人教版全国数学中考复习方案第28讲圆的有关性

1、第28讲圆的有关性 第29讲直线与圆的位置关系第30讲 圆与圆的位置关系第31讲 正多边形、扇形的面积、圆锥的计算问题 第第28讲讲圆的有关性圆的有关性 第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 圆的有关概念圆的有关概念 圆的圆的定义定义定义定义1 1：在一个平面内，线段：在一个平面内，线段OAOA绕它固定的一个绕它固定的一个端点端点O O旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点A A所形成的图形叫做所形成的图形叫做圆固定的端点圆固定的端点O O叫做圆心，线段叫做圆心，线段OAOA叫做半径叫做半径定义定义2 2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合：圆是到定点的距离等于定长的

2、点的集合第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦弦弦连接圆上任意两点的连接圆上任意两点的_叫做弦叫做弦直径直径经过圆心的弦叫做直径经过圆心的弦叫做直径弧弧圆上任意两点间的部分叫做弧圆上任意两点间的部分叫做弧优弧优弧大于半圆的弧叫做优弧大于半圆的弧叫做优弧劣弧劣弧小于半圆的弧叫做劣弧小于半圆的弧叫做劣弧线段线段 第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 点和圆的位置关系点和圆的位置关系 如果圆的半径是如果圆的半径是r r，点，点到圆心的距离是到圆心的距离是d d，那，那么么点在圆外点在圆外_点在圆上点在圆上_点在圆内点在圆内_dr d=r dr 考点考点3 3 确定圆的条件及相关概念确定圆的条件及相关

3、概念 第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦确定圆确定圆的条件的条件不在同一直线的三个点确定一个圆不在同一直线的三个点确定一个圆三角形的三角形的外心外心三角形三边三角形三边_的交点，即三的交点，即三角形外接圆的圆心角形外接圆的圆心防错提醒防错提醒锐角三角形的外心在三角形的内部，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形的外心在三角斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部形的外部垂直平分线垂直平分线 考点考点4 4 圆的对称性圆的对称性第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦 圆既是一个轴对称图形又是一个圆既是一个轴对称图形又是一个_对称图形对称图

4、形，圆还具有旋转不变性，圆还具有旋转不变性 中心中心考点考点5 5 垂径定理及其推论垂径定理及其推论 第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦垂径定垂径定理理垂直于弦的直径垂直于弦的直径_，并且平分弦所对的两条弧，并且平分弦所对的两条弧推论推论(1)(1)平分弦平分弦( (不是直径不是直径) )的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦所对的两条弧；(2)(2)弦的垂直平分线经过圆心，弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；并且平分弦所对的两条弧；(3)(3)平分弦所对的一条平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的

5、另一条弧弧总结总结简言之，对于过圆心；垂直弦；平分弦；简言之，对于过圆心；垂直弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧中的任意平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他的结论也成立两条结论成立，那么其他的结论也成立平分弦平分弦考点考点6 6 圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦定理定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的_相等，所对的相等，所对的_相等相等推论推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角在同圆或等圆中，如果两个圆心角两两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它条弧或两条弦中有一组量相等，那么它

6、们所对应的其余各组量也分别相等们所对应的其余各组量也分别相等弧弧弦弦考点考点7 7 圆周角圆周角 第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦圆周角圆周角定义定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角圆周角圆周角定理定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_，都等于该弧所对的圆心角的，都等于该弧所对的圆心角的_推论推论1 1在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_推论推论2 2半圆半圆( (或直径或直径) )所对的圆周角是所对的圆周角是_；9090的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是_

7、推论推论3 3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是那么这个三角形是_三角形三角形相等相等一半一半相等相等直角直角直径直径直角直角考点考点8 8 圆内接多边形圆内接多边形 第第28讲讲 考点聚焦考点聚焦圆内接四边形圆内接四边形如果一个多边形的所有顶点如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形这个形叫做圆内接多边形这个圆叫做这个多边形的外接圆圆叫做这个多边形的外接圆圆内接四边形圆内接四边形的性质的性质圆内接四边形的圆内接四边形的_对角互补对角互补考点考点9 9 反证法反证法 第第28讲讲 考点聚

8、焦考点聚焦定义定义不直接从命题的已知得出结论，而是不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法法叫做反证法步骤步骤(1)(1)假设命题的结论不正确，即提出与假设命题的结论不正确，即提出与命题结论相反的假设命题结论相反的假设(2)(2)从假设的结论出发，推出矛盾从假设的结论出发，推出矛盾(3)(3)由矛盾的结果说明假设不成立，从由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定原命题的结论正确而肯定原命题的结论正确第第2

9、8讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一确定圆的条件类型之一确定圆的条件 命题角度：命题角度：1. 确定圆的圆心、半径；确定圆的圆心、半径；2. 三角形的外接圆圆心的性质三角形的外接圆圆心的性质 10或或8 例例1 2012资阳资阳 直角三角形的两边长分别为直角三角形的两边长分别为16和和12，则此三，则此三角形的外接圆半径是角形的外接圆半径是_第第28讲讲 归类示例归类示例第第28讲讲 归类示例归类示例(1)(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第

