数学建模模拟试题

1、数学建模模拟试题一、 填空题（每题5分，满分20分）： 1. 设开始时的人口数为，时刻的人口数为，若人口增长率是常数，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 .2. 设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 .3. 所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 .4. 设某种商品的需求量函数是而供给量函数是，其中为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 .二、 分析判断题（每题10分，满分20分）： 1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层

2、办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。 2. 某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为3000，5000和4000件.公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3，另外客户3和4都想尽可能多购剩下的件数.已知各厂运销一件产品给客户可得到的净利润如表1所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前提下获利最多？ 表1单位：元/件 客户 利润工厂1 2 3 412365 63 62 6468 67 65 6263 60 59 60 上述问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可）

3、，否则说明理由。三、 计算题（每题20分，满分40分）： 1. 有一批货物要从厂家A运往三个销售地B、C、D，中间可经过9个转运站从A到的运价依次为3、8、7；从到的运价为4、3；从到的运价为2、8、4；从到的运价为7、6；从到的运价为10、12；从到的运价为13、5、7；从到的运价为6、8；从到的运价为9、10；从到的运价为5、10、15；从到的运价为8、7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线。 2. 试求如表2所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用： 表2单位：百元/吨 销地 运价产地 B1 B2 B3 B4产量A1A2A33 5 2 94 7 5 126 9 10 112

4、01525销量10 20 15 15 四、 综合应用题（本题满分20分）： 试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题。 （ 提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤。） 数学建模模拟试题参考解答 一、填空题（每题5分，满分20分）：1. 2. 3. 问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析； 4. 80. 二、分析判断题（每题10分，满分20分）：1. 1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益 .2分 2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等 .5分

5、 3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料 .8分 4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型 10分 2. 可以转化为运输模型，具体做法如下： 首先确定总的产销量. 总产量显然为12000件；总需求量中，客户3的需求量在保证已承诺给客户1和2的供给量7000件条件下，最多是5000件，而客户4则最多可得4000件。因此，总需求量按最高需求应为16000件，因而可视问题为供小于求的运输问题 4分 其次，为产销平衡，虚设一个工厂4，其产量为4000件 6分 再次，为确定需求量，将有最低需求与额外需求量的客户分别视为两个客户，并确定各自需

6、求量，注意最低需求量不能由虚设工厂供给，从而可设其利润值是-M（M是一个充分大的正数）. .8分 综合上述讨论得产销平衡运价表如下： 表1 单位：元/件 客户利润工厂1 2 3 3' 4供给量123 465 63 62 62 6468 67 65 65 6263 60 59 59 60 -M -M -M 0 03000500040004000 需 求 量 4000 3000 1000 4000 4000 10分三、计算题（每题20分，满分40分）：1. 建立图模型如图1-1. 图1-1 .10分 利用双标号法计算结果如图1-2. 图1-2 15分 再利用逆向搜索法便可得到运输路线有：

7、， ； 或 . 20分 （注意，到C的路线只给出一条者扣2分） 2. 易见，这是一个产销平衡且为最小值类型的运输问题。我们有 (1) 利用最小元素法可得初始方案如表1，表1 销地 运价产地 B1 B2 B3 B4产量A1A2A3 3 5 2 9 4 7 5 12 6 9 10 11 20 15 25销量 10 20 15 15 .5分 （2）使用闭回路法可得负检验数为 =-1，故令 进基 .10分 （3）使用闭回路法进行调整知 出基，便得新的运输方案如表2 15分 表2 销地 运价产地 B1 B2 B3 B4产量A1A2A3 3 5 2 9 4 7 5 12 6 9 10 11 20 15 2

8、5销量 10 20 15 15 （4）再进行检验知，所有检验数 ，故得最优运销图如图1-3： 图1-3 最小费用为385（百元）。 20分四、综合应用题（本题满分20分）：1. 问题分析 所谓方桌可否在地面上放稳，可视为其四个桌脚可否同时着地，从而可将问题归结为桌脚与地面的距离是否同时为零，故构造这个距离函数是建模的关键，而证明四个距离函数同时为零这个命题是建模的最终目的。 .5分 2. 模型假设 (1) 四条桌腿同长,视四个桌脚为四个几何点,四脚的连线呈长方形； (2) 地面的高度是连续变化的，即将地面看作数学上的连续曲面； (3) 地面是相对平坦的，在任何位置，至少有三个桌腿同时着地。 .10分 3. 模型建立 如图1-4，以长方形的两条对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，且不妨设A、C两桌脚开始时位于横轴上，则问题与旋转角度 有关。注意到假设3，设A、B两个桌脚与地面距离之和为 ，另外两个桌脚与 地面距离之和为 则 与 中至少有一个为零，当 时不妨假设 图1-4 。又由假设2，以上两个函数均为旋转角度的连续函数，于是有命题： 已知 则 ，使得 上述命题即为所建立的数学模型。 15分 4. 模型求解 只须证明上述命题即可。 将桌子旋转