合肥工业大学自动控制理论课件7-3

1、7.4 7.4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 为了便于对离散系统进行分析和校正，首先需要建立离散系统的数学模型。描述连续系统的动态过程微分方程传递函数结构图描述离散系统的动态过程差分方程脉冲传递函数结构图7.4.1 7.4.1 线性常系数差分方程及其求解线性常系数差分方程及其求解1.1.差分的定义差分的定义 设连续函数为e(t),采样后为e(kT),通常为方便起见，记为 ()( )ke kTe ke差分可分为前向差分前向差分和后向差分后向差分两种。 )() 1()(kekeke2( )( ) (1)( )e ke ke ke k )() 1()(11kekekennn定义：定义：(2)

2、2 (1)( )e ke ke k一阶前向差分二阶前向差分n阶前向差分(1)( )e ke k ) 1()()(kekeke2( )( )(1)e ke ke k) 1()()(11kekekennn一阶后向差分二阶后向差分n阶后向差分( )2 (1)(2)e ke ke k2.2.线性常系数差分方程的一般形式线性常系数差分方程的一般形式 对于输入、输出均为采样信号的线性定常离散系统，动态方程除了含有输入输出变量外，还有它们的各阶差分，则此方程为差分方程。差分方程分为前向差分方程前向差分方程和后向差分方程后向差分方程。前向差分方程前向差分方程：11()(1)(1)( )nnc kna c kn

3、ac ka c k011()(1)(1)( )mmb r kmbr kmbr kb r k010,nmaabb为常系数, ( )r k( )c knm为输入信号，为输出信号，且有式中：110110( )(1)(1)()( )(1)(1)()nmmc kac ka c kna c knb r kbr kbr kmb r km后向差分方程后向差分方程：注意：差分方程的阶次是输出量差分的最大阶次减去最小阶次。 3.3.建立差分方程的方法建立差分方程的方法 实际的离散控制系统中，被控对象是连续的物理系统，而数字控制器输出的信号是离散的。系统中的连续部分一般由微分方程或传递函数来描述，为了分析方便，需要

4、通过离散化方法建立系统的差分方程。由连续系统的微分方程求差分方程时，若采样周期足够小，就可以用差分近似表示用差分近似表示微分来实现离散化微分来实现离散化。用前向差分近似表示微分( )( )(1)( )de te ke ke kdtTT用后向差分近似表示微分 ( )( )( )(1)de te ke ke kdtTT例例7-207-20 已知系统的微分方程为22( )( )2( )0d c tdc tc tdtdt求离散后的前向差分方程。 解：解：22222( )( )(2)2 (1)( )dc tc kc kc kc kdtTT( )(1)( )dc tc kc kdtT 代入微分方程，有2(

5、2)2 (1)( )(1)( )2( )0c kc kc kc kc kc kTT整理后得2(2)(12(1)()( )21)0c kc kcTTTk4. 差分方程的求解方法差分方程的求解方法q 迭代法迭代法：已知差分方程的输入采样序列、输出采样序列的初值， 利用差分方程的递推关系，逐步求出输出采样序列。 ( )5 (1)6 (2)( )c kc kc kr k( )1r k ，(0)0, (1)1cc 。初始条件( ),0,1,2,c kk 试用迭代法求输出序列例例7-217-21 已知离散系统的差分方程为 ，且输入序列解：解：差分方程的递推关系为( )( )5 (1)6 (2)c kr k

6、c kc k由初始条件 (0)0c(1)1c递推得到 (2)(2)5 (1)6 (0)1506crcc (3)(3)5 (2)6 (1)1 30625crcc (4)(4)5 (3)6 (2)1 1253690crcc q Z Z变换法变换法：通过Z变换将时域中的差分方程转化为z域中的代数方程，求出代数方程的解，再经Z反变换获得方程的时域解。例例用Z变换法解差分方程： c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0初始条件c(0)=0,c(1)=1,求c(k)。 解：解： 对方程两边进行Z变换 0)(2)0(3)(3) 1 ()0()(22zCzczzCzcczzCz代入初始条件并化简zzCzz

7、)()23(2( )12zzC zzz, 2 , 1 , 0)2() 1()(kkckk将C(z)/z展开部分分式：2( )1113212C zzzzzz2( )32zC zzz2( )(1)12zzzC zzzz( )12(0,1,2,)kc kkk 0*( )(21) ()kkctktkT( )2kr k 例例7-227-22(2)2 (1)( )( )c kc kc kr k离散系统的差分方程为 已知输入序列 ,初始条件c(0)=c(1)=0,求输出响应c(k)。解：解：对前向差分方程两边进行Z变换，得到 21 ( )(0)(1)2 ( )(0)( )( )z C zcz cz C zc