10、三条线段的垂直平分线事实上，三条垂作出第三条线段的垂直平分线事实上，三条垂直平分线交于同一点直平分线交于同一点(2)(2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆 类型之二类型之二垂径定理及其推论垂径定理及其推论 命题角度：命题角度：1. 1. 垂径定理的应用；垂径定理的应用；2. 2. 垂径定理的推论的应用垂径定理的推论的应用第第28讲讲 归类示例归类示例例例2 2 20122012台州台州 把球放在长方体纸盒内，球的一把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图部分露出盒外，其截面如图28281 1所示，已知所示，已知EFEFCDCD1616厘米，则

11、球的半径为厘米，则球的半径为_厘米厘米图图28281 110 第第28讲讲 归类示例归类示例 解析解析 首先找到首先找到EFEF的中点的中点M M，作，作MNADMNAD于点于点M M，分别交圆，分别交圆于于G G、N N两点，取两点，取GNGN的中点的中点O O，连接，连接OFOF，设，设OFOFx x，则，则OMOM1616x x，MFMF8.8.在直角三角形在直角三角形OMFOMF中，中，OMOM2 2MFMF2 2OFOF2 2，即即(16(16x)x)2 28 82 2x x2 2，解得解得x x10.10. 垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等垂径定理及其推论是证明两线段相

12、等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形形第第28讲讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系 例例3 3 20112011济宁济宁 如图如图28282 2，ADAD为为ABCABC外接圆的外接圆的直径，直径，ADBCADBC，垂足为点，垂足为点F F，ABCABC的平分线交的平分线交ADAD于点于点E E，连接连接BDBD、CD.CD.(1)(1)求证：求证：BDBDCDCD；(2)(2)

13、请判断请判断B B、E E、C C三点是否在以三点是否在以D D为圆心，以为圆心，以DBDB为半径为半径的圆上？并说明理由的圆上？并说明理由第第28讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系图图28282 2第第28讲讲 归类示例归类示例 解析解析 (1) (1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明；(2)(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DBDBDEDEDC.DC.解：解：(1)(1)证明：证明：ADAD为

14、直径，为直径，ADBCADBC，BDBDCD.BDCD.BDCD. CD. (2)B(2)B，E E，C C三点在以三点在以D D为圆心，以为圆心，以DBDB为半径的圆上为半径的圆上. . 理由：由理由：由(1)(1)知：知：BDBDCDCD，BADBADCBD.CBD.DBEDBECBDCBDCBECBE，DEBDEBBADBADABEABE，CBECBEABEABE，DBEDBEDEB.DBDEB.DBDE.DE.由由(1)(1)知：知：BDBDCDCD，DBDBDEDEDC.DC.BB，E E，C C三点在以三点在以D D为圆心，以为圆心，以DBDB为半径的圆上为半径的圆上. . 类型之

15、四类型之四 圆周角定理及推论圆周角定理及推论 D命题角度：命题角度：1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；2. 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算第第28讲讲 归类示例归类示例 例例4 4 20122012湘潭湘潭 如图如图28283 3，在，在O O中，弦中，弦ABABCDCD，若，若ABCABC4040，则，则BODBOD( () )A. 20A. 20 B. 40 B. 40C. 50C. 50 D. 80 D. 80图图28283 3解析解析 先根据弦先根据弦ABCD得

16、出得出ABCBCD40，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出即可得出BOD2BCD24080.第第28讲讲 归类示例归类示例 圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角角(圆心角和圆周角圆心角和圆周角)的转化的转化第第28讲讲 归类示例归类示例 类型之五类型之五 与圆有关的开放性问题与圆有关的开放性问题命题角度：命题角度：1. 给定一个圆，自由探索结论并说明理由；给定一个圆，自由探索结论并说明理由；2. 给定一个圆，添加条件并说明理由给

17、定一个圆，添加条件并说明理由第第28讲讲 归类示例归类示例 例例5 5 20122012湘潭湘潭 如图如图284，在，在O上位于直上位于直径径AB的异侧有定点的异侧有定点C和动点和动点P，AC0.5AB，点，点P在半在半圆弧圆弧AB上运动上运动(不与不与A、B两点重合两点重合)，过点，过点C作直线作直线PB的垂线的垂线CD交交PB于于D点点图图28284 4 (1)如图如图，求证：，求证：PCDABC；(2)当点当点P运动到什么位置时，运动到什么位置时，PCD ABC？请在？请在图图中画出中画出PCD，并说明理由；，并说明理由；(3)如图如图，当点，当点P运动到运动到CPAB时，求时，求BCD

18、的度的度数数 第第28讲讲 归类示例归类示例第第28讲讲 归类示例归类示例 解析解析 (1) (1)由由ABAB是是O O的直径，根据直径所对的圆周角是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得直角，即可得ACBACB9090，又由在同圆或等圆中，同弧，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得或等弧所对的圆周角相等，即可得A AP.(2)P.(2)由由PCDPCDABCABC，可知当，可知当PCPCABAB时，时，PCDPCDABCABC，利用相，利用相似比等于似比等于1 1的相似三角形全等；的相似三角形全等；(3)(3)由由ACBACB9090，ACAC0.5AB0.5AB，可求得，可求得ABCABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等的度数，利用同弧所对的圆周角相等得得P PA A6060，通过证，通过证PCBPCB为等边三角形