km kkmpqqk()E Nmq()(1)Var Nmqq18l二项分布具有下述性质：1. 二项分布的方差小于其均值。2. 假设每个风险发生损失的概率均为q，则二项分布可以描述m个独立同分布的风险所组成的风险集合的损失次数。3. 如果用二项分布描述损失次数，则意味着损失次数存在一个最大值。4. 二项分布的众数intq(m+1)，int表示取整数。如果q(m+1)为整数，则其众数也等于q(m+1)1。19四、几何分布四、几何分布 几何分布具有下述性质：1. 几何分布是负二项分布当r =

9、 1时的特例。2. 几何分布具有指数形式的衰减概率函数，因此具有无记忆性。3. 几何分布的众数恒为零。 1, 0,1,2(1)kkkpk()E N()(1)Var N20第四节第四节 损失金额模型损失金额模型 一、指数分布一、指数分布 指数分布具有下述性质：1. 如果在单位时间内损失次数服从参数为q的泊松分布，则相邻损失之间的时间间隔服从参数为q的指数分布。2. 指数分布具有无记忆性。( )1exp()F xx ()1/E X2()1/Var X21二、对数正态分布二、对数正态分布( )( )F xz 21( )exp(/2)( )/()2f xzzxxln( )xz2()exp(0.5)E

10、X22()exp(22)exp(2)Var X其中 ， 0，x 0 22l对数正态分布具有下述性质：1. 正态分布经指数变换后即为对数正态分布；对数正态分布经对数变换后即为正态分布。2. 设r，t为正实数，X是参数为（，）的对数正态分布，则Y rX t 仍是对数正态分布，参数为（t + ln(r)，t2）。3. 对数正态分布总是右偏的。4. 对数正态分布的均值和方差是其参数（，）的增函数。5. 对给定的参数，当 趋于零时，对数正态分布的均值趋于exp()，方差趋于零。23三、伽玛分布三、伽玛分布1( )( )xxf xe()/E X 2()/Var X 24l伽玛分布具有下述性质：1. 当固定

11、尺度参数q 时，改变形状参数 的取值会改变伽玛密度函数的形状。2. 当 趋于无穷大时，伽玛分布近似于正态分布。3. 当 = 1时，伽玛分布就是参数为q的指数分布。4. 当尺度参数q 相同时，伽玛分布具有可加性。5. 伽玛分布乘以正常数r以后，仍然是伽玛分布，参数变为（，q/ r）。 25四、帕累托分布四、帕累托分布( )1F xx 1( )()f xx(),11E X22(),2(1) (2)Var X26l帕累托分布具有下述性质：1. 帕累托分布总是右偏的，众数恒为0。2. 帕累托分布乘以正常数r以后，仍然是帕累托分布，参数变为（，r）。3. 如果均值 E(X)保持不变，当 时，帕累托分布收

12、敛到参数为1/ 的指数分布。27五、威布尔分布五、威布尔分布 ( )1 expF xx 1( )exp()f xxx1/1()(1)E X28l威布尔分布具有下述性质：1. 当 =1时，威布尔分布就是参数为 的指数分布。2. 威布尔分布乘以正常数r以后，仍然是威布尔分布，参数变为（ ，）。3. 如果 服从标准指数分布（即参数为1），则Y 服从威布尔分布。4. 威布尔分布在3.6附近呈现大致对称的形状。 /rXY29六、通货膨胀对损失金额模型的影响六、通货膨胀对损失金额模型的影响 l 若令 ，则X 与Y 的分布函数之间存在如下关系： l 如果X为连续型随机变量，则X与Y的密度函数之间有如下关系：

13、 Yr X()1()1YXyFyFr=+1()()11YXyfyfrr=+30第五节第五节 累积损失模型累积损失模型l累积损失的分布模型有两种不同的表现形式：l个体风险模型：l集体风险模型： 12nSXXX12NSXXX31l在集体风险模型中，累积损失S的均值和方差分别为： l对累积损失的一种最简单的近似计算是正态近似：2( )() ()( )()()() ()E SE N E XVar SE N Var XVar NE X( )Pr( )( )SE SxxVar S 32l如果累积损失S服从复合泊松分布，泊松分布的参数为，则 其中m与2分别为个体损失金额 X 的均值和二阶原点矩，即 2Pr( ), Smxx 当时22(