8、C zR z( )2( )2kzr kR zz，且初始条件为零 ，得到2( )2( )( )2zz C zzC zC zz221( )212(1) (2)zzC zzzzzz求得7.4.2 7.4.2 脉冲传递函数脉冲传递函数 ( )G s( )r t( )c t*( )r t*( )c t( )G z( )R z( )C z线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：零初始条件下系统输出采零初始条件下系统输出采 样信样信号的号的Z变换与输入采样信号的变换与输入采样信号的Z变换之比。变换之比。 *( )( )( ) *( )( )Z ctC zG zZ rtR z

9、( ) ( )G zZ G s也可记为 脉冲传递函数为已知系统的脉冲传递函数G(z)和输入采样信号的Z变换 R(z)，在初始条件为零时的输出采样信号为)()()()(*11zRzGZzCZtc1. 1. 脉冲传递函数定义脉冲传递函数定义对于大多数实际系统来说，其输出往往是连续信号c(t)而不是采样信号C*(t)。这时，无法求脉冲传递函数。( )G z( )R z( )C z( )G s( )r t( )c t*( )r t*( )ct在这种情况下，我们可以在输出端虚设一个采样开关，它与输入端采样开关一样，以周期T同步工作。如果系统的实际输出比较平滑，在采样点处无跳变，且采样周期很小，那么我们就

10、可以用c*(t)来近似描述系统的实际输出c(t)。可见，用脉可见，用脉冲传递函数分析系统，只能给出实际输出冲传递函数分析系统，只能给出实际输出c(t)在采样时刻的值在采样时刻的值。说明：说明：2. 2. 采样函数拉氏变换的两个重要性质采样函数拉氏变换的两个重要性质性质性质1 1 采样函数的拉氏变换具有周期性，即*( )*()sGsGsjn其中， 为采样角频率。s1*( )()skGsG sjkT1*()()*( )sslGsjnG sjlGsT1*()()ssskGsjnG sjkjnT有 lkn令由采样函数的拉氏变换证明：证明：*( )Es( )G s性质性质2 2 采样函数的拉氏变换 与连

11、续函数的拉氏变换 相乘后再离散化，有下式成立 ( )*( )*( )*( )G s EsGs Es1 ( )*( )* ()*()sskG s EsG sjkEsjkT1 ( )*( )* ()*( )skG s EsG sjkEsT*( )*( )Gs Es1 ()*( )skG sjkEsT由性质1证明：证明：由采样函数的拉氏变换3. 关于脉冲传递函数的几点讨论关于脉冲传递函数的几点讨论 *( )Gs( )G zq 和 之间的关系 ( )k t( )G zq 和单位脉冲响应 之间的关系 ( ) *( )G zZ kt1ln( )*( )szTG zGs1*( ) ( )ktZG zq 与离

12、散系统的差分方程之间的关系 ( )G z10( )()()nmiiiic kac kibr ki差分方程为01( )( )( )1miiiniiib zC zG zR za z*( )*( )*( )CsGsRt( )( ) *( )C sG s Rs*( ) ( ) *( )*( ) *( )CsG s RsGs Rs4. 4. 求脉冲传递函数的方法求脉冲传递函数的方法0( )()kkG zk kT z( )G z( )k t（1）已知连续系统的单位脉冲响应 ，利用 ，求出 。( )G s( ) ( )G zZ G s。（2）已知连续系统的传递函数 ，化成部分分式并查表求出（3）已知系统的差

13、分方程，在初始条件为零的情况下进行Z变换求( )G z)10(10)(sssG)(zG例例 系统结构如图，其中连续部分传递函数 ， 试求该开环系统的脉冲传递函数 。( )G z( )R z( )C z( )G s( )r t( )c t*( )rt*( )ct解：解：( )G s将 用部分分式表示1011( )(10)10G ss sss111011( ) ( )1010tk tLG sLetss 00101)(kkkkTkzezzG)(1()1 (1101010TTTezzezezzzz也可由 直接查表得到，结果相同。 1011)(sssG10()10kTk kTet 离散序列7.4.3 7

14、.4.3 离散系统的结构图化简离散系统的结构图化简根据离散系统结构图可以求系统的脉冲传递函数或系统的输出。与连续系统的结构图相比较，离散系统的结构图需要考虑采样开关的位置。由于采样开关所处的位置不同，连续系统的结构图等效变换规则不能直接使用。 1. 1. 开环离散系统的脉冲传递函数开环离散系统的脉冲传递函数(1) 串联串联环节之间有采样器的情况环节之间有采样器的情况1212( )( )( )( )( )G zZ G sZ G sG z G z结论可以推广到n个环节串联，且环节间均有同步采样器分隔的情况。 (2)(2)串联环节之间无采样器的情况串联环节之间无采样器的情况1212( )( )( )

15、( )( )( )C zG zZ G s G sGG zR z1212( )( )( )GG zG z G z)(21zGG式中， 表示G1(s)和G2(s) 相乘后进行Z变换。显然 结论可以推广到n个环节串联，且环节间没有采样器分隔的情况。 (3)(3) 有零阶保持器时的情况有零阶保持器时的情况 ( )1( )( )( )TspC zeG zZGsR zs1( )(1)pGszZs)(sGp系统连续部分的传递函数为零阶保持器 sesGTsh1)(可以采用部分分式法求出。 ( )pGsZs(4) 连续信号直接进入连续环节时的情况连续信号直接进入连续环节时的情况 )()()(2zDzGzC)()

16、()()(11zRGsRsGZzD21( )( )( )C zGz G R z连续信号直接进入连续环节的情况下，出现 11( ) ( )( )Z G s R sG R z)(zC( )/( )C zR z 故只能求得输出采样信号的Z变换表达式 而得不到 ，因而无法求得脉冲传递函数 。( )G z具有零阶保持器的开环采样系统中 )10(10)(sssGp试求开环系统的脉冲传递函数G(z)。 22( )1010.10.1(10)10pGsssssss解解: : 210( )0.10.1(1)1pTGsTzzzZszzze121010101010( )10.10.1( )(1)(1)1(0.1 0.

17、1)(0.10.1)(1)()pTTTTTGszTzzzG zzZszzzzeTezTeezze比较可见，G(z)的极点完全相同, 即引入零阶保持器后,只改变的分子。例例7-257-251010(1)( )(1)()TTzeG zzze不加零阶保持器时2. 2. 闭环离散系统的脉冲传递函数闭环离散系统的脉冲传递函数 在连续系统中，闭环传递函数与相应的开环传递函数之间有着确定的关系，所以可用一种典型的结构图来描述一个闭环系统。而在采样系统中，由于采样开关在系统中所设置的位置不同，可以有多种结构形式。下面是一种比较常见的离散系统结构图： 1( )G s2( )G s( )H s( )r t( )c

18、 t( )e t*( )e t( )d t( )b t*()c t1( )G s2( )G s( )H s( )r t( )c t*( )b t*( )e t( )d t( )b t*()c t为了分析方便，将结构图等效为 r 闭环系统的开环脉冲传递函数闭环系统的开环脉冲传递函数G(z)断开主反馈通路，*( )et*( )bt 从 到 之间的脉冲传递函数称为闭环离散系统的开环脉冲传递函数。 1212( )( )( )( ) ( )( ) ( )B zZ G s G s H s E zG G H z E z12( )( )( )( )B zG zGG H zE z( )E z( )C z( )R

19、 z( )B z 12( )( ) ( )C zG Gz E z( )( )( )E zR zB z12( )( ) ( )B zGG H z E z消去B(z)、E(z)，可以得到：令d(t) = 0,列写变量之间关系方程：1212( )( )( )( )1( )GG zC zzR zGG H z*( )rt*( )ct( ) zr 到到 之间的闭环脉冲传递函数之间的闭环脉冲传递函数r 离散系统的闭环特征方程离散系统的闭环特征方程 121( )0G G H z*( )rt*( )et( )erzr 到到 之间的误差脉冲传递函数之间的误差脉冲传递函数12( )1( )( )1( )erE zz

20、R zGG H z求不出求不出 ！( )dzr 系统的全响应系统的全响应 r 扰动扰动d(t)d(t)作用下的输出作用下的输出 ( )dCz令 r(t) = 0，列写变量之间关系方程：*212( )( )( )( )( )( )dCsG s D sG s G s E s*212( )( )( )( )( )( )( )( )( )E sB sH s G s D sG s G s H s Es *212( )( )( )( )dCsG D sGGs Es*2*12( )( )1( )HG D sEsGG Hs*1222*12( )( )( )( )1( )dGG s HG D sCsG D sG

21、G Hs221212( )( )( )( )1( )dGGzzCzzGGHG DGzDH( )( ) ( )( )dC zz R zC z1212221212( ) ( )( )( )( )1( )1( )GG z R zGG z HG D zG D zGG H zGG H z做变量代换：离散化：在计算闭环离散系统的脉冲传递函数时，需要注意以下两点：在计算闭环离散系统的脉冲传递函数时，需要注意以下两点：p 离散系统连续部分的结构相同，采样开关位置不同，闭环脉冲传递函数也就不同。因此，不能用连续系统闭环传递函数的Z变换来求闭环脉冲传递函数。即( )( )zZs式中的等号只有在闭环系统内部不含采样

22、开关时才成立。 p 对于输入信号r(t)不经过采样开关，直接输入连续环节的情况，由于系统中不存在r*(t)，无法计算脉冲传递函数(z)，只能得到C(z)。 例例 考虑下图给出的一种闭环采样系统，求C(z)。)(*)()()()()()(211sDsHsGsGsRsGsD)(*)()(2sDsGsC2112( )( )( )1( )RG zGzC zGG H z112( ) ( )*( )1 ( )( )( )*G s R sDsG s G s H s2112*( )*( )*( )1*( )Gs G RsCsGG Hs令1lnszT2*( )*( )*( )CsGsDs离散化：112*( )(

23、 ) ( )* ( )( )( )*( )DsG s R sG s G s H sDs离散化：解解112*( )1*( )G RsGG Hs单回路离散系统比较简单，掌握基本规律后，可以通过观察，直接单回路离散系统比较简单，掌握基本规律后，可以通过观察，直接写出写出C(z)的表达式。方法是：的表达式。方法是：（2）在前向通路中，输入信号以及前向通路各环节相互之间没有采样开关的，将它们相乘后进行Z变换；输入信号以及前向通路各环节相互之间有采样开关的，各自进行Z变换；将得到的变换函数相乘，即可得到C(z)的分子多项式。（1）在反馈回路中，对于中间无采样开关隔开的环节，将它们的传递函数相乘后取Z变换；

24、中间有采样开关隔开的环节，分别进行Z变换；将得到各个变换函数相乘，就是开环脉冲传递函数。开环脉冲传递函数加1即可得到C(z)的分母多项式。2211( )( ) ( )( )1( )( )G z G zGR zC zGzHz113232( )( )( )( )1( )( )G z G zzC zGG RGGzH z2211( )( )( )1( )( )G zzG RGC zG zH z)()(1)()()(zHzGzRzGzC( )( )1( )zGRGC zH z例例3. 多回路离散系统结构图计算多回路离散系统结构图计算 对于比较复杂的多回路离散系统，通常需要根据结构图列写方程来求解系统总的

25、脉冲传递函数。可以利用系统中离散变量的可以利用系统中离散变量的Z Z变换函数列写方程；变换函数列写方程；也可以根据系统中各变量的拉氏变换之间的关系列写方程，再进行离散化也可以根据系统中各变量的拉氏变换之间的关系列写方程，再进行离散化。对所列方程组消去中间变量，即可求出闭环脉冲传递函数或输出C(z)。 闭环离散系统的结构图如图所示，图中所有采样开关同步工作。试计算输出采样信号与输入采样信号之间的脉冲传递函数( ) z。例例7-267-262( )Hs( )c t1( )H s*( )c t( )e t( )r t*( )c t*( )e t1*( )e t1( )e t1( )G s解：解：采用

26、两种方法列写方程计算脉冲传递函数。 方法方法1 1 将图中的所有信号用其拉氏变换函数表示，再根据变量之间的传递关系列写方程：2( )Hs( )c t1( )H s*( )c t( )e t( )r t*( )c t*( )e t1*( )e t1( )e t1( )G s*1( )E s*( )C s( )E s*( )C s*( )E s( )C s1( )E s( )R s*11( )( )( )( )C sG sE sE s*2( )( )( )( )E sR sHs Cs11( )( ) ( )E sH s C s*11( )( )( )( )CsGsEsEs*2( )( )( )( )EsR sHs Cs*1111( )( )( )( )EsH GsEsEs *111( )( )( )( )H s G sEsEs离散化离散化：*11*11( )( )1( )H G sEsH G s消去中间变量 ，得到 *1( )( )EsEs、*111211121*1111( )( )( )( )1( )( )( )( ) 1( )1( )1( )G s H G s HsH G sG s HsC sG sR sH G sH G s